高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編-圓錐曲線.doc

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2012高考文科試題解析分類匯編：圓錐曲線 一、選擇題 1.【2012高考新課標(biāo)文4】設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） 【答案】C 【命題意圖】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，是簡單題. 【解析】∵△是底角為的等腰三角形， ∴，，∴=，∴，∴=，故選C. 2.【2012高考新課標(biāo)文10】等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長為（ ） 【答案】C 【命題意圖】本題主要考查拋物線的準(zhǔn)線、直線與雙曲線的位置關(guān)系，是簡單題. 【解析】由題設(shè)知拋物線的準(zhǔn)線為：，設(shè)等軸雙曲線方程為：，將代入等軸雙曲線方程解得=，∵=，∴=，解得=2， ∴的實(shí)軸長為4，故選C. 3.【2012高考山東文11】已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為 (A) 　(B) 　　(C)　　(D) 【答案】D 考點(diǎn)：圓錐曲線的性質(zhì) 解析：由雙曲線離心率為2且雙曲線中a，b，c的關(guān)系可知，此題應(yīng)注意C2的焦點(diǎn)在y軸上，即（0，p/2）到直線的距離為2，可知p=8或數(shù)形結(jié)合，利用直角三角形求解。 4.【2012高考全國文5】橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為，一條準(zhǔn)線為，則該橢圓的方程為 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。通過準(zhǔn)線方程確定焦點(diǎn)位置，然后借助于焦距和準(zhǔn)線求解參數(shù)，從而得到橢圓的方程。 【解析】因?yàn)?，由一條準(zhǔn)線方程為可得該橢圓的焦點(diǎn)在軸上縣，所以。故選答案C 5.【2012高考全國文10】已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運(yùn)用和性質(zhì)的運(yùn)用，以及余弦定理的運(yùn)用。首先運(yùn)用定義得到兩個(gè)焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由題意可知，，設(shè)，則，故，，利用余弦定理可得。 6.【2012高考浙江文8】 如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M，N是雙曲線的兩頂點(diǎn)。若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是 A.3 B.2 C. D. 【答案】B 【命題意圖】本題主要考查了橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，通過對兩者公交點(diǎn)求解離心率的關(guān)系. 【解析】設(shè)橢圓的長軸為2a，雙曲線的長軸為，由M，O，N將橢圓長軸四等分，則，即，又因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，設(shè)焦距均為c，則雙曲線的離心率為，，. 7.【2012高考四川文9】已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)。若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B [解析]設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（），準(zhǔn)線方程為x=, [點(diǎn)評]本題旨在考查拋物線的定義: |MF|=d,(M為拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離). 8.【2012高考四川文11】方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ） A、28條 B、32條 C、36條 D、48條 【答案】B [解析]方程變形得，若表示拋物線，則 所以，分b=-2,1,2,3四種情況： （1）若b=-2， ; （2）若b=2, 以上兩種情況下有4條重復(fù)，故共有9+5=14條； 同理 若b=1，共有9條； 若b=3時(shí)，共有9條. 綜上，共有14+9+9=32種 [點(diǎn)評]此題難度很大，若采用排列組合公式計(jì)算，很容易忽視重復(fù)的4條拋物線. 列舉法是解決排列、組合、概率等非常有效的辦法.要能熟練運(yùn)用. 9.【2012高考上海文16】對于常數(shù)、，“”是“方程的曲線是橢圓”的（ ） A、充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件 【答案】B. 【解析】方程的曲線表示橢圓，常數(shù)常數(shù)的取值為所以，由得不到程的曲線表示橢圓，因而不充分；反過來，根據(jù)該曲線表示橢圓，能推出，因而必要.所以答案選擇B. 【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件、充要條件、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解.根據(jù)方程的組成特征，可以知道常數(shù)的取值情況.屬于中檔題. 10.【2012高考江西文8】橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本題著重考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及橢圓的離心率等幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸思想. 利用橢圓及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.由橢圓的性質(zhì)可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為. 【點(diǎn)評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關(guān)的方程，然后化為有關(guān)的齊次式方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可. 體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質(zhì).來年需要注意橢圓的長軸，短軸長及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求解等. 11.【2012高考湖南文6】已知雙曲線C ：-=1的焦距為10 ，點(diǎn)P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為 A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[ 【答案】A 【解析】設(shè)雙曲線C ：-=1的半焦距為，則. 又C 的漸近線為，點(diǎn)P （2,1）在C 的漸近線上，，即. 又，，C的方程為-=1. 【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和基本運(yùn)算能力，是近年來?？碱}型. 12.【2102高考福建文5】已知雙曲線-=1的右焦點(diǎn)為（3,0），則該雙曲線的離心率等于 A B C D 【答案】C. 考點(diǎn)：雙曲線的離心率。 難度：易。 分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為圓錐曲線的性質(zhì)，利用離心率即可。 解答：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)知，由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)知，所以，因此.