高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法 第2課時 數(shù)列的性質(zhì)和遞推關系課件 新人教A版必修5.ppt

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第2課時數(shù)列的性質(zhì)和遞推關系 自主學習新知突破 1 了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法 2 理解遞推公式的含義 能夠根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項 3 掌握由一些簡單的遞推公式求數(shù)列的通項公式的方法 某劇場有30排座位 第一排有20個座位 從第二排起 后一排都比前一排多2個座位 如圖 問題1 寫出前五排座位數(shù) 提示 20 22 24 26 28 問題2 第n排與第n 1排座位數(shù)有何關系 提示 第n 1排比第n排多2個座位 問題3 第n排座位數(shù)an與第n 1排座位數(shù)an 1能用等式表示嗎 提示 能 an 1 an 2 如果已知數(shù)列 an 的第1項 或前幾項 且從第二項 或某一項 開始的任一項an與它的前一項an 1 或前幾項 n 2 n N 間的關系可以用一個公式來表示 那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式 數(shù)列的遞推公式 數(shù)列通項公式和遞推公式各有什么作用 1 數(shù)列的通項公式是給出數(shù)列的主要形式 如果已知數(shù)列 an 的通項公式an f n 可求出數(shù)列中的各項與指定項 還可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì) 進一步探討數(shù)列的增減性 數(shù)列中項的最大值或最小值 2 數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的另一重要形式 一般地 只要給出數(shù)列的首項或前幾項以及數(shù)列的相鄰兩項或幾項之間的運算關系 就可以依次求出數(shù)列的各項 拓展 通項公式與遞推公式的關系示意圖 1 數(shù)列1 3 6 10 15 的遞推公式是 A an 1 an n n N B an an 1 n n N n 2C an 1 an n 1 n N n 2D an an 1 n 1 n N n 2解析 a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 a5 a4 5 an an 1 n n 2 答案 B 2 已知數(shù)列 an 中 an 1 an 3 0 則數(shù)列 an 是 A 遞增數(shù)列B 遞減數(shù)列C 擺動數(shù)列D 常數(shù)列解析 an 1 an 3 an n N 數(shù)列為遞增數(shù)列 答案 A 3 數(shù)列 an 的通項公式為an n2 6n 則它的最小項的值是 解析 an n2 6n n 3 2 9 當n 3時 an有最小值 9 答案 9 合作探究課堂互動 由遞推公式寫數(shù)列的項并求通項公式 已知數(shù)列 an a1 2 an 1 2an 寫出數(shù)列的前4項 猜想an 并加以證明 1 根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項 這類問題要弄清公式中各部分的關系 依次代入計算 2 由形如an f n an 1 n 2 的數(shù)列的遞推公式求通項公式時 通常用累乘法或迭代法 形成函數(shù)的運動變化的觀點 不斷地變換遞推公式中的 下標 直到可以利用首項或前幾項是解題的關鍵 數(shù)列的單調(diào)性問題 思路點撥 用序號代替通項公式中的n 就可求出相應的項 比較an 1與an的大小來判斷數(shù)列的單調(diào)性 單調(diào)性是數(shù)列的一個重要性質(zhì) 判斷數(shù)列的單調(diào)性 通常是運用作差或作商的方法判斷an 1與an n N 的大小 若an 1 an恒成立 則 an 為遞增數(shù)列 若an 1 an恒成立 則 an 為遞減數(shù)列 用作差法判斷數(shù)列增減性的步驟為 作差 變形 定號 結(jié)論 數(shù)列的最大項 最小項問題 1 由于數(shù)列是特殊函數(shù) 因此可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關性質(zhì) 如單調(diào)性 最大值 最小值等 此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集 或其子集 這一條件 3 已知數(shù)列 an 的通項公式為an n2 5n 4 1 數(shù)列中有多少項是負數(shù) 2 n為何值時 an有最小值 并求出最小值 解析 1 由n2 5n 4 0 解得1 n 4 n N n 2 3 數(shù)列中有兩項是負數(shù) 設數(shù)列 an 的通項公式為an n2 n 且 an 滿足a1 a2 a3 an an 1 則實數(shù) 的取值范圍是 錯因 錯解僅考慮了數(shù)列 an 為單調(diào)遞增數(shù)列時的一種情形 事實上 n的值是離散的 當對稱軸在 1 2 之間 且滿足a1 a2時 也成立 方法二 直接根據(jù)定義來處理 數(shù)列 an 是單調(diào)遞增數(shù)列 an 1 an 0 又an n2 n n 1 2 n 1 n2 n 0 2n 1 0 2n 1 又n N 3 即實數(shù) 的取值范圍是 3 答案 3