（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 模塊綜合檢測2 新人教A版選修2-1.doc

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模塊綜合檢測 (時(shí)間120分鐘　滿分150分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．命題“若△ABC有一內(nèi)角為，則△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題(　　) A．與原命題同為假命題 B．與原命題的否命題同為假命題 C．與原命題的逆否命題同為假命題 D．與原命題同為真命題 解析：選D　原命題顯然為真，原命題的逆命題為“若△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則△ABC有一內(nèi)角為”，它是真命題． 2．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為(　　) A.　　　　　　　　　　 B．－ C．8 D．－8 解析：選B　由y＝ax2得x2＝y(tǒng)， ∴＝－8， ∴a＝－. 3．下列說法中正確的是(　　) A．一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真 B．“a>b”與“a＋c>b＋c”不等價(jià) C．“a2＋b2＝0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則a2＋b2≠0” D．一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真 解析：選D　否命題和逆命題互為逆否命題，有著一致的真假性，故選D. 4．已知空間向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b與b垂直，則|a|等于(　　) A. B. C. D. 解析：選D　由已知可得2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n－1,2)． 又∵(2a－b)⊥b，∴－8＋2n－1＋4＝0. ∴2n＝5，n＝.∴|a|＝ ＝. 5．雙曲線－＝1(mn≠0)的離心率為2，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)， 故雙曲線－＝1中， m>0，n>0且m＋n＝c2＝1.① 又雙曲線的離心率e＝＝ ＝2，② 聯(lián)立方程①②，解得故mn＝. 6．若直線y＝2x與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為(　　) A．(1，) B．(，＋∞) C．(1， ] D．[，＋∞) 解析：選B　雙曲線的兩條漸近線中斜率為正的漸近線為y＝x.由條件知，應(yīng)有>2， 故e＝＝＝ >. 7．已知F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，∠F1PF2＝α.當(dāng)α＝時(shí)，△F1PF2面積最大，則m＋n的值是(　　) A．41 B．15 C．9 D．1 解析：選B　由S△F1PF2＝|F1F2|yP＝3yP， 知P為短軸端點(diǎn)時(shí)，△F1PF2面積最大． 此時(shí)∠F1PF2＝， 得a＝＝2 ，b＝＝，故m＋n＝15. 8．正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO.建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)BC＝1， 則A，B， D. ∴＝，＝，＝. 由于＝為平面BCD的一個(gè)法向量，可進(jìn)一步求出平面ABD的一個(gè)法向量n＝(1，－，1)， ∴cos〈n，〉＝，∴sin〈n，〉＝. 二、填空題(本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每題4分，共36分) 9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足＝4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________． 解析：由＝4得x1＋y2＝4，因此所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x＋2y－4＝0. 答案：x＋2y－4＝0 10．點(diǎn)F是拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，l是準(zhǔn)線，A是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線AF的傾斜角為60，AB⊥l于B，△ABF的面積為，則p的值為________，點(diǎn)A坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)A(x，y)，∵直線AF的傾斜角為60，∴y＝①，∵△ABF的面積為，∴y＝②，∵A是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，∴y2＝2px③，∴由①②③可得p＝1，x＝，y＝. 答案：1　 11．已知P為拋物線C：y2＝4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線方程為____________，若準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)N，直線NP與拋物線交于另一點(diǎn)Q，且|PF|＝3|QF|，則點(diǎn)P坐標(biāo)為____________． 解析：∵y2＝4x，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0)，準(zhǔn)線方程x＝－1.過P，Q分別作準(zhǔn)線的射影分別為A，B，則由拋物線的定義可知：|PA|＝|PF|，|QF|＝|BQ|，∵|PF|＝3|QF|，∴|AP|＝3|QB|，即|AN|＝3|BN|，∴P，Q的縱坐標(biāo)滿足yP＝3yQ，設(shè)P，y≠0，則Q，N(－1,0)，∵N，Q，P三點(diǎn)共線，∴＝，解得y2＝12，∴y＝2，此時(shí)x＝＝＝3，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，2)． 答案：x＝－1　(3，2) 12．若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則雙曲線－＝1的離心率為________，漸近線方程為________． 解析：因?yàn)闄E圓＋＝1的離心率e1＝， 所以1－＝e＝，即＝，而在雙曲線－＝1中，設(shè)離心率為e2，則e＝1＋＝1＋＝， 所以e2＝.漸近線方程為y＝x，即y＝x. 答案：　y＝x 13．已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝________. 解析：由題意得解得|F2A|＝2a，|F1A|＝4a， 又由已知可得＝2，所以c＝2a，即|F1F2|＝4a， ∴cos∠AF2F1＝ ＝＝. 答案： 14．過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.若∠AOB＝120(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為________． 解析：由題意，如圖，在Rt△AOF中，∠AFO＝30， AO＝a，OF＝c，∴sin 30＝＝＝.∴e＝＝2. 答案：2 15．正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)，則EF與平面CDD1C1所成角的正弦值為________，EF與AB所成角的正切值為________． 