中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題練習(xí)10 壓軸題（1） 浙教版

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壓軸題（1） 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 一、選擇題 1.在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于( ) A．10　 　　B．8　 　　C．6或10　　 　D．8或10 2.若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一個(gè)根，設(shè)M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，則M與N的大小關(guān)系正確的為（　?。? A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不確定 3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E．若BC=3，則DE的長(zhǎng)為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45，把△ADC沿著直線AD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置．如果BC=6，那么線段BE的長(zhǎng)度為（　?。? A．6 B．6 C．2 D．3 5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根之和（　　） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定 6.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接DF，分析下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝．其中正確的結(jié)論有( ) A.4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 7.如圖，在Rt△AOB中，兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，將△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得到△A′O′B．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)斜邊A′B的中點(diǎn)C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，則k的值為（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 8.有3個(gè)正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于（　?。? A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 9.如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案，若第n個(gè)圖案中有2017個(gè)白色紙片，則n的值為（　?。? A．671 B．672 C．673 D．674 10.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0 ④當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是﹣1≤x＜3 ⑤當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而增大 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 二、填空題 11.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，AB＝4，BC＞AB，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是_____________． 12.如圖，直線y＝x＋b與直線y＝kx＋6交于點(diǎn)P(3，5)，則關(guān)于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_____________． 13.在矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E，∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F，若AB=9，DF=2FC，則BC=　 ?。ńY(jié)果保留根號(hào)） 14.如圖，已知點(diǎn)A（1，2）是反比例函數(shù)y=圖象上的一點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交雙曲線的另一分支于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)；若△PAB是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　 　． 15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，且OA=2，OC=1．在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此類(lèi)推，得到的矩形AnOCnBn的對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為　 　． 三、解答題 16.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若OB=10，CD=8，求BE的長(zhǎng)． 17.某段工程建設(shè)中，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要150天，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天后增加乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，共完成總工程的． （1）求乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？ （2）為了加快工程進(jìn)度，甲、乙兩隊(duì)各自提高工作效率，提高后乙隊(duì)的工作效率是，甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)的m倍（1≤m≤2），若兩隊(duì)合作40天完成剩余的工程，請(qǐng)寫(xiě)出a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出乙隊(duì)的最大工作效率是原來(lái)的幾倍？ 18.已知在關(guān)于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均為實(shí)數(shù)，方程①的根為非負(fù)數(shù)． （1）求k的取值范圍； （2）當(dāng)方程②有兩個(gè)整數(shù)根x1、x2，k為整數(shù)，且k=m+2，n=1時(shí)，求方程②的整數(shù)根； （3）當(dāng)方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，滿(mǎn)足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k為負(fù)整數(shù)時(shí)，試判斷|m|≤2是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由． 19.如圖，直線y=﹣x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，兩動(dòng)點(diǎn)D，E分別從點(diǎn)A，點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止），運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G，與AB相交于點(diǎn)F． （1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長(zhǎng)； （3）當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí)，試判斷△AFG與△AGB是否相似，并說(shuō)明理由． （4）是否存在t的值，使△AGF為直角三角形？若存在，求出這時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 20.閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特征線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4． 問(wèn)題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部． （1）直接寫(xiě)出點(diǎn)D（m，n）所有的特征線； （2）若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式； （3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于坐標(biāo)軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿(mǎn)足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？ 21.如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）求證：△ABC是直角三角形； （3）若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 22.已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與B、C重合），求證：BE=CF； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且∠EAB=15時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離． 23.在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0，4)、（－1，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到平行四邊形A′B′OC′． (1)若拋物線過(guò)點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線的解析式； (2)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)M的坐標(biāo)； (3)若P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1，0)，當(dāng)P、N、B、Q 構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)． 24.如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90，AB＝AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD＝CF，BD⊥CF成立． (1)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜90）時(shí)，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． (2)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)DB交CF于點(diǎn)H. ①求證：BD⊥CF； ②當(dāng)AB＝2，AD＝3時(shí)，求線段DH的長(zhǎng)． 答案詳解 一、選擇題 【考點(diǎn)】一元二次方程的解． 【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比較可得． 【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一個(gè)根， ∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c， 則N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac） =a2x02+2ax0+1﹣1+ac =a（ax02+2x0）+ac =﹣ac+ac =0， ∴M=N， 故選：B． 3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E．若BC=3，則DE的長(zhǎng)為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30， 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠DAB， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90， ∴3∠CAD=90， ∴∠CAD=30， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE=BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1， 故選A． 4.如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45，把△ADC沿著直線AD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置．如果BC=6，那么線段BE的長(zhǎng)度為（　　） A．6 B．6 C．2 D．3 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）． 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE． 【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45， ∴∠CDE=∠BDE=90， ∵BD=CD，BC=6， ∴BD=ED=3， 即△EDB是等腰直角三角形， ∴BE=BD=3=3， 故選D． 5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根之和（　?。? A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)． 【分析】設(shè)ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，由二次函數(shù)的圖象可知x1+x2＞0，a＞0，設(shè)方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根為a，b再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2， ∵由二次函數(shù)的圖象可知x1+x2＞0，a＞0， ∴﹣＞0． 設(shè)方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根為a，b，則a+b=﹣=﹣+， ∵a＞0， ∴＞0， ∴a+b＞0． 故選C． 6.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接DF，分析下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝．其中正確的結(jié)論有( ) A.4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【知識(shí)點(diǎn)】特殊平行四邊形——矩形的性質(zhì)、相似三角形——相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)——銳角三角函數(shù)值的求法 【答案】B. 【解析】∵矩形ABCD中，∴AD∥BC.∴△AEF∽△CAB….......................①正確； ∵△AEF∽△CAB，∴＝＝，∴CF＝2AF……………………………②正確； 過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H.易證△ABF≌△CDH(AAS).∴AF＝CH. ∵EF∥DH,∴＝ ＝1.∴AF＝FH.∴FH＝CH. ∴DH垂直平分CF.∴DF＝DC. ……………………………………………③正確； 設(shè)EF＝1，則BF＝2.∵△ABF∽△EAF.∴＝.∴AF＝＝＝. ∴tan∠ABF＝＝.∵∠CAD＝∠ABF，∴tan∠CAD＝tan∠ABF＝.…………④錯(cuò)誤. 故選擇B. 7.如圖，在Rt△AOB中，兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，將△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得到△A′O′B．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)斜邊A′B的中點(diǎn)C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，則k的值為（　?。? A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】先根據(jù)S△ABO=4，tan∠BAO=2求出AO、BO的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)C為斜邊A′B的中點(diǎn)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)之積即為k值． 