高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文《數(shù)形結(jié)合思想》在解題中應(yīng)用.doc
《高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文《數(shù)形結(jié)合思想》在解題中應(yīng)用.doc》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文《數(shù)形結(jié)合思想》在解題中應(yīng)用.doc(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
淺談“數(shù)形結(jié)合思想”在解題中的應(yīng)用 福鼎二中 夏宇寧 一、數(shù)形結(jié)合思想的提出 在高中數(shù)學(xué)解析幾何這一模塊中,處理問(wèn)題的方法常見(jiàn)有代數(shù)法和幾何法。代數(shù)法是從“數(shù)”的角度解決問(wèn)題、幾何法從“形”的角度解決問(wèn)題,這兩種方法相輔相成,相得益彰?,F(xiàn)舉例如下:若直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有一個(gè)公共點(diǎn),求k的取值范圍. 解:(代數(shù)法)曲線(xiàn)方程可化為,把代入 可得:(),由題意可知方程僅有一個(gè)非負(fù)根 ①當(dāng)方程有等根時(shí),即=0,可得,當(dāng)時(shí),方程可化為,得不合題意;當(dāng)時(shí),方程為 得符合題意,可知; ②當(dāng)方程根為時(shí),得,,當(dāng)時(shí),方程為,得方程兩個(gè)根為,不合題意應(yīng)舍去;當(dāng)時(shí),方程為,得方程兩個(gè)根為,適合題意,可知; ③當(dāng)方程根為一正一負(fù)時(shí),只需,可得。 綜上所述:所求 k的取值范圍為或。 (幾何法)曲線(xiàn)是單位圓的右半圓(), k是直線(xiàn)在y軸上的截距.在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩曲線(xiàn)圖像如圖所示知:直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切時(shí),,由圖形:可得或。 上述兩種解法可以看出利用代數(shù)法求解過(guò)程較為復(fù)雜、繁瑣且容易錯(cuò);而利用幾何法即一種數(shù)形結(jié)合的思想方法,卻能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,它在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的指導(dǎo)作用。 二、數(shù)形結(jié)合思想的概述 數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的元素,是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),常常根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,將數(shù)的問(wèn)題利用形來(lái)觀察,揭示其幾何意義;而形的問(wèn)題也常借助數(shù)去思考,分析其代數(shù)含義,如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來(lái),并充分利用這種“結(jié)合”,尋找解題思路,使問(wèn)題得到解決的方法稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。 數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法,包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面,其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái),關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí),要注意三點(diǎn):第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線(xiàn)的代數(shù)特征,對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參,建立關(guān)系,由數(shù)思形,以形想數(shù),做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。 三、數(shù)形結(jié)合思想解題方法指導(dǎo) 1.轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑: ① 通過(guò)坐標(biāo)系的建立,引入數(shù)量化靜為動(dòng),以動(dòng)求解。 ② 轉(zhuǎn)化,通過(guò)分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度來(lái)考慮,如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等。 ③ 構(gòu)造,比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形,構(gòu)造一個(gè)函數(shù),構(gòu)造一個(gè)圖表等。 2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類(lèi)型及思維方法: ①“由形化數(shù)” :就是借助所給的圖形,仔細(xì)觀察研究,提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,反映幾何圖形內(nèi)在的屬性。 ②“由數(shù)化形” :就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形,使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。 ③“數(shù)形轉(zhuǎn)換” :就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立,又統(tǒng)一的特征,觀察圖形的形狀,分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu),引起聯(lián)想,適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換,化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。 四、數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用 1、化靜為動(dòng)用圖像 例1 已知:有向線(xiàn)段的起點(diǎn)與終點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,若直線(xiàn)與有向線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)相交,求實(shí)數(shù)的取值范圍。 