《(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第一篇 小考點(diǎn)搶先練基礎(chǔ)題不失分 第3練 復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)文化試題.docx》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第一篇 小考點(diǎn)搶先練基礎(chǔ)題不失分 第3練 復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)文化試題.docx(13頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第3練 復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)文化
[明晰考情] 1.命題角度:復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和幾何意義;數(shù)學(xué)文化的考查內(nèi)容不拘一格,古今中外文化兼有.2.題目難度:復(fù)數(shù)的考查難度為低檔難度,數(shù)學(xué)文化的考查難度為中檔難度.
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的概念
要點(diǎn)重組 (1)復(fù)數(shù):形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的實部和虛部,i為虛數(shù)單位.若b=0,則a+bi為實數(shù);若b≠0,則a+bi為虛數(shù);若a=0且b≠0,則a+bi為純虛數(shù).
(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
(3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
(4)復(fù)數(shù)的模:向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R).
方法技巧 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項式的四則運(yùn)算,復(fù)數(shù)除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).
1.(2018全國Ⅰ)設(shè)z=+2i,則|z|等于( )
A.0 B.
C.1 D.
答案 C
解析 ∵z=+2i=+2i=+2i=i,
∴|z|=1.故選C.
2.(2018全國Ⅱ)等于( )
A.--i B.-+i
C.--i D.-+i
答案 D
解析?。剑剑剑剑玦.故選D.
3.已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),則(a+bi)2等于( )
A.5-4iB.5+4i C.3-4iD.3+4i
答案 D
解析 由已知得a=2,b=1,即a+bi=2+i,
∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.故選D.
4.(2018杭州模擬)設(shè)a∈R,若(1+3i)(1+ai)∈R(i是虛數(shù)單位),則a等于( )
A.3B.-3C.D.-
答案 B
解析 (1+3i)(1+ai)=1+ai+3i-3a,
∵(1+3i)(1+ai)∈R,
∴虛部為0,則a+3=0,∴a=-3.
5.(2018浙江省杭州市第二中學(xué)月考)若復(fù)數(shù)z滿足(1-2i)z=3+i(i為虛數(shù)單位),則z=______;|z|=________.
答案
解析 由題設(shè)有z===,故|z|=.
6.(2017浙江)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則a2+b2=________,ab=________.
答案 5 2
解析 (a+bi)2=a2-b2+2abi.
由(a+bi)2=3+4i,得
解得a2=4,b2=1.所以a2+b2=5,ab=2.
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的幾何意義
要點(diǎn)重組 (1)復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,b∈R).
(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)平面向量.
7.已知z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-3,1) B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
答案 A
解析 由復(fù)數(shù)z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,
得解得-3
a1c2.
其中正確的式子的序號是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
答案 D
解析?、儆深}圖知2a1>2a2,2c1>2c2,
即a1>a2,c1>c2,∴a1+c1>a2+c2,∴①不正確.
②∵a1-c1=|PF|,a2-c2=|PF|,∴a1-c1=a2-c2,∴②正確.
④∵a1>a2>0,c1>c2>0,∴a>a,c>c.
又∵a1-c1=a2-c2,
即a1+c2=a2+c1,
即a+c+2a1c2=a+c+2a2c1,
∴a-c+c-a+2a1c2=2a2c1,
即(a1-c1)(a1+c1)-(a2-c2)(a2+c2)+2a1c2=2a2c1,
整理得(a1-c1)(a1-a2+c1-c2)+2a1c2=2a2c1.
∵a1>c1,a1>a2,c1>c2,
∴2a1c2<2a2c1,即c1a2>a1c2,∴④正確.
③∵c1a2>a1c2,a1>0,a2>0,
∴>,即>,∴③不正確.故選D.
考點(diǎn)四 其他數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)文化
方法技巧 數(shù)學(xué)文化中蘊(yùn)含的數(shù)列問題,要尋找數(shù)列前幾項,尋找規(guī)律,抽象出數(shù)列模型;其他數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合,關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型.