【解答】解：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），作CD⊥BO′交邊BO′于點(diǎn)D， ∵tan∠BAO=2， ∴=2， ∵S△ABO=?AO?BO=4， ∴AO=2，BO=4， ∵△ABO≌△A′O′B， ∴AO=A′0′=2，BO=BO′=4， ∵點(diǎn)C為斜邊A′B的中點(diǎn)，CD⊥BO′， ∴CD=A′0′=1，BD=BO′=2， ∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2， ∴k=x?y=3?2=6． 故選C．． 8.有3個(gè)正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于（　?。? A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，再根據(jù)相似的性質(zhì)求出S1、S2與正方形面積的關(guān)系，然后進(jìn)行計(jì)算即可得出答案． 【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)圖形可得： ∵=， ∴=， ∴=， ∴S1=S正方形ABCD， ∴S1=x2， ∵=， ∴=， ∴S2=S正方形ABCD， ∴S2=x2， ∴S1：S2=x2： x2=4：9； 故選D． 9.如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案，若第n個(gè)圖案中有2017個(gè)白色紙片，則n的值為（　?。? A．671 B．672 C．673 D．674 【分析】將已知三個(gè)圖案中白色紙片數(shù)拆分，得出規(guī)律：每增加一個(gè)黑色紙片時(shí)，相應(yīng)增加3個(gè)白色紙片；據(jù)此可得第n個(gè)圖案中白色紙片數(shù)，從而可得關(guān)于n的方程，解方程可得． 【解答】解：∵第1個(gè)圖案中白色紙片有4=1+13張； 第2個(gè)圖案中白色紙片有7=1+23張； 第3個(gè)圖案中白色紙片有10=1+33張； … ∴第n個(gè)圖案中白色紙片有1+n3=3n+1（張）， 根據(jù)題意得：3n+1=2017， 解得：n=672， 故選：B． 10.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0 ④當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是﹣1≤x＜3 ⑤當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而增大 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。? A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè) 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】利用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性得到拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則可對(duì)②進(jìn)行判斷；由對(duì)稱(chēng)軸方程得到b=﹣2a，然后根據(jù)x=﹣1時(shí)函數(shù)值為負(fù)數(shù)可得到3a+c＜0，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍可對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)⑤進(jìn)行判斷． 【解答】解：∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)， ∴b2﹣4ac＞0，所以①正確； ∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1， 而點(diǎn)（﹣1，0）關(guān)于直線x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=﹣1，x2=3，所以②正確； ∵x=﹣=1，即b=﹣2a， 而x=﹣1時(shí)，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0，所以③錯(cuò)誤； ∵拋物線與x軸的兩點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0）， ∴當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0，所以④錯(cuò)誤； ∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1， ∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x增大而增大，所以⑤正確． 故選B． 二、填空題 11.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，AB＝4，BC＞AB，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是_____________． 【知識(shí)點(diǎn)】直線射線和線段——垂線段最短、圖形的相似——平行線分線段成比例定理、平行四邊形——平行四邊形的性質(zhì)、 【答案】4. 【解析】根據(jù)“垂線段最短”，可知：當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD最短，DE的值最小. 當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD∥AB.∴＝＝1.∴OD是△ABC的中位線.∴OD＝AB＝2.∴DE的最小值＝2OD＝4. 12.如圖，直線y＝x＋b與直線y＝kx＋6交于點(diǎn)P(3，5)，則關(guān)于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_____________． 【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)——一次函數(shù)與一元一次不等式 【答案】x＞3. 【解析】由圖象得到直線y＝x＋b與直線y＝kx＋6的交點(diǎn)P(3，5)，在點(diǎn)P(3，5)的右側(cè)，直線y＝x＋b落在直線y＝kx＋6的上方，該部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍為x＞3,即不等式x＋b＞kx＋6的解集是x＞3． 13.在矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E，∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F，若AB=9，DF=2FC，則BC=　　．（結(jié)果保留根號(hào)） 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等腰三角形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】先延長(zhǎng)EF和BC，交于點(diǎn)G，再根據(jù)條件可以判斷三角形ABE為等腰直角三角形，并求得其斜邊BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)條件判斷三角形BEG為等腰三角形，最后根據(jù)△EFD∽△GFC得出CG與DE的倍數(shù)關(guān)系，并根據(jù)BG=BC+CG進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：延長(zhǎng)EF和BC，交于點(diǎn)G ∵矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E， ∴∠ABE=∠AEB=45， ∴AB=AE=9， ∴直角三角形ABE中，BE==， 又∵∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F， ∴∠BEG=∠DEF ∵AD∥BC ∴∠G=∠DEF ∴∠BEG=∠G ∴BG=BE= 由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC ∴ 設(shè)CG=x，DE=2x，則AD=9+2x=BC ∵BG=BC+CG ∴=9+2x+x 解得x= ∴BC=9+2（﹣3）= 故答案為： 14.