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專題檢測（二十三） “函數(shù)與導數(shù)”壓軸大題的搶分策略
1．(2018武漢調研)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋(a∈R)．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；
(2)當a>0時，證明：f(x)≥.
解：(1)f′(x)＝－＝(x>0)．
當a≤0時，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
當a>0時，若x>a，則f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(a，＋∞)上單調遞增；
若0
0時，f(x)min＝f(a)＝ln a＋1.
要證f(x)≥，只需證ln a＋1≥，
即證ln a＋－1≥0.
令函數(shù)g(a)＝ln a＋－1，
則g′(a)＝－＝(a>0)，
當01時，g′(a)>0，
所以g(a)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，
所以g(a)min＝g(1)＝0.
所以ln a＋－1≥0恒成立，
所以f(x)≥.
2．(2018全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2.
(1)若a＝1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；
(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個零點，求a.
解：(1)證明：當a＝1時，f(x)≥1等價于(x2＋1)e－x－1≤0.
設函數(shù)g(x)＝(x2＋1)e－x－1，
則g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.
當x≠1時，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞減．
而g(0)＝0，故當x≥0時，g(x)≤0，即f(x)≥1.
(2)設函數(shù)h(x)＝1－ax2e－x.
f(x)在(0，＋∞)上只有一個零點等價于h(x)在(0，＋∞)上只有一個零點．
(ⅰ)當a≤0時，h(x)>0，h(x)沒有零點；
(ⅱ)當a>0時，h′(x)＝ax(x－2)e－x.
當x∈(0,2)時，h′(x)<0；
當x∈(2，＋∞)時，h′(x)>0.
所以h(x)在(0,2)上單調遞減，
在(2，＋∞)上單調遞增．
故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)上的最小值．
①當h(2)>0，即a<時，h(x)在(0，＋∞)上沒有零點．
②當h(2)＝0，即a＝時，h(x)在(0，＋∞)上只有一個零點．
③當h(2)<0，即a>時，因為h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)上有一個零點．
由(1)知，當x>0時，ex>x2，所以h(4a)＝1－＝1－>1－＝1－>0，
故h(x)在(2,4a)上有一個零點．因此h(x)在(0，＋∞)上有兩個零點．
綜上，當f(x)在(0，＋∞)上只有一個零點時，a＝.
3．(2018西安質檢)設函數(shù)f(x)＝ln x＋(k∈R)．
(1)若曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線與直線x－2＝0垂直，求f(x)的單調性和極小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))；
(2)若對任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)0)，
∵曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線與直線x－2＝0垂直，
∴f′(e)＝0，即－＝0，得k＝e，
∴f′(x)＝－＝(x>0)．
由f′(x)<0，得00，得x>e，
∴f(x)在(0，e)上單調遞減，在(e，＋∞)上單調遞增，
當x＝e時，f(x)取得極小值，且f(e)＝ln e＋＝2.
∴f(x)的極小值為2.
(2)由題意知對任意的x1>x2>0，f(x1)－x10)，
則h(x)在(0，＋∞)上單調遞減，
∴h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即當x>0時，k≥－x2＋x＝－2＋恒成立，
∴k≥.
故k的取值范圍是.
4．(2018全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x.
(1)若a＝0，證明：當－10時，f(x)>0；
(2)若x＝0是f(x)的極大值點，求a.
解：(1)證明：當a＝0時，f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x，f′(x)＝ln(1＋x)－.
設函數(shù)g(x)＝ln(1＋x)－，
則g′(x)＝.
當－10時，g′(x)>0，
故當x>－1時，g(x)≥g(0)＝0，
且僅當x＝0時，g(x)＝0，
從而f′(x)≥0，且僅當x＝0時，f′(x)＝0.
所以f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增．
又f(0)＝0，
故當－10時，f(x)>0.
(2)①若a≥0，由(1)知，
當x>0時，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x>0＝f(0)，
這與x＝0是f(x)的極大值點矛盾．
②若a<0，
設函數(shù)h(x)＝＝ln(1＋x)－.
由于當|x|0，
故h(x)與f(x)符號相同．
又h(0)＝f(0)＝0，
故x＝0是f(x)的極大值點，
當且僅當x＝0是h(x)的極大值點．
h′(x)＝－
＝.
若6a＋1>0，則當00，
故x＝0不是h(x)的極大值點．
若6a＋1<0，則a2x2＋4ax＋6a＋1＝0存在根x1<0，
故當x∈(x1,0)，且|x|0；
當x∈(0,1)時，h′(x)<0.
所以x＝0是 h(x)的極大值點，
從而x＝0是 f(x)的極大值點．
綜上，a＝－
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