18.《張邱建算經(jīng)》是中國古代的數(shù)學(xué)著作,書中有一道題為:“今有女善織,日益功疾(注:從第2天開始,每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布,現(xiàn)一月(按30天計)共織390尺布”,則從第2天起每天比前一天多織布的尺數(shù)為( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 依題意設(shè)每天多織d尺,依題意得S30=305+d=390,解得d=.
19.(2018北京)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為( )
A.fB.fC.fD.f
答案 D
解析 由題意知,這十三個單音的頻率構(gòu)成首項為f、公比為的等比數(shù)列,則第八個單音的頻率為()7f=f.
20.《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題:“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個單位,遞減的比例為40%.今共有糧m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和為164石,則“衰分比”與m的值分別為( )
A.20%,369 B.80%,369
C.40%,360 D.60%,365
答案 A
解析 設(shè)“衰分比”為a,甲衰分得b石,
由題意,得
解得b=125,a=20%,m=369.
21.?dāng)?shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系,如詩中有回文詩:“兒憶父兮妻憶夫”,既可以順讀也可以逆讀.?dāng)?shù)學(xué)中有回文數(shù),如343、12521等,兩位數(shù)的回文數(shù)有11,22,33,…,99共9個,則三位數(shù)的回文數(shù)中,偶數(shù)的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 三位數(shù)的回文數(shù)為ABA,
A共有1到9共9種可能,即1B1,2B2,3B3,…,
B共有0到9共10種可能,即A0A,A1A,A2A,A3A,…,
共有910=90(個);
其中偶數(shù)為A是偶數(shù),共4種可能,即2B2,4B4,6B6,8B8,
B共有0到9共10種可能,即A0A,A1A,A2A,A3A,…,
其有410=40(個),
∴三位數(shù)的回文數(shù)中,偶數(shù)的概率P==.
22.(2017浙江)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π,理論上能把π的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年,“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,S6=________.
答案
解析 作出單位圓的內(nèi)接正六邊形,如圖,
則OA=OB=AB=1,
S6=6S△OAB=61=.
23.(2018浙江)我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個數(shù)分別為x,y,z,則當(dāng)z=81時,x=____,y=____.
答案 8 11
解析 方法一 由題意,得
即解得
方法二 100-81=19(只),
813=27(元),
100-27=73(元).
假設(shè)剩余的19只雞全是雞翁,則519=95(元).
因為95-73=22(元),
所以雞母:22(5-3)=11(只),
雞翁:19-11=8(只).
1.若復(fù)數(shù)lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i為純虛數(shù),則實數(shù)m的值為( )
A.2B.4 C.6D.8
答案 B
解析 ∵復(fù)數(shù)lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i為純虛數(shù),
∴
解得m=4.
2.若復(fù)數(shù)z=a+i(a∈R,且a<0),且|z|=2,則z(1+2i)的實部為( )
A.-(+1) B.(4-1)
C.(1-4) D.(+1)
答案 A
解析 因為復(fù)數(shù)z=a+i(a∈R,且a<0),
所以|z|==2,解得a=-,
可得z(1+2i)=(1+2i)=-(+1)+i,
所以z(1+2i)的實部為-(+1),故選A.
3.復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱,且z1=3+2i,則z1z2等于( )
A.12+13i B.13+12i
C.-13i D.13i
答案 D
解析 點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(b,a),
且z1=3+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2),
據(jù)此結(jié)合題意可知z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3),即z2=2+3i,
據(jù)此可得z1z2=(3+2i)(2+3i)=13i.
解題秘籍 (1)復(fù)數(shù)的概念是考查的重點(diǎn),虛數(shù)及純虛數(shù)的意義要把握準(zhǔn)確.
(2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算中除法運(yùn)算是高考的熱點(diǎn),運(yùn)算時要分母實數(shù)化(分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)),兩個復(fù)數(shù)相等的條件在復(fù)數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常用到.
1.下列各式的運(yùn)算結(jié)果為2i的是( )
A.i+i2+i3+i4 B.|3-i|i
C.i(2+i)-1 D.+3i
答案 D
解析 i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0;|3-i|i=i;
i(2+i)-1=2i+i2-1=2i-2;
+3i=+3i=-i+3i=2i.