如圖，已知點(diǎn)A（1，2）是反比例函數(shù)y=圖象上的一點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交雙曲線的另一分支于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)；若△PAB是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是?。ī?，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）　． 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】由對(duì)稱(chēng)性可知O為AB的中點(diǎn)，則當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)只能有PA=AB或PB=AB，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），可分別表示出PA和PB，從而可得到關(guān)與x的方程，可求得x，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)． 【解答】解： ∵反比例函數(shù)y=圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， ∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于O對(duì)稱(chēng)， ∴O為AB的中點(diǎn)，且B（﹣1，﹣2）， ∴當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)有PA=AB或PB=AB， 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）， ∵A（1，2），B（﹣1，﹣2）， ∴AB==2，PA=，PB=， 當(dāng)PA=AB時(shí)，則有=2，解得x=﹣3或5，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）或（5，0）； 當(dāng)PB=AB時(shí)，則有=2，解得x=3或﹣5，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或（﹣5，0）； 綜上可知P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）， 故答案為：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）． 15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，且OA=2，OC=1．在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此類(lèi)推，得到的矩形AnOCnBn的對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為?。ī?，）?。? 【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k，即可求得Bn的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求得對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解答】解：∵在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的倍， ∴矩形A1OC1B1與矩形AOCB是位似圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)B1是對(duì)應(yīng)點(diǎn)， ∵OA=2，OC=1． ∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，1）， ∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（﹣2，1）， ∵將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…， ∴B2（﹣2，1）， ∴Bn（﹣2，1）， ∵矩形AnOCnBn的對(duì)角線交點(diǎn)（﹣2，1），即（﹣，）， 故答案為：（﹣，）． 三、解答題 16.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若OB=10，CD=8，求BE的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】切線的判定． 【專(zhuān)題】計(jì)算題；與圓有關(guān)的位置關(guān)系． 【分析】（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對(duì)角相等，根據(jù)OB=OD，等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證； （2）由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AB的長(zhǎng)，連接EF，過(guò)O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，由BG+GC求出BC的長(zhǎng)，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長(zhǎng)即可． 【解答】（1）證明：連接OD， ∵BD為∠ABC平分線， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90， ∴∠ODA=90， 則AC為圓O的切線； （2）解：過(guò)O作OG⊥BC， ∴四邊形ODCG為矩形， ∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8， 在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6， ∴BC=BG+GC=6+10=16， ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ∴=，即=， 解得：OA=， ∴AB=+10=， 連接EF， ∵BF為圓的直徑， ∴∠BEF=90， ∴∠BEF=∠C=90， ∴EF∥AC， ∴=，即=， 解得：BE=12． 17.某段工程建設(shè)中，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要150天，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天后增加乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，共完成總工程的． （1）求乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？ （2）為了加快工程進(jìn)度，甲、乙兩隊(duì)各自提高工作效率，提高后乙隊(duì)的工作效率是，甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)的m倍（1≤m≤2），若兩隊(duì)合作40天完成剩余的工程，請(qǐng)寫(xiě)出a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出乙隊(duì)的最大工作效率是原來(lái)的幾倍？ 【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用． 【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，根據(jù)題意得方程即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)題意得（+）40=，即可得到a=60m+60，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到=，即可得到結(jié)論． 【解答】解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天， 根據(jù)題意得（30+15）+15=， 解得：x=450， 經(jīng)檢驗(yàn)x=450是方程的根， 答：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要450天； （2）根據(jù)題意得（+）40=， ∴a=60m+60， ∵60＞0， ∴a隨m的增大增大， ∴當(dāng)m=1時(shí)，最大， ∴=， ∴=7.5倍， 答：乙隊(duì)的最大工作效率是原來(lái)的7.5倍 18.