分析:題中直線(xiàn)是一條過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)系,而有向線(xiàn)段是一條定的有向線(xiàn)段,要使直線(xiàn)與有向線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)相交,可先找到過(guò)一個(gè)臨界點(diǎn),再?gòu)倪\(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)促使直線(xiàn)的斜率在某一范圍內(nèi),從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解:直線(xiàn)的方程可化為點(diǎn)斜式:,易知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)且斜率為,因?yàn)榕c的延長(zhǎng)線(xiàn)相交,由數(shù)形結(jié)合可得:當(dāng)過(guò)且與平行時(shí),直線(xiàn)的斜率趨近于最小;當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),直線(xiàn)的斜率趨近于最大,又,,設(shè)直線(xiàn)的斜率為,由 , 得 所以 評(píng)注:含有一個(gè)變量的直線(xiàn)方程可化為點(diǎn)斜式或化為經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程.本題是化為點(diǎn)斜式方程后,可看出交點(diǎn)和斜率,此類(lèi)題目一般結(jié)合圖形化靜為動(dòng),以動(dòng)求解,可判斷出斜率的取值范圍。 2、破解疑難構(gòu)圖像 例2 求函數(shù)的值域。 分析:本題可以把函數(shù)化為關(guān)于的三角函數(shù),然后利用其有界性求值域,但其運(yùn)算量大,對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力有較高要求,有一定難度。此題可看成過(guò)兩點(diǎn)(),構(gòu)成直線(xiàn)的斜率的范圍,又()在一個(gè)單位圓上,故可構(gòu)造圖像求此函數(shù)值域。 解:的形式類(lèi)似于斜率公式 M 表示過(guò)兩點(diǎn)(),構(gòu)成直線(xiàn)的斜率 由于點(diǎn)在單位圓上,如圖, 顯然,設(shè)過(guò)的圓的切線(xiàn)方程為 則有,解得,即, 評(píng)注:本題考查了三角函數(shù)值域與直線(xiàn)斜率之間的內(nèi)在聯(lián)系,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。 在解決三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí),若把三角函數(shù)的性質(zhì)、化簡(jiǎn)的形式通過(guò)構(gòu)造思想融于函數(shù)的圖象之中,將數(shù)(量)與圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究,使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái),這是解決三角函數(shù)問(wèn)題的一種思維策略。 3、尋求正解配圖像 例3 設(shè)A=,B=,C=,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍。 分析:解決本題的關(guān)鍵是依靠二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C,進(jìn)而用不等式將這一集合語(yǔ)言加以轉(zhuǎn)化。 解:∵在上是增函數(shù),∴B=。 作出函數(shù)的圖象,其定義域右端點(diǎn)有三種不同的位置關(guān)系: ①當(dāng)時(shí),如圖1,,即{z|}。 要使,必須且只需,解得,與矛盾。 ②當(dāng)時(shí),如圖2,,即{z|}. 要使,必須且只需,解得。 ③當(dāng)時(shí),如圖3,,即{z|}。 要使,必須且只需,解得。 ④當(dāng)時(shí),A=,此時(shí)B=C=,成立。 綜上所述,a的取值范圍是。 評(píng)注:解決集合問(wèn)題首先要看清元素究竟是什么,然后再把集合語(yǔ)言“翻譯”為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,進(jìn)而分析條件與結(jié)論的特點(diǎn),再將其轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言,利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決。 對(duì)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,應(yīng)抓住對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系,借助圖象的直觀形象,達(dá)到解決問(wèn)題的目的。 4、結(jié)論模糊畫(huà)圖像 例4 (08年高考湖南卷理3改編)已知變量x、y滿(mǎn)足條件 求的最大值. 分析:本題實(shí)質(zhì)是線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,運(yùn)用圖像畫(huà)平面區(qū)域,再求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值。 解:如圖所示,可行域?yàn)閳D中陰影部分(包括邊界線(xiàn)),則z=在A點(diǎn)處取得最大值,由得A(3,3),故最大值為3+3=6. 評(píng)注:二元一次不等式組與二元函數(shù)的對(duì)應(yīng)實(shí)質(zhì)上是簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,利用可行域可以求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于典型的數(shù)形結(jié)合的案例。值得注意的是,目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)與邊界直線(xiàn)斜率的大小關(guān)系用于確定最優(yōu)解的正確位置應(yīng)仔細(xì)觀察各直線(xiàn)的傾斜程度,準(zhǔn)確判定可行域內(nèi)的最優(yōu)解。 總之,數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中基本而又重要的思想,是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧,特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效。數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬(wàn)事非?!笨梢?jiàn)數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。在高考復(fù)習(xí)時(shí),同學(xué)們必須隨時(shí)注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo),加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,以提高解題能力和速度。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
9.9 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁(yè)顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開(kāi)word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國(guó)旗、國(guó)徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 數(shù)形結(jié)合思想 高中數(shù)學(xué) 教學(xué) 論文 結(jié)合 思想 解題 應(yīng)用
鏈接地址:http://m.zhongcaozhi.com.cn/p-8225942.html