（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第23練 解析幾何的綜合問題試題 理.docx

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第23練　解析幾何的綜合問題 [明晰考情]　1.命題角度：直線與橢圓；定點、定值問題；最值問題.2.題目難度：中高檔難度. 考點一　直線與橢圓 方法技巧　對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來處理. (1)設(shè)直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進行討論，或者將直線方程設(shè)成x＝my＋b(斜率不為0)的形式. (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用方程根的判別式或求根公式得到交點的橫坐標或縱坐標. (3)一般涉及弦長的問題，要用到弦長公式AB＝|x1－x2|或AB＝|y1－y2|. 1.(2018江蘇省南京外國語學校檢測)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)過點M，且離心率為. (1)求橢圓E的方程； (2)如圖，過點P(0,2)的直線l與橢圓E相交于兩個不同的點A，B，求的取值范圍. 解　(1)由題意得 所以a2＝4，b2＝1.所以橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)①當直線l的斜率不存在時，A(0,1)，B(0，－1)， 所以＝－1. ②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立消去y整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0， 由Δ>0，可得4k2>3， 因為x1,2＝＝， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－1＋， 所以－1<<.綜上，∈. 2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，且△BF1F2是邊長為2的等邊三角形. (1)求橢圓的方程； (2)過右焦點F2的直線l與橢圓交于A，C兩點，記△ABF2，△BCF2的面積分別為S1，S2，若S1＝2S2，求直線l的斜率. 解　(1)由題意，得a＝2c＝2，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)點B到直線AC的距離為h， 由于S1＝2S2， 所以AF2h＝2F2Ch，即AF2＝2F2C， 所以＝2. 設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，又F2(1,0)， 則(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，即 由 解得 所以直線l的斜率為k＝＝＝. 3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右準線方程為x＝4，右頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，斜率為2的直線l經(jīng)過點A，且點F到直線l的距離為. (1)求橢圓C的標準方程； (2)將直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點P，當B，F(xiàn)，P三點共線時，試確定直線l的斜率. 解　(1)由題意知，直線l的方程為y＝2(x－a)， 即2x－y－2a＝0， 所以右焦點F到直線l的距離d＝＝， 所以a－c＝1. 又因為橢圓C的右準線為x＝4，即＝4，所以c＝， 代入上式解得a＝2，c＝1，所以b2＝3， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由(1)知B(0，)，F(xiàn)(1,0)， 所以直線BF的方程為y＝－(x－1)， 聯(lián)立方程組 解得(舍去)或 所以P. 所以直線l的斜率k＝＝. 4.已知動點M(x，y)到點F(2,0)的距離為d1，動點M(x，y)到直線x＝3的距離為d2，且＝. (1)求動點M(x，y)的軌跡C的方程； (2)過點F作直線l：y＝k(x－2)(k≠0)交曲線C于P，Q兩點，若△OPQ的面積S△OPQ＝(O是坐標原點)，求直線l的方程. 解　(1)結(jié)合題意，可得d1＝， d2＝|x－3|. 又＝，即＝，化簡得＋＝1. 因此，所求動點M(x，y)的軌跡C的方程是＋＝1. (2)聯(lián)立消去y， 得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0. 設(shè)點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝(－12k2)2－4(1＋3k2)(12k2－6)＝24k2＋24>0. 因為x1,2＝，所以|x1－x2|＝， 于是，PQ＝ ＝|x1－x2|＝， 點O到直線l的距離d＝. 由S△OPQ＝， 得＝， 化簡得，k4－2k2＋1＝0， 解得k＝1，且滿足Δ>0，即k＝1符合題意. 因此，所求直線的方程為x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 考點二　定點、定值問題 方法技巧　(1)定點問題的常見解法 ①假設(shè)定點坐標，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求定點. ②從特殊位置入手，找出定點，再證明該點符合題意. (2)定值問題的常見解法 ①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān). ②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值. 5.