已知在關(guān)于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均為實(shí)數(shù)，方程①的根為非負(fù)數(shù)． （1）求k的取值范圍； （2）當(dāng)方程②有兩個(gè)整數(shù)根x1、x2，k為整數(shù)，且k=m+2，n=1時(shí)，求方程②的整數(shù)根； （3）當(dāng)方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，滿(mǎn)足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k為負(fù)整數(shù)時(shí)，試判斷|m|≤2是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】（1）先解出分式方程①的解，根據(jù)分式的意義和方程①的根為非負(fù)數(shù)得出k的取值； （2）先把k=m+2，n=1代入方程②化簡(jiǎn)，由方程②有兩個(gè)整數(shù)實(shí)根得△是完全平方數(shù)，列等式得出關(guān)于m的等式，由根與系數(shù)的關(guān)系和兩個(gè)整數(shù)根x1、x2得出m=1和﹣1，分別代入方程后解出即可． （3）根據(jù)（1）中k的取值和k為負(fù)整數(shù)得出k=﹣1，化簡(jiǎn)已知所給的等式，并將兩根和與積代入計(jì)算求出m的值，做出判斷． 【解答】解：（1）∵關(guān)于x的分式方程的根為非負(fù)數(shù)， ∴x≥0且x≠1， 又∵x=≥0，且≠1， ∴解得k≥﹣1且k≠1， 又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0， ∴k≠2， 綜上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2； （2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有兩個(gè)整數(shù)根x1、x2，且k=m+2，n=1時(shí)， ∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0， ∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）， ∵x1、x2是整數(shù)，k、m都是整數(shù)， ∵x1+x2=3，x1?x2==1﹣， ∴1﹣為整數(shù)， ∴m=1或﹣1， ∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0， x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3； 把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0， x2﹣3x+2=0， （x﹣1）（x﹣2）=0， x1=1，x2=2； （3）|m|≤2不成立，理由是： 由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是負(fù)整數(shù)， ∴k=﹣1， （2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2， ∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==， x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k）， x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2， x12+x22═x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2， （x1+x2）2﹣3x1x2=k2， （﹣m）2﹣3=（﹣1）2， m2﹣4=1， m2=5， m=， ∴|m|≤2不成立． 19.如圖，直線y=﹣x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，兩動(dòng)點(diǎn)D，E分別從點(diǎn)A，點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止），運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G，與AB相交于點(diǎn)F． （1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長(zhǎng)； （3）當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí)，試判斷△AFG與△AGB是否相似，并說(shuō)明理由． （4）是否存在t的值，使△AGF為直角三角形？若存在，求出這時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）在直線y=﹣x+2中，分別令y=0和x=0，容易求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)； （2）由OA、OB的長(zhǎng)可求得∠ABO=30，用t可表示出BE，EF，和BF的長(zhǎng)，由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，從而可用t表示出AF的長(zhǎng)； （3）利用菱形的性質(zhì)可求得t的值，則可求得AF=AG的長(zhǎng)，可得到=，可判定△AFG與△AGB相似； （4）若△AGF為直角三角形時(shí)，由條件可知只能是∠FAG=90，又∠AFG=∠OAF=60，由（2）可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得到EG=2OA=4，從而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，進(jìn)一步可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式． 【解答】解： （1）在直線y=﹣x+2中， 令y=0可得0=﹣x+2，解得x=2， 令x=0可得y=2， ∴A為（2，0），B為（0，2）； （2）由（1）可知OA=2，OB=2， ∴tan∠ABO==， ∴∠ABO=30， ∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒， ∴BE=t， ∵EF∥x軸， ∴在Rt△BEF中，EF=BE?tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t， 在Rt△ABO中，OA=2，OB=2， ∴AB=4， ∴AF=4﹣2t； （3）相似．理由如下： 當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí)，則有EF=AF， 即t=4﹣2t，解得t=， ∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣=， 如圖，過(guò)G作GH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H， 則四邊形OEGH為矩形， ∴GH=OE=， 又EG∥x軸，拋物線的頂點(diǎn)為A， ∴OA=AH=2， 在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=， 又AF?AB=4=， ∴AF?AB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB， ∴△AFG∽△AGB； （4）存在， ∵EG∥x軸， ∴∠GFA=∠BAO=60， 又G點(diǎn)不能在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上， ∴∠FGA≠90， ∴當(dāng)△AGF為直角三角形時(shí)，則有∠FAG=90， 又∠FGA=30， ∴FG=2AF， ∵EF=t，EG=4， ∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t， ∴4﹣t=2（4﹣2t）， 解得t=， 即當(dāng)t的值為秒時(shí)，△AGF為直角三角形，此時(shí)OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣=， ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）， ∵拋物線的頂點(diǎn)為A， ∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2， 把E點(diǎn)坐標(biāo)代入可得=4a，解得a=， ∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2， 即y=x2﹣x+． 20.閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特征線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4． 問(wèn)題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部． （1）直接寫(xiě)出點(diǎn)D（m，n）所有的特征線； （2）若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式； （3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于坐標(biāo)軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿(mǎn)足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？ 