中考數(shù)學一輪復習 專題練習10 壓軸題（1） 浙教版

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壓軸題（1） 班級 姓名 學號 一、選擇題 1.在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于( ) A．10　 　　B．8　 　　C．6或10　　 　D．8或10 2.若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一個根，設M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，則M與N的大小關系正確的為（　?。? A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不確定 3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E．若BC=3，則DE的長為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 4.如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45，把△ADC沿著直線AD對折，點C落在點E的位置．如果BC=6，那么線段BE的長度為（　?。? A．6 B．6 C．2 D．3 5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根之和（　?。? A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定 6.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝．其中正確的結論有( ) A.4個 B．3個 C．2個 D．1個 7.如圖，在Rt△AOB中，兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，將△AOB繞點B逆時針旋轉90后得到△A′O′B．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過斜邊A′B的中點C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，則k的值為（　?。? A．3 B．4 C．6 D．8 8.有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于（　?。? A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 9.如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案，若第n個圖案中有2017個白色紙片，則n的值為（　?。? A．671 B．672 C．673 D．674 10.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結論： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0 ④當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3 ⑤當x＜0時，y隨x增大而增大 其中結論正確的個數(shù)是（　?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 二、填空題 11.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，AB＝4，BC＞AB，點D在BC上，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是_____________． 12.如圖，直線y＝x＋b與直線y＝kx＋6交于點P(3，5)，則關于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_____________． 13.在矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點E，∠BED的角平分線EF與DC交于點F，若AB=9，DF=2FC，則BC=　 ?。ńY果保留根號） 14.如圖，已知點A（1，2）是反比例函數(shù)y=圖象上的一點，連接AO并延長交雙曲線的另一分支于點B，點P是x軸上一動點；若△PAB是等腰三角形，則點P的坐標是　 　． 15.如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOCB的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，且OA=2，OC=1．在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此類推，得到的矩形AnOCnBn的對角線交點的坐標為　 　． 三、解答題 16.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點D，交BC于點E． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若OB=10，CD=8，求BE的長． 17.某段工程建設中，甲隊單獨完成這項工程需要150天，甲隊單獨施工30天后增加乙隊，兩隊又共同工作了15天，共完成總工程的． （1）求乙隊單獨完成這項工程需要多少天？ （2）為了加快工程進度，甲、乙兩隊各自提高工作效率，提高后乙隊的工作效率是，甲隊的工作效率是乙隊的m倍（1≤m≤2），若兩隊合作40天完成剩余的工程，請寫出a關于m的函數(shù)關系式，并求出乙隊的最大工作效率是原來的幾倍？ 18.已知在關于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均為實數(shù)，方程①的根為非負數(shù)． （1）求k的取值范圍； （2）當方程②有兩個整數(shù)根x1、x2，k為整數(shù)，且k=m+2，n=1時，求方程②的整數(shù)根； （3）當方程②有兩個實數(shù)根x1、x2，滿足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k為負整數(shù)時，試判斷|m|≤2是否成立？請說明理由． 19.如圖，直線y=﹣x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，設運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F． （1）求點A，點B的坐標； （2）用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長； （3）當四邊形ADEF為菱形時，試判斷△AFG與△AGB是否相似，并說明理由． （4）是否存在t的值，使△AGF為直角三角形？若存在，求出這時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由． 20.閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經(jīng)過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4． 問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部． （1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線； （2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式； （3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？ 21.如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點． （1）求拋物線的解析式及點C的坐標； （2）求證：△ABC是直角三角形； （3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由． 22.已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且∠EAF=60． （1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關系； （2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF； （3）如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15時，求點F到BC的距離． 23.在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是(0，4)、（－1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90，得到平行四邊形A′B′OC′． (1)若拋物線過點C、A、A′，求此拋物線的解析式； (2)點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：當點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標； (3)若P為拋物線上的一動點，N為x軸上的一動點，點Q坐標為(1，0)，當P、N、B、Q 構成平行四邊形時，求點P的坐標，當這個平行四邊形為矩形時，求點N的坐標． 24.如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90，AB＝AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD＝CF，BD⊥CF成立． (1)當△ABC繞點A逆時針旋轉θ（0＜θ＜90）時，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． (2)當△ABC繞點A逆時針旋轉45時，如圖3，延長DB交CF于點H. ①求證：BD⊥CF； ②當AB＝2，AD＝3時，求線段DH的長． 