故選C. 二 、填空題 13.【2012高考四川文15】橢圓為定值，且的的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)、，的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是______。 【答案】， [解析]根據(jù)橢圓定義知：4a=12, 得a=3 , 又 [點(diǎn)評]本題考查對橢圓概念的掌握程度.突出展現(xiàn)高考前的復(fù)習(xí)要回歸課本的新課標(biāo)理念. 14.【2012高考遼寧文15】已知雙曲線x2 y2 =1,點(diǎn)F1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若P F1⊥P F2,則∣P F1∣+∣P F2∣的值為___________________. 【答案】 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，難度適中。 【解析】由雙曲線的方程可知 【點(diǎn)評】解題時(shí)要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實(shí)現(xiàn)差—積—和的轉(zhuǎn)化。 15.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 ▲ ． 【答案】2。 【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)。 【解析】由得。 ∴，即，解得。 16.【2012高考陜西文14】右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米. 【答案】. 【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使拱橋的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0）， 設(shè)與拋物線的交點(diǎn)為，根據(jù)題意，知（-2，-2），（2，-2）． 設(shè)拋物線的解析式為， 則有，∴． ∴拋物線的解析式為． 水位下降1米，則-3，此時(shí)有或． ∴此時(shí)水面寬為米． 17.【2012高考重慶文14】設(shè)為直線與雙曲線 左支的交點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，垂直于軸，則雙曲線的離心率 18.【2012高考安徽文14】過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn)，若，則=______。 【答案】 【解析】設(shè)及；則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 得： 又 19.【2012高考天津文科11】已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且的右焦點(diǎn)為,則 【答案】1，2 【解析】雙曲線的漸近線為，而的漸近線為，所以有，，又雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，又，即，所以。 三、解答題 20. 【2012高考天津19】（本小題滿分14分） 已知橢圓（a>b>0）,點(diǎn)P（,）在橢圓上。 （I）求橢圓的離心率。 （II）設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|求直線的斜率的值。 【解析】(Ⅰ) 點(diǎn)在橢圓上 (Ⅱ) 設(shè)；則 直線的斜率 21.【2012高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P． （i）若，求直線的斜率； （ii）求證：是定值． 【答案】解：（1）由題設(shè)知，，由點(diǎn)在橢圓上，得 ，∴。 由點(diǎn)在橢圓上，得 ∴橢圓的方程為。 （2）由（1）得，，又∵∥， ∴設(shè)、的方程分別為，。 ∴。 ∴。① 同理，。② （i）由①②得，。解得=2。 ∵注意到，∴。 ∴直線的斜率為。 （ii）證明：∵∥，∴，即。 ∴。 由點(diǎn)在橢圓上知，，∴。 同理。。 ∴ 由①②得，，， ∴。 ∴是定值。 【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)，直線方程，兩點(diǎn)間的距離公式。 【解析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知和都在橢圓上列式求解。 （2）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解。 22.【2012高考安徽文20】（本小題滿分13分） 如圖，分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的頂點(diǎn)，是直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)，=60. （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）已知△的面積為40，求a, b 的值. 【解析】（I） （Ⅱ）設(shè)；則 在中， 面積 23.【2012高考廣東文20】（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在上. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線同時(shí)與橢圓和拋物線：相切，求直線的方程. 【答案】 【解析】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以， 點(diǎn)代入橢圓，得，即， 所以， 所以橢圓的方程為. （2）直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為， ，消去并整理得， 因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以， 整理得 ① ，消去并整理得。 因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以， 整理得 ② 綜合①②，解得或。 所以直線的方程為或。 24.【2102高考北京文19】(本小題共14分) 已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A （2,0），離心率為， 直線y=k(x-1)與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M,N （Ⅰ）求橢圓C的方程 （Ⅱ）當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值 【考點(diǎn)定位】此題難度集中在運(yùn)算，但是整體題目難度確實(shí)不大，從形式到條件的設(shè)計(jì)都是非常熟悉的，相信平時(shí)對曲線的練習(xí)程度不錯(cuò)的學(xué)生做起來應(yīng)該是比較容易的。 解：（1）由題意得解得.所以橢圓C的方程為. （2）由得. 設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為，，則，，，. 所以|MN|===. 由因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線的距離， 所以△AMN的面積為. 由，解得. 25.【2012高考山東文21】 (本小題滿分13分) 如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8. (Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程； (Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時(shí)m的值. 【答案】(21)(I)……① 矩形ABCD面積為8，即……② 由①②解得：， ∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是. (II)， 設(shè)，則， 由得. . 