2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=(i是虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 ∵z====-1-2i,
∴=-1+2i,
則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2),位于第二象限,故選B.
3.設(shè)為復(fù)數(shù)z=-i的共軛復(fù)數(shù),則(z-)2016等于( )
A.22016B.-22016 C.22016iD.-i
答案 A
解析 ∵z=-i,∴共軛復(fù)數(shù)=+i,則(z-)2016=2016=(-2i)2016=22016.
4.南北朝時期的數(shù)學(xué)古籍《張邱建算經(jīng)》有如下一道題:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出;下四人后入得三斤,持出;中間三人未到者,亦依等次更給.問:每等人比下等人多得幾斤?”( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 設(shè)第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,以此類推,第一等人得金a10斤,則數(shù)列{an}構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則每一等人比下一等人多得d斤金,
由題意得即
解得d=,
∴每一等人比下一等人多得斤金.
5.朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一,他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日轉(zhuǎn)多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,問筑堤幾日”.其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩,第一天派出64人,從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人,修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升,共發(fā)出大米40392升,問修筑堤壩多少天”,在該問題中前5天共分發(fā)了多少升大米?( )
A.1170 B.1380
C.3090 D.3300
答案 D
解析 設(shè)第n天派出的人數(shù)為an,則{an}是以64為首項,7為公差的等差數(shù)列,則第n天修筑堤壩的人數(shù)為Sn=a1+a2+…+an=64n+7,所以前5天共分發(fā)的大米數(shù)為3(S1+S2+S3+S4+S5)=3[(1+2+3+4+5)64+(1+3+6+10)7]=3300(升).
6.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是( )
(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)
A.1寸 B.2寸
C.3寸 D.4寸
答案 C
解析 如圖,由題意可知,天池盆上底面半徑為14寸,下底面半徑為6寸,高為18寸.
∵積水深9寸,
∴水面半徑為(14+6)=10(寸),
則盆中水的體積為π9(62+102+610)=588π(立方寸).
∴平地降雨量等于=3(寸).
故選C.
7.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有陽馬,廣五尺,袤七尺,高八尺,問積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,它的底面長、寬分別為7尺和5尺,高為8尺,問它的體積是多少?”若以上的條件不變,則這個四棱錐的外接球的表面積為( )
A.128π平方尺 B.138π平方尺
C.140π平方尺 D.142π平方尺
答案 B
解析 設(shè)四棱錐的外接球半徑為r尺,
則(2r)2=72+52+82=138,
∴這個四棱錐的外接球的表面積為4πr2=138π(平方尺).故選B.
8.我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題:“今有垣厚十尺,兩鼠對穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問幾何日相逢?”上述問題中,兩鼠在第________天相逢.
答案 4
解析 由題意可知,大鼠每天打洞的距離是以1為首項,以2為公比的等比數(shù)列,前n天打洞之和為=2n-1;
同理,小鼠前n天打洞的距離為=2-,
∴2n-1+2-=10,解得n∈(3,4),取n=4.
即兩鼠在第4天相逢.
9.已知z是純虛數(shù),若(m+2i)z=2-3i,則實數(shù)m=__________.
答案 3
解析 設(shè)z=ai(a∈R且a≠0),
由(m+2i)z=2-3i,得(m+2i)ai=-2a+mai=2-3i,
∴解得m=3.
10.(2018浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)模擬)若復(fù)數(shù)z=2(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為________,|z|=________.
答案 4 5
解析 由題意得z=2=2=(1+2i)2=-3+4i.所以復(fù)數(shù)z的虛部為4,|z|==5.
11.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z(1+i)=2-3i,則z的虛部為________.
答案?。?
解析 由z(1+i)=2-3i,
得z====--i,
則z的虛部為-.
12.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的生長程序:正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形邊上再連接正方形,如此繼續(xù),若共得到4095個正方形,設(shè)初始正方形的邊長為,則最小正方形的邊長為________.
答案
解析 依題意,正方形的邊長構(gòu)成以為首項,公比為的等比數(shù)列.
因為共有4095個正方形,
則1+2+22+…+2n-1=4095,所以n=12.
所以最小正方形的邊長為12-1=12=.
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