線性代數(shù)在機械與動力工程中的簡單運用.doc

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線性代數(shù)在動力機械工程領(lǐng)域中的應用 院系：能源動力學院 學號：201364180 姓名：董書金 在機械工程領(lǐng)域復雜線性方程組的數(shù)值求解是經(jīng)常遇見的問題，而且機械工程中的一些多解問題，例如機構(gòu)轉(zhuǎn)配構(gòu)型，機器人機構(gòu)樹狀解和設(shè)計方案的多解問題等，常常需要線性代數(shù)中線性方程的一些理論求解。并且線性代數(shù)中的公式通用于能淬火硬化的各種碳素鋼及合金鋼。實際上,這些方程可以當作是一種定量尺度,廣泛用于設(shè)計或選擇鋼種、制定或修訂標準、控制熔煉成分等方面?，F(xiàn)代飛行器外形設(shè)計，這個就需要先研究飛機表面的氣流的過程。把飛行器的外形分成若干大的部件，每個部件沿著其表面又用三維的細網(wǎng)格劃分出許多立方體，這些立方體包括了機身表面以及此表面內(nèi)外的空氣。對每個立方體列寫出空氣動力學方程，其中包括了與它相鄰的立方體的共同邊界變量，這些方程通常都已經(jīng)簡化為線性方程。結(jié)合高等代數(shù)廣泛用于研制和提供能量轉(zhuǎn)換機械，包括將熱能、化學能、原子能、電能、流體壓力能和天然機械能轉(zhuǎn)換為適合于應用的機械能的各種動力機械，以及將機械能轉(zhuǎn)換為所需要的其他能量的能量變換機械。 一、線性方程數(shù)據(jù)處理在理工科學習中的基礎(chǔ)運用 l 用于計算多元或者單元復雜結(jié)構(gòu)極限（線性代數(shù)原理運用軟件：MATLAB），解放人工計算無法解決計算的復雜問題。 l 其計算原理用于求解導數(shù)，多元函數(shù)的偏導數(shù)，定積分，多重積分，進而解決實際運用中計算不規(guī)則曲面，形體的面積，體積等，并用于航空器外殼，船舶形體量，汽車制造，精密機械制造等工程設(shè)計中。 1.描述n階線性時不變（LTI）連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 n≥m 已知y及其各階導數(shù)的初始值為y(0)，y(1)(0)，…，y(n-1)(0)，求系統(tǒng)的零輸入響應。 解：當LTI系統(tǒng)的輸入為零時，其零輸入響應為微分方程的齊次解（即令微分方程等號右端為0），其形式為（設(shè)特征根均為單根） 其中p1，p2，…，pn是特征方程a1ln+a2ln-1+…+ anl+ an+1 =0的根，它們可用roots(a)語句求得。各系數(shù)C1，…，Cn由y及其各階導數(shù)的初始值來確定。對此有 C1+ C2+…+Cn = y0 y0 = y(0) p1C1+ p2C2+…+ pnCn=Dy0 (Dy0表示y的導數(shù)的初始值y(1)(0)) ………………………………… 寫成矩陣形式為 即 VC = Y0 ， 其解為 C =V \ Y0 式中 V為范德蒙矩陣，在MATLAB的特殊矩陣庫中有vander函數(shù)可直接生成。 （參考文獻： 郭龍先，張毅敏，何建瓊.高等代數(shù)[M].北京：科學出版社，2011） l 用于求解多元線性，非線性方程或多解，方程的根，求和與級數(shù)求和，極值點，概率論問題模擬分析等問題，進而運用于天氣預測，流體力學分析，經(jīng)濟學最優(yōu)解，機械最優(yōu)結(jié)構(gòu)，空氣動力學等多領(lǐng)域中。 1.在熱傳導的研究中, 一個重要的問題是確定一塊平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布. 根據(jù)…定律, 只要測定一塊矩形平板四周的溫度就可以確定平板上各點的溫度. 圖8 一塊平板的溫度分布圖 【模型準備】如圖9所示的平板代表一條金屬梁的截面. 已知四周8個節(jié)點處的溫度(單位C), 求中間4個點處的溫度T1, T2, T3, T4. T1 T2 T3 T4 100 80 90 80 60 50 60 50 圖9 一塊平板的溫度分布圖 【模型假設(shè)】假設(shè)忽略垂直于該截面方向上的熱傳導, 并且每個節(jié)點的溫度等于與它相鄰的四個節(jié)點溫度的平均值. 【模型建立】根據(jù)已知條件和上述假設(shè), 有如下線性方程組 【模型求解】將上述線性方程組整理得 . 在Matlab命令窗口輸入以下命令 >> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100]; >> x = A\b; x’ Matlab執(zhí)行后得 ans = 82.9167 70.8333 70.8333 60.4167 可見T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167. （參考文獻： 陳懷琛, 高淑萍, 楊威, 工程線性代數(shù), 北京: 電子工業(yè)出版社, 2007. 頁碼: 15-16.） l 其計算原理用于平面解析幾何分析，線性模擬計算，非線性多方向定向求解等復雜數(shù)學數(shù)據(jù)處理過程，進而用于平面設(shè)計，立體結(jié)構(gòu)分析及結(jié)構(gòu)優(yōu)化，物理復雜受力求解，航天模擬，電路設(shè)計優(yōu)化，發(fā)動機設(shè)計，能量轉(zhuǎn)換優(yōu)化等眾多能源動力學領(lǐng)域中。 1.