(2018蘇州調(diào)研)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，焦點到相應準線的距離為，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，P為橢圓C上位于第一象限內(nèi)的一點，PA交y軸于點E，PB交x軸于點D. (1)求橢圓C的標準方程； (2)若＝，求的值； (3)求證：四邊形ABDE的面積為定值. (1)解　設(shè)右焦點F(c,0)，因為橢圓C的離心率為， 所以＝， ① 又因為右焦點F到右準線的距離為，所以－c＝， ② 由①②得，a＝2，c＝，b＝1， 所以橢圓C的標準方程是＋y2＝1. (2)解　因為＝，所以E，直線AE的方程為y＝(x＋2)， 由得x2＋(x＋2)2＝4， 解得x＝－2(舍)或x＝，故P， 直線PB的方程為y＝x－1，令y＝0，得D， 所以＝. (3)證明　設(shè)P(x0，y0)(x0>0，y0>0)， 則＋y＝1， 即x＋4y＝4. 直線AP的方程為y＝(x＋2)，令x＝0，得y＝. 直線BP的方程為y＋1＝x，令y＝0，得x＝. 所以四邊形ABDE的面積S＝＝ ＝ ＝＝2. 所以四邊形ABDE的面積為定值. 6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，離心率為的橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左頂點為A，過原點O的直線(與坐標軸不重合)與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點.當直線PQ的斜率為時，PQ＝2. (1)求橢圓C的標準方程； (2)試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(與直線PQ的斜率無關(guān))？請證明你的結(jié)論. 解　(1)設(shè)P， 因為當直線PQ的斜率為時，PQ＝2， 所以x＋2＝3，所以x＝2. 所以＋＝1. 因為e＝＝＝，所以a2＝4，b2＝2. 所以橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)以MN為直徑的圓過定點(，0). 設(shè)P(x0，y0)，則Q(－x0，－y0)，且＋＝1，即x＋2y＝4. 因為A(－2,0)，所以直線PA的方程為 y＝(x＋2)，所以M， 直線QA的方程為y＝(x＋2)，所以N. 以MN為直徑的圓為 (x－0)(x－0)＋＝0， 即x2＋y2－y＋＝0. 因為x－4＝－2y，所以x2＋y2＋y－2＝0. 令y＝0，解得x＝， 所以以MN為直徑的圓過定點(，0). 7.已知橢圓C：＋＝1的上頂點為A，直線l：y＝kx＋m交橢圓于P，Q兩點，設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2. (1)當m＝0時，求k1k2的值； (2)當k1k2＝－1時，證明：直線l：y＝kx＋m過定點. (1)解　當m＝0時，直線l：y＝kx. 代入橢圓C：＋＝1，得x2＋2k2x2＝4， 解得P，Q. 因為A為橢圓的上頂點，所以A(0，)， 所以k1＝＝， k2＝＝， 所以k1k2＝＝－. (2)證明　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線l：y＝kx＋m代入橢圓C：＋＝1，并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0， 則Δ＝16k2m2－8(m2－2)(1＋2k2)＝8(4k2－m2＋2)＞0，因為x1,2＝，所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 由k1k2＝－1知，＝－1， 即y1y2－(y1＋y2)＋2＋x1x2＝0， 所以(kx1＋m)(kx2＋m)－(kx1＋m＋kx2＋m)＋x1x2＋2＝0， 所以k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2－k(x1＋x2)－2m＋x1x2＋2＝0， 即(k2＋1)＋k(m－)＋m2－2m＋2＝0， 所以(k2＋1)(2m2－4)＋k(m－)(－4km)＋(m2－2m＋2)(1＋2k2)＝0， 所以3m2－2m－2＝0，解得m＝(舍去)或m＝－， 所以直線l：y＝kx－. 所以直線l過定點. 8.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)中心在坐標原點的橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右準線l：x＝m＋1與x軸的交點為B，BF2＝m. (1)已知點在橢圓C上，求實數(shù)m的值； (2)已知定點A(－2,0). ①若橢圓C上存在點T，使得＝，求橢圓C的離心率的取值范圍； ②當m＝1時，記M為橢圓C上的動點，直線AM，BM分別與橢圓C交于另一點P，Q，若＝λ，＝μ，求證：λ＋μ為定值. (1)解　設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0). 由題意，得解得 所以橢圓方程為＋＝1. 因為橢圓C過點，所以＋＝1， 解得m＝2或m＝－(舍去).所以m＝2. (2)①解　設(shè)點T(x，y)， 由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]， 即x2＋y2＝2. 由得y2＝m2－m. 因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2. 所以橢圓C的離心率e＝∈. ②證明　設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則＝(x0＋2，y0)，＝(x1＋2，y1). 由＝λ，得 從而 因為＋y＝1，所以＋(λy1)2＝1， 即λ2＋2λ(λ－1)x1＋2(λ－1)2－1＝0. 因為＋y＝1，代入得2λ(λ－1)x1＋3λ2－4λ＋1＝0. 由題意知，λ≠1且λ≠0， 故x1＝－，所以x0＝. 同理可得x0＝. 因此＝，所以λ＋μ＝6. 考點三　范圍、最值問題 方法技巧　圓錐曲線的最值和范圍問題解題常見思路 (1)利用判別式來構(gòu)造不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍. (2)利用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立相關(guān)關(guān)系. (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍. (4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍. (5)利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍. 