【分析】（1）根據(jù)特征線直接求出點(diǎn)D的特征線； （2）由點(diǎn)D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式； （2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計(jì)算即可． 【解答】解：（1）∵點(diǎn)D（m，n）， ∴點(diǎn)D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n； （2）點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1， ∴n﹣m=1， ∴n=m+1 ∵拋物線解析式為， ∴y=（x﹣m）2+m+1， ∵四邊形OABC是正方形，且D點(diǎn)為正方形的對(duì)稱(chēng)軸，D（m，n）， ∴B（2m，2m）， ∴（2m﹣m）2+n=2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3； ∴D（2，3）， ∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2+3 （3）如圖，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)， 根據(jù)題意可得，D（2，3）， ∴OA′=OA=4，OM=2， ∴∠A′OM=60， ∴∠A′OP=∠AOP=30， ∴MN==， ∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=． 乳頭，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于x軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)， ∵頂點(diǎn)落在OP上， ∴A′與D重合， ∴A′（2，3）， 設(shè)P（4，c）（c＞0）， 由折疊有，PD=PA， ∴=c， ∴c=， ∴P（4，） ∴直線OP解析式為y=， ∴N（2，）， ∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=， 即：拋物線向下平移或距離，其頂點(diǎn)落在OP上． 21.如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）求證：△ABC是直角三角形； （3）若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)； （2）分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，結(jié)合A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得∠ABO=∠CBO=45，可證得結(jié)論； （3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長(zhǎng)度，當(dāng)△MON和△ABC相似時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)可得=或=，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解答】解： （1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）， ∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1， 又拋物線過(guò)原點(diǎn)， ∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1， ∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1， 即y=﹣x2+2x， 聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，解得或， ∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）； （2）如圖，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)， 則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3， ∴∠ABO=∠CBO=45，即∠ABC=90， ∴△ABC是直角三角形； （3）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N，設(shè)N（x，0），則M（x，﹣x2+2x）， ∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|， 由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=，BC=3， ∵M(jìn)N⊥x軸于點(diǎn)N ∴∠ABC=∠MNO=90， ∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時(shí)有=或=， ①當(dāng)=時(shí)，則有=，即|x||﹣x+2|=|x|， ∵當(dāng)x=0時(shí)M、O、N不能構(gòu)成三角形， ∴x≠0， ∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=，解得x=或x=， 此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）； ②當(dāng)=時(shí)，則有=，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=3，解得x=5或x=﹣1， 此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0）， 綜上可知存在滿(mǎn)足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）． 22.已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與B、C重合），求證：BE=CF； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且∠EAB=15時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離． 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【分析】（1）結(jié)論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形． （2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可． （3）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，根據(jù)FH=CF?cos30，因?yàn)镃F=BE，只要求出BE即可解決問(wèn)題． 【解答】（1）解：結(jié)論AE=EF=AF． 理由：如圖1中，連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60， ∴△ABC，△ADC是等邊三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60 ∵BE=EC， ∴∠BAE=∠CAE=30，AE⊥BC， ∵∠EAF=60， ∴∠CAF=∠DAF=30， ∴AF⊥CD， ∴AE=AF（菱形的高相等）， ∴△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF=AF． （2）證明：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60， ∴∠BAE=∠CAE， 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF． （3）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H， ∵∠EAB=15，∠ABC=60， ∴∠AEB=45， 在RT△AGB中，∵∠ABC=60AB=4， ∴BG=2，AG=2， 在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45， ∴AG=GE=2， ∴EB=EG﹣BG=2﹣2， ∵△AEB≌△AFC， ∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45， ∵∠EAF=60，AE=AF， ∴△AEF是等邊三角形， ∴∠AEF=∠AFE=60 ∵∠AEB=45，∠AEF=60， ∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15， 在RT△EFH中，∠CEF=15， ∴∠EFH=75， ∵∠AFE=60， ∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15， ∵∠AFC=45，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30， 在RT△CHF中，∵∠CFH=30，CF=2﹣2， ∴FH=CF?cos30=（2﹣2）?