（浙江專版）2018年高中數(shù)學 階段質(zhì)量檢測（二）圓錐曲線與方程 新人教A版選修2-1.doc

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階段質(zhì)量檢測（二） 圓錐曲線與方程 (時間120分鐘　滿分150分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(安徽高考)下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y＝2x的是(　　) A．x2－＝1　　　　　　 B.－y2＝1 C.－x2＝1 D．y2－＝1 解析：選C　由雙曲線焦點在y軸上，排除選項A、B，選項C中雙曲線的漸近線方程為y＝2x，故選C. 2．θ是任意實數(shù)，則方程x2＋y2sin θ＝4的曲線不可能是(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 解析：選C　由于θ∈R，對sin θ的值舉例代入判斷． sin θ可以等于1，這時曲線表示圓，sin θ可以小于0，這時曲線表示雙曲線，sin θ可以大于0且小于1，這時曲線表示橢圓． 3．設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線C的離心率等于(　　) A.或 B.或2 C.或2 D.或 解析：選A　設(shè)|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲線C為橢圓，則2a＝6k,2c＝3k，∴e＝；若曲線C為雙曲線，則2a＝2k,2c＝3k，∴e＝. 4．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線－y2＝1的兩個焦點，P在雙曲線上，當△F1PF2的面積為2時，的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：選B　設(shè)P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)， ∴＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4，S△PF1F2＝|F1F2||y0|＝2，∴|y0|＝1.又－y＝1，∴x＝3(y＋1)＝6，∴＝x＋y－4＝6＋1－4＝3. 5．設(shè)拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 解析：選C　準線x＝－2，Q(－2,0)，設(shè)l：y＝k(x＋2)， 由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0. 當k＝0時，x＝0，即交點為(0,0)， 當k≠0時，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1. 綜上，k的取值范圍是[－1,1]． 6．直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知＝2b，解得＝，即e＝.故選B. 7．已知||＝3，A，B分別在y軸和x軸上運動，O為原點，＝＋，則動點P的軌跡方程是(　　) A.＋y2＝1 B．x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．x2＋＝1 解析：選A　設(shè)P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y(tǒng)0，所以x0＝x，y0＝3y.因為||＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，化簡整理得動點P的軌跡方程是＋y2＝1. 8．(四川高考)設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于點M，且M為線段AB的中點．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4) 解析：選D　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(5＋rcos θ，rsin θ) 則 兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 當直線l的斜率不存在時，顯然符合條件的直線l有兩條． 當直線l的斜率存在時， 可得2rsin θ(y1－y2)＝4(x1－x2) ?kAB＝＝. 又∵kMC＝＝. ∴kAB＝－＝－. ∴＝－?r＝>2. 由于M在拋物線的內(nèi)部，∴(rsin θ)2<4(5＋rcos θ)＝20＋4rcos θ＝20＋4(－2)＝12. ∴|rsin θ|<2.∴|rsin θ|＝r＝<2?r2<16?00)上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y＝0，則a＝________.F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝3，則|PF2|＝________. 解析：雙曲線－＝1的一條漸近線方程為3x－2y＝0，故a＝2.又P是雙曲線上一點，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，則|PF2|＝7. 答案：2　7 11．設(shè)F1，F(xiàn)2為曲線C1：＋＝1的焦點，P是曲線C2：－y2＝1與C1的一個交點，則△PF1F2的面積為________． 解析：由題意知|F1F2|＝2＝4， 設(shè)P點坐標為(x，y)． 由得 則S△PF1F2＝|F1F2||y|＝4＝. 答案： 12．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，則F的坐標為________．若|FA|＝2|FB|，則k＝________. 解析：拋物線y2＝8x的焦點坐標為(2,0)，將y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，設(shè)A(x1，y1), B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝4，由|FA|＝2|FB|及拋物線定義得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，＝5，解得k2＝，又因為k>0，所以k＝. 