9.已知橢圓的右焦點F(m,0)，左、右準線分別為l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1，l2分別與直線y＝x相交于A，B兩點. (1)若離心率為，求橢圓的方程； (2)當<7時，求橢圓離心率的取值范圍. 解　(1)由已知得橢圓的中心在坐標原點，c＝m，＝m＋1， 從而a2＝m(m＋1)，b2＝m. 由e＝得b＝c，從而m＝1， 故a＝，b＝1，得橢圓方程為＋y2＝1. (2)易得A(－m－1，－m－1)，B(m＋1，m＋1)， 從而＝(2m＋1，m＋1)，＝(1，m＋1)， 故＝2m＋1＋(m＋1)2＝m2＋4m＋2<7， 得0b>0)的短軸位于x軸下方的端點，過A作斜率為1的直線l交橢圓于B點，點P在y軸上，且BP∥x軸，＝9. (1)若點P的坐標為(0,1)，求橢圓C的方程； (2)若點P的坐標為(0，t)，求實數(shù)t的取值范圍. 解　(1)由題意得A(0，－b)，l的方程為y＝x－b，由P(0,1)，得B(1＋b,1)，所以＝(1＋b,1＋b)，＝(0,1＋b)，由＝9，即(1＋b,1＋b)(0,1＋b)＝9， 所以(1＋b)2＝9，即b＝2，所以B(3,1)， 又B在橢圓上，得＋＝1， 解得a2＝12, 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由A(0，－b), P(0，t)，得B(t＋b，t)， 所以＝(t＋b，t＋b)，＝(0，t＋b)， 因為＝9， 所以(t＋b)2＝9， 因為A點是短軸頂點，所以t>0，t＋b＝3，則B(3，t)， 代入橢圓方程得＋＝1，得a2＝. 因為a2>b2，所以>(3－t)2，解得0b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點. (1)求E的方程； (2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程. 解　(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，＝，得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故E的方程為＋y2＝1. (2)當l⊥x軸時不合題意， 故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2). 將y＝kx－2代入＋y2＝1， 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 當Δ＝16(4k2－3)>0， 即k2>時，x1,2＝. 從而PQ＝＝|x1－x2|. 又點O到直線PQ的距離d＝. 所以△OPQ的面積S△OPQ＝dPQ＝|x1－x2|＝. 設(shè)＝t，則t>0，S△OPQ＝＝≤1. 當且僅當t＝2，即k＝時等號成立，且滿足Δ>0. 所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為2yx＋4＝0. 12.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b≥1)過點P(2,1)，且離心率e＝. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點，求△PAB面積的最大值. 解　(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2. 又＋＝1，∴a2＝8，b2＝2. 故所求橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0， 判別式Δ＝16－4m2>0， 即m2<4. 所以x1＝－m＋，x2＝－m－， 則AB＝＝|x1－x2|， 點P到直線l的距離d＝. 因此S△PAB＝dAB＝|m||x1－x2| ＝≤＝2， 當且僅當m2＝2時上式等號成立，且滿足Δ>0， 故△PAB面積的最大值為2. 例　(16分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且點在橢圓C上. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)橢圓E：＋＝1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q. ①求的值； ②求△ABQ面積的最大值. 審題路線圖 (1)―→ (2)①―→ ② →→ 規(guī)范解答評分標準 解　(1)由題意知＋＝1.又＝， 解得a2＝4，b2＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1. 4分 (2)由(1)知橢圓E的方程為＋＝1. ①設(shè)P(x0，y0)，＝λ(λ＞0)， 由題意知Q(－λx0，－λy0). 因為＋y＝1，又＋＝1， 即＝1， 所以λ＝2，即＝2. 7分 ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2). 聯(lián)立可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2， (*) 因為x1,2＝， 所以|x1－x2|＝. 9分 因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標為(0，m)， 所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2|＝＝ ＝2. 11分 設(shè)＝t，將y＝kx＋m代入橢圓C的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2. (**) 由(*)和(**)可知0＜t≤1， 因此S＝2＝2， 12分 故0＜S≤2，當且僅當t＝1，即m2＝1＋4k2時取得最大值2. 14分 由①知，△ABQ的面積為3S，所以△ABQ面積的最大值為6. 