周期函數的傅立葉級數.ppt

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第七節(jié)周期為2L的周期函數的傅立葉級數,定理:設周期為2L的周期函數f(x)滿足收斂定理的條件,則,它的傅立葉級數展開式為:,當f(x)為奇函數時:,其中系數bn為:,當f(x)為偶函數時:,其中系數an為:,證明說明:,例1設f(x)是周期為4的周期函數,它在[-2,2)上表達式為:,(常數k≠0),把f(x)展開成傅立葉級數.,解:此時L=2,其圖形如下,一定義在區(qū)間[-L,L]上函數的傅里葉級數展開,把函數f(x)展開為傅里葉級數的步驟是:,1.確定函數f(x)的周期2L,以及它在[-L,L]上的奇偶性,,或者根據題意確定對[0,L]上函數f(x)進行奇延拓還是,偶延拓.,2.選定相應公式準確計算f(x)的傅里葉系數an,n=0,1,2,….,與bn,n=1,2,…并寫出相應的傅里葉級數.,3.根據狄里克雷定理寫出所得到的傅里葉級數的和函,數S(x).,給定函數的傅里葉級數展開應注意如下幾點:,(1)準確確定函數f(x)的周期,與判斷它的奇偶性,,對于傅里葉級數的計算是很重要的.,由定積分性質可知,若f(x)在[-L,L]上是奇函數,或偶函數,則計算傅里葉系數就簡單些.它只是正,弦級數,或者是余弦級數.,如果函數f(x)在[-L,L]上沒有奇,偶性特性,則可經過,(2)準確掌握函數f(x)的傅里葉系數和傅里葉級數的,坐標變換由函數f(x)構造一個奇函數或偶函數F(x),,然后把F(x)展開為正弦級數或余弦級數,再經過逆,變換得到原來函數f(x)的傅里葉級數.,公式,設函數f(x)在[-L,L]上可積,則f(x)的傅里葉系數,以這些系數組成的函數f(x)的傅里葉級數為,對于以2L為周期的函數g(x),由定積分的周期性性,常常把以2L為周期的周期函數f(x)的傅里葉系數,質可知,不論a是什么值,都有,中積分化為從0到2L的積分.這樣使積分簡單.,(3)不要把函數f(x)的傅里葉級數的和函數S(x)與f(x),,x為f(x)的連續(xù)點,x為f(x)的第一類間斷點,x為區(qū)間的邊界點,本身相混同.,當函數f(x)在區(qū)間[-L,L]上滿足狄里克雷定理條件,時,它的傅里葉級數必定收斂,且其和函數S(x),因為傅里葉級數通項的周期性,所以傅里葉級數必,能以2L為周期延拓到[-L,L]之外,使其對任何實數x,都收斂,因此它的和函數S(x)也是定義在實數軸上,以2L為周期的函數,即S(x+2L)=S(x).如果f(x)是定,義在[-L,L]上,則[-L,L]之外的f(x)的傅里葉級數的,和函數S(x)與函數f(x)無關.,(4)利用給定函數f(x)的傅里葉級數展開式可以求某些數項,例,級數的和值.在某個傅里葉級數等于其和函數的等式中,令,變量x取某個特定值,即得到所求數項級數的和值,在求傅里葉系數an,bn時,發(fā)現在n=1時沒有意義,故要,再單獨計算.,二定義在區(qū)間[0,L]上函數的傅里葉級數展開,定義在區(qū)間[0,L]上函數f(x)的傅里葉級數展開,通常有以,下幾種情況:,(1)把f(x)在[0,L]上展開成正弦級數.這時,要把f(x),x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上構造一個奇函,數F(x),把該奇函數F(x)在[-L,L]上展開為傅里葉級數,,然后限制在[0,L]上.即為所求的正弦級數.,(2)把f(x)在[0,L]上展開成余弦級數.這時,應把f(x),,x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上構造一個偶函數,F(x),在[-L,L]上展開為傅里葉級數,然后限制在[0,L]上.,即為所求的余弦級數.,(3)把f(x)在(0,L)內展開為以周期為2L的傅里葉級數.,這時,在區(qū)間[-L,L]上構造一函數F(x),使它在[0,L]上,F(x)=f(x),在[-L,0)上可以定義F(x)為任意函數,特別定義,F(x)=0,即,,當然,也可定義,,把擴充后的函數F(x)在[-L,L]上展開為傅里葉級數,然后,限制在(0,L)上即為所求的傅里葉級數,往往它既含有正,弦項,又含有余弦項.,(4)把f(x)在[0,L]上展開為以L為周期的傅里葉級數.,它與前三項工作不同的是:前面的函數展開工作是以2L,為周期;這里以L為周期,且所得到的傅里葉級數既含有,正弦項,又含有余弦項.本項工作只要注意到f(x)的以L,為周期的周期性,便得到相應的傅里葉系數公式為,例2把圖所示的函數展開成正弦級數,,y(x)是定義在[0,L]上的函數,要把它展開成正弦級數,必須對y(x)進行奇延拓,我們計算延拓后的函數的傅立葉系數,解:,例3設f(x)=x2(0≤x≤π),把f(x)在[0,π]上分別,先把f(x)作奇延拓,則,展開成正弦級數和余弦級數,其次把f(x)作偶延拓,上面把f(x)=x2在[0,π]上展開成正弦級數或余弦級數,是把f(x)作奇延拓或偶延拓,所以得到的正弦級數或余弦級數都是以2π為周期的傅里葉級數.如果要把f(x)=x2在[0,π)上展開成以π為周期的傅里葉級數,解法就不同,這時傅里葉系數為,由本例可見,對于同一個函數,可根據需要采用不同的方式展開為相應形式的傅里葉級數.盡管上述的形式不同,但在(0,π)上都表示同一個函數f(x)=x2,下面我們利用函數的傅里葉級數展開式,求收斂常數項級數的和利用函數的傅里葉級數展開式也是求收斂常數項級數的和的方法之一.這里的關鍵是把常數項級數看作某個函數的傅里葉級數展開式在某點(函數的連續(xù)點)所得到的級數.,例4求下列常數項級數的和,先研究f(x)=x2(0≤x≤π),把f(x)在[0,π]上分別展,開成余弦級數(即在例3中),把(1),(2)式相加,