周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù).ppt

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第七節(jié)周期為2L的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù),定理:設(shè)周期為2L的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件,則,它的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為:,當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí):,其中系數(shù)bn為:,當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí):,其中系數(shù)an為:,證明說(shuō)明:,例1設(shè)f(x)是周期為4的周期函數(shù),它在[-2,2)上表達(dá)式為:,(常數(shù)k≠0),把f(x)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).,解:此時(shí)L=2,其圖形如下,一定義在區(qū)間[-L,L]上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi),把函數(shù)f(x)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的步驟是:,1.確定函數(shù)f(x)的周期2L,以及它在[-L,L]上的奇偶性,,或者根據(jù)題意確定對(duì)[0,L]上函數(shù)f(x)進(jìn)行奇延拓還是,偶延拓.,2.選定相應(yīng)公式準(zhǔn)確計(jì)算f(x)的傅里葉系數(shù)an,n=0,1,2,….,與bn,n=1,2,…并寫出相應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù).,3.根據(jù)狄里克雷定理寫出所得到的傅里葉級(jí)數(shù)的和函,數(shù)S(x).,給定函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)應(yīng)注意如下幾點(diǎn):,(1)準(zhǔn)確確定函數(shù)f(x)的周期,與判斷它的奇偶性,,對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算是很重要的.,由定積分性質(zhì)可知,若f(x)在[-L,L]上是奇函數(shù),或偶函數(shù),則計(jì)算傅里葉系數(shù)就簡(jiǎn)單些.它只是正,弦級(jí)數(shù),或者是余弦級(jí)數(shù).,如果函數(shù)f(x)在[-L,L]上沒(méi)有奇,偶性特性,則可經(jīng)過(guò),(2)準(zhǔn)確掌握函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的,坐標(biāo)變換由函數(shù)f(x)構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)或偶函數(shù)F(x),,然后把F(x)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù),再經(jīng)過(guò)逆,變換得到原來(lái)函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù).,公式,設(shè)函數(shù)f(x)在[-L,L]上可積,則f(x)的傅里葉系數(shù),以這些系數(shù)組成的函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為,對(duì)于以2L為周期的函數(shù)g(x),由定積分的周期性性,常常把以2L為周期的周期函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù),質(zhì)可知,不論a是什么值,都有,中積分化為從0到2L的積分.這樣使積分簡(jiǎn)單.,(3)不要把函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)與f(x),,x為f(x)的連續(xù)點(diǎn),x為f(x)的第一類間斷點(diǎn),x為區(qū)間的邊界點(diǎn),本身相混同.,當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-L,L]上滿足狄里克雷定理?xiàng)l件,時(shí),它的傅里葉級(jí)數(shù)必定收斂,且其和函數(shù)S(x),因?yàn)楦道锶~級(jí)數(shù)通項(xiàng)的周期性,所以傅里葉級(jí)數(shù)必,能以2L為周期延拓到[-L,L]之外,使其對(duì)任何實(shí)數(shù)x,都收斂,因此它的和函數(shù)S(x)也是定義在實(shí)數(shù)軸上,以2L為周期的函數(shù),即S(x+2L)=S(x).如果f(x)是定,義在[-L,L]上,則[-L,L]之外的f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的,和函數(shù)S(x)與函數(shù)f(x)無(wú)關(guān).,(4)利用給定函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式可以求某些數(shù)項(xiàng),例,級(jí)數(shù)的和值.在某個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)等于其和函數(shù)的等式中,令,變量x取某個(gè)特定值,即得到所求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和值,在求傅里葉系數(shù)an,bn時(shí),發(fā)現(xiàn)在n=1時(shí)沒(méi)有意義,故要,再單獨(dú)計(jì)算.,二定義在區(qū)間[0,L]上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi),定義在區(qū)間[0,L]上函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi),通常有以,下幾種情況:,(1)把f(x)在[0,L]上展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù).這時(shí),要把f(x),x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上構(gòu)造一個(gè)奇函,數(shù)F(x),把該奇函數(shù)F(x)在[-L,L]上展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù),,然后限制在[0,L]上.即為所求的正弦級(jí)數(shù).,(2)把f(x)在[0,L]上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù).這時(shí),應(yīng)把f(x),,x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上構(gòu)造一個(gè)偶函數(shù),F(x),在[-L,L]上展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù),然后限制在[0,L]上.,即為所求的余弦級(jí)數(shù).,(3)把f(x)在(0,L)內(nèi)展開(kāi)為以周期為2L的傅里葉級(jí)數(shù).,這時(shí),在區(qū)間[-L,L]上構(gòu)造一函數(shù)F(x),使它在[0,L]上,F(x)=f(x),在[-L,0)上可以定義F(x)為任意函數(shù),特別定義,F(x)=0,即,,當(dāng)然,也可定義,,把擴(kuò)充后的函數(shù)F(x)在[-L,L]上展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù),然后,限制在(0,L)上即為所求的傅里葉級(jí)數(shù),往往它既含有正,弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng).,(4)把f(x)在[0,L]上展開(kāi)為以L為周期的傅里葉級(jí)數(shù).,它與前三項(xiàng)工作不同的是:前面的函數(shù)展開(kāi)工作是以2L,為周期;這里以L為周期,且所得到的傅里葉級(jí)數(shù)既含有,正弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng).本項(xiàng)工作只要注意到f(x)的以L,為周期的周期性,便得到相應(yīng)的傅里葉系數(shù)公式為,例2把圖所示的函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù),,y(x)是定義在[0,L]上的函數(shù),要把它展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù),必須對(duì)y(x)進(jìn)行奇延拓,我們計(jì)算延拓后的函數(shù)的傅立葉系數(shù),解:,例3設(shè)f(x)=x2(0≤x≤π),把f(x)在[0,π]上分別,先把f(x)作奇延拓,則,展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù),其次把f(x)作偶延拓,上面把f(x)=x2在[0,π]上展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù),是把f(x)作奇延拓或偶延拓,所以得到的正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)都是以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù).如果要把f(x)=x2在[0,π)上展開(kāi)成以π為周期的傅里葉級(jí)數(shù),解法就不同,這時(shí)傅里葉系數(shù)為,由本例可見(jiàn),對(duì)于同一個(gè)函數(shù),可根據(jù)需要采用不同的方式展開(kāi)為相應(yīng)形式的傅里葉級(jí)數(shù).盡管上述的形式不同,但在(0,π)上都表示同一個(gè)函數(shù)f(x)=x2,下面我們利用函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式,求收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和利用函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式也是求收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的方法之一.這里的關(guān)鍵是把常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)看作某個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式在某點(diǎn)(函數(shù)的連續(xù)點(diǎn))所得到的級(jí)數(shù).,例4求下列常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和,先研究f(x)=x2(0≤x≤π),把f(x)在[0,π]上分別展,開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)(即在例3中),把(1),(2)式相加,