《信號與系統(tǒng)》第三次作業(yè).doc
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《信號與系統(tǒng)》第三次作業(yè) 姓名: 學號: 1. 試由s域求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),零狀態(tài)響應,零輸入響應及完全響應。 (1) ,, 將式中②兩邊求導后代入式①,隨即求得系統(tǒng)的數(shù)學模型為 將式③進行拉氏變換,得 由于在零狀態(tài)下,故有 則得Y(s)=H(s)X(s)⑥ 可見,在系統(tǒng)初始不儲能的零狀態(tài)下,系統(tǒng)輸出的拉氏變換等于輸入的拉氏變換乘以H(s),即 從式⑤、⑥可見,H(s)取決于系統(tǒng)的構成和有關參數(shù)(系數(shù)),而與輸入信號無關,它反映了輸入信號通過系統(tǒng)以后所產(chǎn)生的變化,如系統(tǒng)的輸入x(t)=u(t),是有 (2) ,, 當系統(tǒng)的輸入是單位沖激信號,即,則從式⑥求得 Y(s)=H(s), y(t)=h(t) 上式表明系統(tǒng)在單位沖激激勵下,其輸出就等于系統(tǒng)的單位沖激響應h(t),如圖所示,它恰好等于系統(tǒng)函數(shù)的拉氏反變換。所以系統(tǒng)函數(shù)又可定義為單位沖激響應的拉氏變換,即 一旦測得系統(tǒng)的沖激響應,隨即求得系統(tǒng)函數(shù)。同理,己知系統(tǒng)函數(shù),隨即求得相應的沖激響應。 系統(tǒng)函數(shù)H(S)在S域表征連續(xù)系統(tǒng)的傳輸特性,而單位沖激響應h(t)是在時域描述連續(xù)系統(tǒng)的時間特性,因此它是時域分析最基本和最重要的特性參數(shù)。 2. 求離散時間LTI系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應和完全響應。 (1),, 通過以上分析,若己知一個連續(xù)系統(tǒng)在作用下的零狀態(tài)響應h(t),則利用系統(tǒng)的疊加性和非時變性,不難求得在任一信號作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應,從第三章式(3.1)得知,一個非周期信號可以分解為一系列沖激信號的線性組合。 按非時變性質,系統(tǒng)在作用下零狀態(tài)響應為,故對的響應應為。利用線性系統(tǒng)疊加性質,求得系統(tǒng)對激勵信號x(t)的零狀態(tài)響應為 上式說明,LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于激勵信號x(t)與系統(tǒng)單位沖激響應h(t)的卷積積分,簡稱卷積如圖所示。該式反映了系統(tǒng)輸入與輸出之間的關系,所以也是LTI系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。在積分式中是積分變量,t是參變量,所以卷積結構是t的函數(shù)。當信號有不連續(xù)點或為有限長時限信號時,定義式①的積分上下限要發(fā)生變化。如果信號x(t)在t=0時接入,在t<0時等于零,則式①中的積分下限取零。此外,對于物理可實現(xiàn)的因果系統(tǒng),由于t<0時h(t)=0,所以在即時,式①中的,于是該式中的積分上限應改寫為t,即 (a)s域表示 (b)時域表示 LTI系統(tǒng)的方塊圖 利用卷積法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應,無論對系統(tǒng)的分析還是綜合都要重要意義。因為在實際中對系統(tǒng)設計,初始狀態(tài)均為零,不存在零輸入響應,即使對系統(tǒng)分析,通過4.3節(jié)討論將會知道,零輸入響應也可以轉化為零狀態(tài)響應來求解。 (2),, 交換律 x(t)*h(t)=h(t)*x(t)表明卷積積分的次序可以任意交換。 分配率 表明LTI系統(tǒng)對n個輸入相加信號的零狀態(tài)響應與每人輸入信號零狀態(tài)響應的疊加。 結合律 表明沖激響應分別為與的兩個LT1系統(tǒng)相級聯(lián),等效于沖激響應的一個LTI系統(tǒng)。 利用這些性質可以簡化卷積運算。如圖所示系統(tǒng),由于 所欲把兩個卷積運算簡化為一個卷積運算。同時表明,并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于各并聯(lián)子系統(tǒng)沖激響應之和。同理可以證明,一個級聯(lián)的因果系統(tǒng),其沖激響應等于各級聯(lián)子系統(tǒng)沖激響應的卷積,即 4- 配套講稿:
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