(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準提分 第二篇 重點專題分層練中高檔題得高分 第10練 正弦定理、余弦定理及應(yīng)用試題.docx
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第10練 正弦定理、余弦定理及應(yīng)用 [明晰考情] 1.命題角度:考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式,常與三角恒等變換相結(jié)合.2.題目難度:單獨考查正弦、余弦定理時,難度中檔偏下;和三角恒等變換交匯考查時,中檔難度. 考點一 正弦定理、余弦定理 方法技巧 (1)分析已知的邊角關(guān)系,合理設(shè)計邊角互化. (2)結(jié)合三角函數(shù)公式,三角形內(nèi)角和定理,大邊對大角等求出三角形的基本量. 1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,則b等于( ) A.B.C.2D.3 答案 D 解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA, 即5=b2+22-2b2, 解得b=3,故選D. 2.(2018全國Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,則AB等于( ) A.4B.C.D.2 答案 A 解析 ∵cos=, ∴cosC=2cos2-1=22-1=-. 在△ABC中,由余弦定理, 得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=52+12-251=32, ∴AB==4.故選A. 3.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=_____. 答案 解析 方法一 由2bcosB=acosC+ccosA及正弦定理, 得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA. ∴2sinBcosB=sin(A+C). 又A+B+C=π,∴A+C=π-B. ∴2sinBcosB=sin(π-B)=sinB. 又sinB≠0,∴cosB=. 又∵B∈(0,π),∴B=. 方法二 在△ABC中,由余弦定理,得acosC+ccosA=a+c=b, ∴條件等式變?yōu)?bcosB=b,∴cosB=. 又0<B<π,∴B=. 4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2=3b2+3c2-2bcsinA,則C=________. 答案 解析 由余弦定理, 得a2=b2+c2-2bccosA, 所以b2+c2-2bccosA=3b2+3c2-2bcsinA, sinA-cosA=,2sin==+≥2, 當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,等號成立,因此b=c,A-=,所以A=, 所以C==. 考點二 與三角形的面積有關(guān)的問題 要點重組 三角形的面積公式 (1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分別表示a,b,c邊上的高). (2)S=absinC=bcsinA=casinB. (3)S=r(a+b+c)(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑). 5.(2018全國Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為,則C等于( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 ∵S=absinC===abcosC, ∴sinC=cosC,即tanC=1. 又∵C∈(0,π),∴C=. 6.鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC等于( ) A.5B.C.2D.1 答案 B 解析 ∵S=ABBCsinB=1sinB=, ∴sinB=,∴B=或. 當(dāng)B=時,根據(jù)余弦定理有AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=1+2+2=5,∴AC=,此時△ABC為鈍角三角形,符合題意; 當(dāng)B=時,根據(jù)余弦定理有AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=1+2-2=1,∴AC=1,此時AB2+AC2=BC2,△ABC為直角三角形,不符合題意.故AC=. 7.(2018全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為________. 答案 解析 ∵bsinC+csinB=4asinBsinC, ∴由正弦定理得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC. 又sinBsinC>0,∴sinA=. 由余弦定理得cosA===>0, ∴cosA=,bc==, ∴S△ABC=bcsinA==. 8.在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB,=2,則△ABC的面積為________. 答案 2 解析 因為bcosC=3acosB-ccosB, 由正弦定理得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB, 即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 所以sin(B+C)=3sinAcosB. 又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA, 所以sinA=3sinAcosB,又sinA≠0,解得cosB=, 所以sinB===. 由=2,可得cacosB=2,解得ac=6. 所以S△ABC=acsinB=6=2. 考點三 解三角形中的最值(范圍)問題 方法技巧 由余弦定理中含兩邊和的平方(如a2+b2-2abcosC=c2)且a2+b2≥2ab,因此在解三角形中,若涉及已知條件中含邊長之間的關(guān)系,且與面積有關(guān)的最值問題,一般利用S=absinC型面積公式及基本不等式求解,有時也用到三角函數(shù)的有界性. 9.在△ABC中,=|-|=3,則△ABC的面積的最大值為( ) A.B.C.D.3 答案 B 解析 設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, ∵=|-|=3,即bccosA=3,a=3, ∴cosA=≥1-=1-, ∴cosA≥,∴0<sinA≤, ∴0<tanA≤. ∴△ABC的面積S=bcsinA=tanA≤=, 故△ABC面積的最大值為. 10.已知a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊,其面積滿足S△ABC=a2,則的最大值為( ) A.-1 B. C.+1 D.+2 答案 C 解析 根據(jù)題意,有S△ABC=a2=bcsinA,即a2=2bcsinA.應(yīng)用余弦定理,可得b2+c2-2bccosA=a2=2bcsinA,令t=,于是t2+1-2tcosA=2tsinA.于是2tsinA+2tcosA=t2+1,所以2sin=t+,從而t+≤2,當(dāng)且僅當(dāng)A=時,“=”成立,解得t的最大值為+1. 11.已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,滿足cosAsinBsinC+cosBsinAsinC=2cosCsinAsinB,則C的最大值為______. 答案 解析 由正弦定理,得bccosA+accosB=2abcosC, 由余弦定理,得 bc+ac=2ab, ∴a2+b2=2c2, ∴cosC== =≥=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號. ∵0- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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