16分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　求曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程. [第二步]　聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判別式，利用求根公式求出交點坐標. [第三步]　找關(guān)系：從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系. [第四步]　建函數(shù)：對范圍、最值類問題，要建立關(guān)于目標變量的函數(shù)關(guān)系. [第五步]　得范圍：通過求解函數(shù)值域或解不等式得目標變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件. 1.(2018江蘇省如東高級中學)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的焦點為F1(－4,0), F2(4,0)，且經(jīng)過點P(3,1). (1)求橢圓C的標準方程； (2)若點M在橢圓上，且＝＋λ，求λ的值. 解　(1)依題意，設(shè)橢圓C的標準方程為＋＝1(a>b>0)， 2a＝PF1＋PF2＝＋＝6，∴a＝3， 又c＝4，∴b2＝a2－c2＝2， ∴橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)＝＋λ＝(－7，－1)＋λ(1，－1)＝， 點M的坐標為， ∵點M在橢圓上， ∴2＋2＝1， 即20λ2＋4λ－7＝0，解得λ＝或λ＝－. 2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)過點A(2,1)，離心率為. (1)求橢圓的方程； (2)若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓相交于B，C兩點(異于點A)，線段BC被y軸平分，且AB⊥AC，求直線l的方程. 解　(1)由條件知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝＝， 所以b2＝a2－c2＝a2. 又點A(2,1)在橢圓＋＝1(a>b>0)上， 所以＋＝1, 解得 所以橢圓的方程為＋＝1. (2)將y＝kx＋m(k≠0)代入橢圓方程， 得x2＋4(kx＋m)2－8＝0， 整理得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0. (*) 因為xB，C＝ ＝， 所以xB＋xC＝－. 由線段BC被y軸平分，得xB＋xC＝－＝0， 因為k≠0，所以m＝0. 因為當m＝0時，B，C關(guān)于原點對稱， 設(shè)B(x，kx)，C(－x，－kx)， 由方程(*)，得x2＝， 又因為AB⊥AC，A(2,1)， 所以＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0， 所以k＝. 由于k＝時，直線y＝x過點A(2,1)，故k＝不符合題設(shè). 所以直線l的方程為x＋2y＝0. 3.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，直線l：x－my－1＝0(m∈R)過橢圓C的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點. (1)求橢圓C的標準方程； (2)已知點D，連結(jié)BD，過點A作垂直于y軸的直線l1，設(shè)直線l1與直線BD交于點P，試探索當m變化時，是否存在一條定直線l2，使得點P恒在直線l2上？若存在，請求出直線l2的方程；若不存在，請說明理由. 解　(1)在x－my－1＝0中，令y＝0，則x＝1，所以F(1,0). 由題設(shè)，得解得從而b2＝a2－c2＝3， 所以橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)令m＝0，則A，B或A，B. 當A，B時，P； 當A，B時，P， 所以滿足題意的定直線l2只能是x＝4. 下面證明點P恒在直線x＝4上. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2). 由于PA垂直于y軸，所以點P的縱坐標為y1，從而只要證明P(4，y1)在直線BD上即可. 由消去x得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0. 因為Δ＝144(1＋m2)＞0， 且y1,2＝， 所以y1＋y2＝，y1y2＝. ① 因為kDB－kDP＝－＝－＝＝. 將①式代入上式，得kDB－kDP＝0，所以kDB＝kDP. 所以點P(4，y1)在直線BD上， 從而直線l1、直線BD與直線l2：x＝4三線恒過同一點P， 所以存在一條定直線l2：x＝4，使得點P恒在直線l2上. 4.(2018江蘇省溧水七校聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點F，離心率為，過F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點分別為M，N. (1)求橢圓的方程； (2)證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標； (3)若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面積的最大值. 解　(1)由題意得c＝1, ＝， ∴a＝，b＝c＝1， ∴橢圓的方程為＋y2＝1. (2)①當直線AB，CD有一條斜率不存在時，直線MN即為直線OF，此時直線MN過點P. ②當直線AB，CD的斜率均存在時， 設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則有M， 聯(lián)立 消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， ∴x1,2＝，則x1＋x2＝， 即M， 將上式中的k換成－，同理可得N， 若＝，解得k＝1，直線MN斜率不存在， 此時直線MN過點P. 若直線MN的斜率存在，則k≠1， 則kMN＝＝＝， 直線MN為y－＝， 令y＝0，得x＝＋＝＝. 綜上，直線MN過定點. (3)由(2)可知直線MN過定點P， 又直線AB的斜率k≠0， 故S△FMN＝S△FPM＋S△FPN＝＋＝， 令t＝|k|＋∈[2，＋∞)，S△FMN＝f(t)＝＝＝， ∴f(t)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減， 當t＝2時，f(t)取得最大值，即S△FMN取得最大值， 此時k＝1.