解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則E(2,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)， ∴＝(－1,2，－1)． 又平面CDD1C1的一個(gè)法向量為＝(0,2,0)，cos〈〉＝＝，故所求角的正弦值為.EF與AB所成角為∠EFC，tan∠EFC＝. 答案：　 三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分14分)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件，若存在，求出m的范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的必要條件，若存在，求出m的范圍． 解：(1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， ∵x∈P是x∈S的充要條件， ∴P＝S， ∴∴ 這樣的m不存在． (2)由題意x∈P是x∈S的必要條件，則S?P. ∴∴m≤3. 綜上，可知0≤m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件． 17．(本小題滿分15分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝ ，∠ABC＝60. (1)證明：AB⊥A1C； (2)求二面角AA1CB的正切值大?。? 解：法一：(1)證明：∵三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱， ∴AB⊥AA1. 在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，∠ABC＝60. 由正弦定理得∠ACB＝30， ∴∠BAC＝90，即AB⊥AC， ∴AB⊥平面ACC1A1. 又A1C?平面ACC1A1， ∴AB⊥A1C. (2)如圖，作AD⊥A1C交A1C于D點(diǎn)，連接BD. ∵AB⊥A1C，AD∩AB＝A， ∴A1C⊥平面ABD， ∴BD⊥A1C， ∴∠ADB為二面角AA1CB的平面角． 在Rt△AA1C中， AD＝＝＝. 在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝， ∴二面角AA1CB的正切值為. 法二：(1)證明：∵三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱， ∴AA1⊥AB，AA1⊥AC. 在△ABC中， AB＝1，AC＝ ，∠ABC＝60. 由正弦定理得∠ACB＝30， ∴∠BAC＝90， 即AB⊥AC.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)， ∴＝(1,0,0)，＝(0，，－)． ∵＝10＋0＋0(－ )＝0，∴AB⊥A1C. (2)取m＝＝(1,0,0)為平面AA1C1C的法向量． 由(1)知：＝(－1，，0)，設(shè)平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)， 則 ∴ ∴x＝y(tǒng)，y＝z.令y＝1，則n＝(，1,1)， ∴cos 〈m，n〉＝ ＝＝， ∴sin〈m，n〉＝ ＝， ∴tan〈m，n〉＝. ∴二面角AA1CB的正切值為. 18．(本小題滿分15分)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求證：AA1⊥平面ABC； (2)求二面角A1BC1B1的余弦值． 解：(1)證明：因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1⊥AC. 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC， 所以AA1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB. 由題知AB＝3，BC＝5，AC＝4， 所以AB⊥AC. 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)． 設(shè)平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令z＝3，則x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)． 同理可得，平面B1BC1的一個(gè)法向量為m＝(3,4,0)． 所以cos〈 n，m〉＝＝. 由題知二面角A1BC1B1為銳角， 所以二面角A1BC1B1的余弦值為. 19.(本小題滿分15分)如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝BC＝2CD＝2，AD＝，PE＝2BE. (1)求證：平面PAD⊥平面PCD； (2)若二面角PACE的大小為45，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值． 解：(1)證明：∵PC⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， ∴PC⊥AD， 又CD⊥AD，PC∩CD＝C，∴AD⊥平面PCD， 又AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PCD. (2)取AB的中點(diǎn)F，連接CF，則CF⊥AB， 如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CF為x軸，CD為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PC＝a， 則P(0,0，a)(a>0)， E，A(，1,0)， ＝(，1,0)，＝(0,0，a)，＝， 設(shè)m＝(x，y，z)是平面PAC的一個(gè)法向量， 則 取x＝1，得m＝(1，－，0)， 設(shè)平面EAC的法向量n＝(x1，y1，z1)， 則 取x1＝1，得n＝， ∵二面角PACE的大小為45， ∴cos 45＝|cos〈m，n〉|＝＝＝， 解得a＝2，此時(shí)n＝(1，－，－2)， ∴＝(，1，－2)， 設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ， 則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. ∴直線PA與平面EAC所成角的正弦值為. 20．(本小題滿分15分)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為(－2,0)，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)已知直線l過點(diǎn)S(4,0)，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P′，P′與Q兩點(diǎn)的連線交x軸于點(diǎn)T，當(dāng)△PQT的面積最大時(shí)，求直線l的方程． 解：(1)由題意可得 可得c＝1，b＝＝. 所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線l的方程為x＝my＋4，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則P′(x1，－y1)， 聯(lián)立 得(4＋3m2)y2＋24my＋36＝0， 則Δ＝(24m)2－144(4＋3m2)＝144(m2－4)>0， 即m2>4. 又y1＋y2＝－， y1y2＝， 直線P′Q的方程為y＝(x－x1)－y1， 則xT＝＝ ＝＝＋4＝1， 則T(1,0)，故|ST|＝3， 所以S△PQT＝S△SQT－S△SPT ＝|y1－y2|＝＝， 令t＝>0， 則S△PQT＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)t2＝，即m2＝， 即m＝時(shí)取到“＝”， 故所求直線l的方程為3x2－12＝0.