設(shè)平移變換為 (x, y) (x+a, y+b) 旋轉(zhuǎn)變換(繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)q角度)為 (x, y) (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq) 放縮變換(沿x軸方向放大s倍, 沿y軸方向放大t倍)為 (x, y) (sx, ty) 【模型求解】R2中的每個點(x, y)可以對應于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1單位的平面上. 我們稱(x, y, 1)是(x, y)的齊次坐標. 在齊次坐標下, 平移變換 (x, y) (x+a, y+b) 可以用齊次坐標寫成 (x, y, 1) (x+a, y+b, 1). 于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 旋轉(zhuǎn)變換 (x, y) (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq) 可以用齊次坐標寫成 (x, y, 1) (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq, 1). 于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 放縮變換 (x, y) (sx, ty) 可以用齊次坐標寫成 (x, y, 1) (sx, ty, 1). 于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 2.電路是電子元件的神經(jīng)系統(tǒng). 參數(shù)的計算是電路設(shè)計的重要環(huán)節(jié). 其依據(jù)來自兩個方面: 一是客觀需要, 二是物理學定律. 圖22 USB擴展板 【模型準備】假設(shè)圖23中的方框代表某類具有輸入和輸出終端的電路. 用記錄輸入電壓和輸入電流(電壓v以伏特為單位, 電流i以安培為單位), 用記錄輸出電壓和輸入電流. 若= A, 則稱矩陣A為轉(zhuǎn)移矩陣. 輸入終端v1 輸出終端v2 i1 i2 電路 圖23 具有輸入和輸出終端的電子電路圖 圖24給出了一個梯形網(wǎng)絡, 左邊的電路稱為串聯(lián)電路, 電阻為R1(單位: 歐姆). 右邊的電路是并聯(lián)電路, 電路R2. 利用歐姆定理和楚列斯基定律, 我們可以得到串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣分別是 和 v1 v2 i1 i2 R1 v3 i2 i3 R2 串聯(lián)電路 并聯(lián)電路 圖24 梯形網(wǎng)絡 設(shè)計一個梯形網(wǎng)絡, 其轉(zhuǎn)移矩陣是. 【模型假設(shè)】假設(shè)導線的電阻為零. 【模型建立】設(shè)A1和A2分別是串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣, 則輸入向量x先變換成A1x, 再變換到A2(A1x). 其中 A2A1 == 就是圖22中梯形網(wǎng)絡的轉(zhuǎn)移矩陣. 于是, 原問題轉(zhuǎn)化為求R1, R2的值使得=. 【模型求解】由=可得. 根據(jù)其中的前兩個方程可得R1 = 8, R2 = 2. 把R1 = 8, R2 = 2代入上面的第三個方程確實能使等式成立. 這就是說在圖22中梯形網(wǎng)絡中取R1 = 8, R2 = 2即為所求. 【模型分析】若要求的轉(zhuǎn)移矩陣改為, 則上面的梯形網(wǎng)絡無法實現(xiàn). 因為這時對應的方程組是. 根據(jù)前兩個方程依然得到R1 = 8, R2 = 2, 但把R1 = 8, R2 = 2代入上第三個方程卻不能使等式成立. （參考文獻 David C. Lay, 線性代數(shù)及其應用, 沈復興, 傅鶯鶯等譯, 北京: 人民郵電出版社, 2009. 頁碼: 129-130.） 二、線性代數(shù)學理論在能源動力工程中的綜合運用 l 航空飛行分析與設(shè)計 （參考文獻： 南京航天航空大學飛行器設(shè)計空氣動力學院學習參考課件） l 航空動力軌道探測及數(shù)據(jù)處理 2.太空航天探測器發(fā)射以后, 可能需要調(diào)整以使探測器處在精確計算的軌道里. 雷達監(jiān)測到一組列向量x1, …, xk, 它們給出了不同時刻探測器的實際位置與預定軌道之間的偏差的信息. 圖28 火星探測器 【模型準備】令Xk = [x1, …, xk]. 在雷達進行數(shù)據(jù)分析時需要計算出矩陣Gk = XkXkT. 一旦接收到數(shù)據(jù)向量xk+1, 必須計算出新矩陣Gk+1. 因為數(shù)據(jù)向量到達的速度非?？? 隨著k的增加, 直接計算的負擔會越來越重. 現(xiàn)需要給出一個算法, 使得計算Gk的負擔不會因為k的增加而加重. 【模型求解】因為 Gk = XkXkT = [x1, …, xk]=, Gk+1 = Xk+1= [Xk, xk+1]= XkXkT + xk+1= Gk + xk+1, 所以一旦接收到數(shù)據(jù)向量xk+1, 只要計算xk+1, 然后把它與上一步計算得到的Gk 相加即可. 這樣計算Gk的負擔不會因為k的增加而加重. （參考文獻 David C. Lay, 線性代數(shù)及其應用, 沈復興, 傅鶯鶯等譯, 北京: 人民郵電出版社, 2009. 頁碼: 123.） 結(jié)語：總而觀之，線性代數(shù)理論與數(shù)據(jù)處理方法，分析思維已經(jīng)滲入我們所學專業(yè)的多個領(lǐng)域，并且隨著相應處理技術(shù)的完善與推廣，代數(shù)分析處理方法必將對科技的各個領(lǐng)域帶來極大的便利與方法，必將在今后的科技發(fā)展中發(fā)揮其越來越明顯的優(yōu)勢并為數(shù)學，物理，力學，地理，經(jīng)濟，天文學等眾多學科產(chǎn)生極大的推動作用。