答案：(2,0)　 13．拋物線y2＝2px(p>0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，則p＝________，拋物線上橫坐標為3的點到準線的距離為________． 解析：依題意，設(shè)拋物線的焦點為F，點Q的橫坐標是x0(x0≥0)，則有|QF|＝x0＋的最小值是＝1，則p＝2.橫坐標為3的點到準線的距離為3＋＝4. 答案：2　4 14．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為.則雙曲線x2－y2＝1的漸近線方程為________，若漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為____________． 解析：由題意，雙曲線的漸近線方程為y＝x.因為橢圓的離心率為，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝b，y2＝b2，y＝ b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標為，所以四邊形的面積為4 b b＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為＋＝1. 答案：y＝x?。? 15．已知二次曲線＋＝1，當m∈[－2，－1]時，該曲線的離心率的取值范圍是________． 解析：∵m∈[－2，－1]， ∴曲線方程化為－＝1，曲線為雙曲線， ∴e＝. ∵m∈[－2，－1]， ∴≤e≤. 答案：， 三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分14分)已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點P，求拋物線的方程和雙曲線的方程． 解：依題意，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)， ∵點P在拋物線上， ∴6＝2p.∴p＝2， ∴所求拋物線的方程為y2＝4x. ∵雙曲線的左焦點在拋物線的準線x＝－1上， ∴c＝1，即a2＋b2＝1， 又點P在雙曲線上， ∴－＝1， 解方程組 得或(舍去)． ∴所求雙曲線的方程為4x2－y2＝1. 17．(本小題滿分15分)已知拋物線方程為y2＝2x，在y軸上截距為2的直線l與拋物線交于M，N兩點，O為坐標原點．若OM⊥ON，求直線l的方程． 解：設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2， 由消去x得ky2－2y＋4＝0. ∵直線l與拋物線相交， ∴解得k<且k≠0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2＝， 從而x1x2＝＝. ∵OM⊥ON， ∴x1x2＋y1y2＝0， 即＋＝0，解得k＝－1符合題意， ∴直線l的方程為y＝－x＋2. 18．(本小題滿分15分)已知橢圓＋＝1及直線l：y＝x＋m， (1)當直線l與該橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍； (2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值． 解：(1)由消去y，并整理得 9x2＋6mx＋2m2－18＝0.① Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)． ∵直線l與橢圓有公共點， ∴Δ≥0，據(jù)此可解得－3 ≤m≤3 . 故所求實數(shù)m的取值范圍為[－3 ，3 ]． (2)設(shè)直線l與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由①得：x1＋x2＝－，x1x2＝， 故|AB|＝ ＝ ＝ ， 當m＝0時，直線l被橢圓截得的弦長的最大值為. 19．(本小題滿分15分)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，過點A(0，－b)和B(a,0)的直線與原點的距離為. (1)求橢圓的方程； (2)已知定點E(－1,0)，若直線y＝kx＋2(k≠0)與橢圓交于C，D兩點，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點，請說明理由． 解：(1)直線AB的方程為：bx－ay－ab＝0. 依題意 解得 ∴橢圓方程為＋y2＝1. (2)假若存在這樣的k值， 由得 (1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0. ∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.① 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)， 則② 而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4. 要使以CD為直徑的圓過點E(－1,0)，當且僅當CE⊥DE時，則＝－1. 即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0. ∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③ 將②式代入③整理解得k＝.經(jīng)驗證k＝使①成立． 綜上可知，存在k＝，使得以CD為直徑的圓過點E. 20．(本小題滿分15分)已知橢圓＋y2＝1(a>1)， (1)若橢圓的上頂點A(0,1)到焦點的距離為，求橢圓的離心率． (2)Rt△ABC以A(0,1)為直角頂點，邊AB，AC分別與橢圓交于點B，C.若△ABC面積的最大值為，求a的值． 解：(1)∵A(0,1)到焦點的距離為， ∴a＝，c＝＝，e＝＝＝. (2)不妨設(shè)直線AB斜率k>0，則AB：y＝kx＋1，AC：y＝－x＋1 由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0， 解得xB＝－， 同理xC＝， 則|AB|＝＝， 同理可得，|AC|＝. S＝|AB||AC|＝2a4 ＝2a4， 令k＋＝t≥2， 則S＝2a4＝≤， 當且僅當t＝≥2，即a≥1＋時取等號(a≤1－舍去)． 由＝， 解得a＝3，或a＝(舍去)． ∴a＝3.