當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，. ①當(dāng)時(shí)，有， ， 其中，由此知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值. ②由對稱性，可知若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值. ③當(dāng)時(shí)，，， 由此知，當(dāng)時(shí)，取得最大值. 綜上可知，當(dāng)和0時(shí)，取得最大值. 26.【2102高考福建文21】（本小題滿分12分） 如圖，等邊三角形OAB的邊長為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2=2py（p＞0）上。 （1） 求拋物線E的方程； （2） 設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y=-1相較于點(diǎn)Q。證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)。 考點(diǎn)：圓錐曲線的定義，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，定值的證明。 難度：難。 分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為拋物線方程的求解，直線和圓錐曲線的聯(lián)立，定值的表示及計(jì)算。 解答： （I）設(shè)；則 得：點(diǎn)關(guān)于軸對稱（lfxlby） 代入拋物線的方程得：拋物線的方程為 （II）設(shè)；則 過點(diǎn)的切線方程為即 令 設(shè)滿足：及 得：對均成立 以為直徑的圓恒過軸上定點(diǎn) 27.【2012高考上海文22】（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分 在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線 （1）設(shè)是的左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）過的左焦點(diǎn)作的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積； （3）設(shè)斜率為（）的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：⊥ [解]（1）雙曲線，左焦點(diǎn). 設(shè)，則， ……2分 由M是右支上一點(diǎn)，知，所以，得. 所以. ……5分 （2）左頂點(diǎn)，漸近線方程：. 過A與漸近線平行的直線方程為：，即. 解方程組，得. ……8分 所求平行四邊形的面積為. ……10分 （3）設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，故， 即 (*). 由，得. 設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則. ，所以 . 由(*)知，所以O(shè)P⊥OQ. ……16分 【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及其直線與雙曲線的關(guān)系．特別要注意直線與雙曲線的關(guān)系問題，在雙曲線當(dāng)中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質(zhì)的運(yùn)用可以大大節(jié)省解題時(shí)間，本題屬于中檔題 ． 28．【2012高考新課標(biāo)文20】（本小題滿分12分） 設(shè)拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn). （I）若∠BFD=90,△ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程； （II）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值. 【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力. 【解析】設(shè)準(zhǔn)線于軸的焦點(diǎn)為E，圓F的半徑為， 則|FE|=，=，E是BD的中點(diǎn)， (Ⅰ) ∵，∴=，|BD|=， 設(shè)A(，)，根據(jù)拋物線定義得，|FA|=， ∵的面積為，∴===，解得=2， ∴F(0,1), FA|=， ∴圓F的方程為：； (Ⅱ) 【解析1】∵，，三點(diǎn)在同一條直線上, ∴是圓的直徑，, 由拋物線定義知，∴，∴的斜率為或－， ∴直線的方程為：，∴原點(diǎn)到直線的距離=， 設(shè)直線的方程為：，代入得，， ∵與只有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴=，∴， ∴直線的方程為：，∴原點(diǎn)到直線的距離=， ∴坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值為3. 【解析2】由對稱性設(shè)，則 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱得： 得：，直線 切點(diǎn) 直線 坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為。 29.【2012高考浙江文22】本題滿分14分）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（1，）到拋物線C：=2px（P＞0）的準(zhǔn)線的距離為。點(diǎn)M（t，1）是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段AB被直線OM平分。 （1）求p,t的值。 （2）求△ABP面積的最大值。 【命題意圖】本題主要考查了拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力. 【解析】 （1）由題意得，得. （2）設(shè)，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 由題意得，設(shè)直線AB的斜率為k（k）. 由，得，得 所以直線的方程為，即. 由，整理得， 所以，，.從而得 ， 設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則 ，設(shè)ABP的面積為S，則. 由，得. 令，，則. 設(shè)，，則. 由，得，所以，故ABP的面積的最大值為. 30.【2012高考湖南文21】（本小題滿分13分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓C：x2+y2-4x+2=0的圓心.[ （Ⅰ）求橢圓E的方程； （Ⅱ）設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當(dāng)直線l1，l2都與圓C相切時(shí)，求P的坐標(biāo). 【答案】 【解析】（Ⅰ）由，得.故圓Ｃ的圓心為點(diǎn) 從而可設(shè)橢圓Ｅ的方程為其焦距為，由題設(shè)知 故橢圓Ｅ的方程為： （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的斜分率分別為則的方程分別為且由與圓相切，得 　　， 即　　　　　 同理可得　　. 從而是方程的兩個(gè)實(shí)根，于是 　　　　　　　　　　　　　　① 且 由得解得或 由得由得它們滿足①式，故點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為 ，或，或，或. 【點(diǎn)評】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程，求出即得橢圓E的方程，第二問設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用過P點(diǎn)的兩條直線斜率之積為，得出關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的一個(gè)方程，利用點(diǎn)P在橢圓上得出另一方程，聯(lián)立兩個(gè)方程得點(diǎn)P坐標(biāo). 