=3﹣． ∴點(diǎn)F到BC的距離為3﹣． 23.在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0，4)、（－1，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到平行四邊形A′B′OC′． (1)若拋物線過(guò)點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線的解析式； (2)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)M的坐標(biāo)； (3)若P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1，0)，當(dāng)P、N、B、Q 構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)． 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形——平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)——旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、二次函數(shù)——確定二次函數(shù)的表達(dá)式（待定系數(shù)法）、函數(shù)與幾何動(dòng)態(tài)——運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的面積問(wèn)題及運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的特殊四邊形問(wèn)題、分類(lèi)討論思想、實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)建?！瘮?shù)模型 【思路分析】（1）先由OA′＝OA得到點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再用點(diǎn)C、A、A′的坐標(biāo)即可求此拋物線的解析式；（2）連接AA′, 過(guò)點(diǎn)M 作MN⊥x軸，交AA′于點(diǎn)N,把△AMA′分割為△AMN和△A′MN, △AMA′的面積＝△AMA′的面積＋△AMN的面積＝OA′?MN,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，借助拋物線的解析式和AA′的解析式，建立MN的長(zhǎng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再據(jù)此建立△AMA′的面積關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，再求△AMA′面積的最大值以及此時(shí)M的坐標(biāo)；（3）在P、N、B、Q 這四個(gè)點(diǎn)中，B、Q 這兩個(gè)點(diǎn)是固定點(diǎn)，因此可以考慮將BQ作為邊、將BQ作為對(duì)角線分別構(gòu)造符合題意的圖形，再求解. 【解答】解：(1)∵YABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到平行四邊形A′B′OC′，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，4)，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，4). ∵拋物線過(guò)點(diǎn)C，A，A′，設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0),可得： . 解得：.∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝－x2＋3x＋4. (2)連接AA′，設(shè)直線AA′的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，可得 .解得：. ∴直線AA的函數(shù)解析式是y＝－x＋4. 設(shè)M(x，－x2＋3x＋4)， S△AMA′＝4[－x2＋3x＋4一(一x＋4)]＝一2x2＋8x＝一2(x－2)2＋8. ∴x＝2時(shí)，△AMA′的面積最大S△AMA′＝8． ∴M(2，6). (3)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，－x2＋3x＋4），當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)， ①當(dāng)BQ為邊時(shí)，PN∥BQ且PN＝BQ， ∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝4. 當(dāng)一x2＋3x＋4＝4時(shí)，x1＝0，x2＝3，即P1(0,4)，P2(3，4)； 當(dāng)一x2＋3x＋4＝一4時(shí)，x3＝，x4＝，即P3(,－4)，P4(，－4)； ②當(dāng)BQ為對(duì)角線時(shí)，PB∥x軸，即P1(0，4)，P2(3，4); 當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，即Pl(0，4)，P2(3，4)時(shí)，N1(0，0)，N2(3，0). 綜上所述，當(dāng)P1(0，4)，P2(3，4)，P3(,－4)，P4(，－4)時(shí)，P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，N1(0，0)，N2(3，0). 24.如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90，AB＝AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD＝CF，BD⊥CF成立． (1)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜90）時(shí)，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． (2)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)DB交CF于點(diǎn)H. ①求證：BD⊥CF； ②當(dāng)AB＝2，AD＝3時(shí)，求線段DH的長(zhǎng)． 【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形——等腰三角形的現(xiàn)性質(zhì)、特殊的平行四邊形——正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)——旋轉(zhuǎn)的特性、全等三角形——全等三角形的判判定和性質(zhì)、相似三角形——相似三角形的判判定和性質(zhì) 【思路分析】（1）先用“SAS”證明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性質(zhì)即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN與△AND的內(nèi)角和以及它們的等角，得到∠NHF＝90,即可得①的結(jié)論；（3）連接DF，延長(zhǎng)AB，與DF交于點(diǎn)M，利用△BMD∽△FHD求解. 【解答】(l)解：BD＝CF成立． 證明：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF. (2)①證明：由(1)得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN， 在△HFN與△ADN中，∵∠HFN＝∠AND，∠HNF＝∠AND,∴∠NHF＝∠NAD＝90, ∴HD⊥HF,即BD⊥CF. ②解：如圖，連接DF，延長(zhǎng)AB，與DF交于點(diǎn)M. 在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45，∴∠BMD＝90. 在Rt△BMD與Rt△FHD中，∵∠MDB＝∠HDF,∴△BMD∽△FHD. ∴AB＝2，AD＝3，四邊形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝＝3. ∴MB＝3－2＝1,DB＝＝. ∵＝.∴＝. ∴DH＝.