31.【2012高考湖北文21】（本小題滿分14分） 設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C。 （1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)。 （2）過原點(diǎn)斜率為K的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，且它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m,使得對任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由。 21. 【答案】 解：（Ⅰ）如圖1，設(shè)，，則由， 可得，，所以，. ① 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以. ② 將①式代入②式即得所求曲線的方程為. 因?yàn)?，所? 當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓， 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，； 當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓， 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，. （Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設(shè)，，則，， 直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得 . 依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達(dá)定理可得 ，即. 因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以. 于是，. 而等價(jià)于， 即，又，得， 故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的， 都有. 圖2 圖3 圖1 O D x y A M 第21題解答圖 解法2：如圖2、3，，設(shè)，，則， ， 因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以 兩式相減可得 . ③ 依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合， 故. 于是由③式可得 . ④ 又，，三點(diǎn)共線，所以，即. 于是由④式可得. 而等價(jià)于，即，又，得， 故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有 . 【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；考查分類討論的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解的能力.本題是一個(gè)橢圓模型，求解標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)注意對焦點(diǎn)的位置分類討論，不要漏解；對于探討性問題一直是高考考查的熱點(diǎn)，一般先假設(shè)結(jié)論成立，再逆推所需要求解的條件，對運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力有較高的要求. 32.【2012高考全國文22】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 已知拋物線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)，且在點(diǎn)處兩曲線的切線為同一直線. （Ⅰ）求； （Ⅱ）設(shè)、是異于且與及都相切的兩條直線，、的交點(diǎn)為，求到的距離。 【命題意圖】本試題考查了拋物線與圓的方程，以及兩個(gè)曲線的公共點(diǎn)處的切線的運(yùn)用，并在此基礎(chǔ)上求解點(diǎn)到直線的距離。 解：（1）設(shè)，對求導(dǎo)得，故直線的斜率，當(dāng)時(shí)，不合題意，所心 圓心為，的斜率 由知，即，解得，故 所以 （2）設(shè)為上一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線方程為即 若該直線與圓相切，則圓心到該切線的距離為，即，化簡可得 求解可得 拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，其方程分別為 ① ② ③ ②－③得，將代入②得，故 所以到直線的距離為。 【點(diǎn)評】該試題出題的角度不同于平常，因?yàn)樯婕暗氖莾蓚€(gè)二次曲線的交點(diǎn)問題，并且要研究兩曲線在公共點(diǎn)出的切線，把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具性結(jié)合起來，是該試題的創(chuàng)新處。另外對于在第二問中更是難度加大了，出現(xiàn)了另外的兩條公共的切線，這樣的問題對于我們以后的學(xué)習(xí)也是一個(gè)需要練習(xí)的方向。 33.【2012高考遼寧文20】(本小題滿分12分) 如圖，動(dòng)圓,10 而當(dāng)1或-1為方程（*）的根時(shí)，m的值為-1或1. 結(jié)合題設(shè)（m>0）可知，m>0，且m≠1 設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為（XQ,YQ）,(XR,YR),則為方程（*）的兩根. 因?yàn)?所以， 所以。 此時(shí) 所以 所以 綜上所述， …………………………12分 [點(diǎn)評]本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考察思維能力、運(yùn)算能力，考察函數(shù)、分類與整合等思想，并考察思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。 36.【2012高考重慶文21】本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分） 已知橢圓的中心為原點(diǎn)，長軸在 軸上，上頂點(diǎn)為 ，左、右焦點(diǎn)分別為 ，線段 的中點(diǎn)分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求△的面積 【答案】：（Ⅰ）+=1（Ⅱ） ， （*） 設(shè) 則 是上面方程的兩根，因此 又，所以 由 ，知 ，即 ，解得 當(dāng) 時(shí)，方程（*）化為： 故 ， 的面積 當(dāng) 時(shí)，同理可得（或由對稱性可得） 的面積 綜上所述， 的面積為 。 37.【2012高考陜西文20】（本小題滿分13分） 已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率。 （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上，，求直線的方程。 【解析】（Ⅰ）由已知可設(shè)橢圓的方程為， 其離心率為，故，則． 故橢圓的方程為． （Ⅱ）解法一：兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， 由及（Ⅰ）知，三點(diǎn)共線且點(diǎn)不在軸上， 因此可設(shè)直線的方程為． 將代入中，得，所以， 將代入中，得，所以， 又由，得，即． 解得，故直線的方程為或． 解法二： 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， 由及（Ⅰ）知，三點(diǎn)共線且點(diǎn)不在軸上， 因此可設(shè)直線的方程為． 將代入中，得，所以， 又由，得，， 將代入中，得，即， 解得，故直線的方程為或