答案詳解 一、選擇題 【考點】一元二次方程的解． 【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比較可得． 【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一個根， ∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c， 則N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac） =a2x02+2ax0+1﹣1+ac =a（ax02+2x0）+ac =﹣ac+ac =0， ∴M=N， 故選：B． 3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E．若BC=3，則DE的長為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由角平分線和線段垂直平分線的性質可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30， 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠DAB， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90， ∴3∠CAD=90， ∴∠CAD=30， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE=BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1， 故選A． 4.如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45，把△ADC沿著直線AD對折，點C落在點E的位置．如果BC=6，那么線段BE的長度為（　?。? A．6 B．6 C．2 D．3 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)折疊的性質判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE． 【解答】解：根據(jù)折疊的性質知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45， ∴∠CDE=∠BDE=90， ∵BD=CD，BC=6， ∴BD=ED=3， 即△EDB是等腰直角三角形， ∴BE=BD=3=3， 故選D． 5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根之和（　?。? A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】設ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，由二次函數(shù)的圖象可知x1+x2＞0，a＞0，設方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根為a，b再根據(jù)根與系數(shù)的關系即可得出結論． 【解答】解：設ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2， ∵由二次函數(shù)的圖象可知x1+x2＞0，a＞0， ∴﹣＞0． 設方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根為a，b，則a+b=﹣=﹣+， ∵a＞0， ∴＞0， ∴a+b＞0． 故選C． 6.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝．其中正確的結論有( ) A.4個 B．3個 C．2個 D．1個 【知識點】特殊平行四邊形——矩形的性質、相似三角形——相似三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)——銳角三角函數(shù)值的求法 【答案】B. 【解析】∵矩形ABCD中，∴AD∥BC.∴△AEF∽△CAB….......................①正確； ∵△AEF∽△CAB，∴＝＝，∴CF＝2AF……………………………②正確； 過點D作DH⊥AC于點H.易證△ABF≌△CDH(AAS).∴AF＝CH. ∵EF∥DH,∴＝ ＝1.∴AF＝FH.∴FH＝CH. ∴DH垂直平分CF.∴DF＝DC. ……………………………………………③正確； 設EF＝1，則BF＝2.∵△ABF∽△EAF.∴＝.∴AF＝＝＝. ∴tan∠ABF＝＝.∵∠CAD＝∠ABF，∴tan∠CAD＝tan∠ABF＝.…………④錯誤. 故選擇B. 7.如圖，在Rt△AOB中，兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，將△AOB繞點B逆時針旋轉90后得到△A′O′B．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過斜邊A′B的中點C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，則k的值為（　?。? A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】先根據(jù)S△ABO=4，tan∠BAO=2求出AO、BO的長度，再根據(jù)點C為斜邊A′B的中點，求出點C的坐標，點C的橫縱坐標之積即為k值． 【解答】解：設點C坐標為（x，y），作CD⊥BO′交邊BO′于點D， ∵tan∠BAO=2， ∴=2， ∵S△ABO=?AO?BO=4， ∴AO=2，BO=4， ∵△ABO≌△A′O′B， ∴AO=A′0′=2，BO=BO′=4， ∵點C為斜邊A′B的中點，CD⊥BO′， ∴CD=A′0′=1，BD=BO′=2， ∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2， ∴k=x?y=3?2=6． 故選C．． 8.有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于（　　） A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 【考點】正方形的性質． 【分析】設小正方形的邊長為x，再根據(jù)相似的性質求出S1、S2與正方形面積的關系，然后進行計算即可得出答案． 【解答】解：設小正方形的邊長為x，根據(jù)圖形可得： ∵=， ∴=， ∴=， ∴S1=S正方形ABCD， ∴S1=x2， ∵=， ∴=， ∴S2=S正方形ABCD， ∴S2=x2， ∴S1：S2=x2： x2=4：9； 故選D． 9.如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案，若第n個圖案中有2017個白色紙片，則n的值為（　?。? A．671 B．672 C．673 D．674 【分析】將已知三個圖案中白色紙片數(shù)拆分，得出規(guī)律：每增加一個黑色紙片時，相應增加3個白色紙片；據(jù)此可得第n個圖案中白色紙片數(shù)，從而可得關于n的方程，解方程可得． 【解答】解：∵第1個圖案中白色紙片有4=1+13張； 第2個圖案中白色紙片有7=1+23張； 第3個圖案中白色紙片有10=1+33張； … ∴第n個圖案中白色紙片有1+n3=3n+1（張）， 根據(jù)題意得：3n+1=2017， 解得：n=672， 故選：B． 10.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結論： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0 ④當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3 ⑤當x＜0時，y隨x增大而增大 其中結論正確的個數(shù)是（　?。? A．4個B．3個C．2個D．1個 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系． 【分析】利用拋物線與x軸的交點個數(shù)可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），則可對②進行判斷；由對稱軸方程得到b=﹣2a，然后根據(jù)x=﹣1時函數(shù)值為負數(shù)可得到3a+c＜0，則可對③進行判斷；根據(jù)拋物線在x軸上方所對應的自變量的范圍可對④進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質對⑤進行判斷． 【解答】解：∵拋物線與x軸有2個交點， ∴b2﹣4ac＞0，所以①正確； ∵拋物線的對稱軸為直線x=1， 而點（﹣1，0）關于直線x=1的對稱點的坐標為（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=﹣1，x2=3，所以②正確； ∵x=﹣=1，即b=﹣2a， 而x=﹣1時，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0，所以③錯誤； ∵拋物線與x軸的兩點坐標為（﹣1，0），（3，0）， ∴當﹣1＜x＜3時，y＞0，所以④錯誤； ∵拋物線的對稱軸為直線x=1， ∴當x＜1時，y隨x增大而增大，所以⑤正確． 故選B． 二、填空題 11.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，AB＝4，BC＞AB，點D在BC上，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是_____________． 【知識點】直線射線和線段——垂線段最短、圖形的相似——平行線分線段成比例定理、平行四邊形——平行四邊形的性質、 【答案】4. 【解析】根據(jù)“垂線段最短”，可知：當OD⊥BC時，OD最短，DE的值最小. 當OD⊥BC時，OD∥AB.∴＝＝1.∴OD是△ABC的中位線.∴OD＝AB＝2.∴DE的最小值＝2OD＝4. 12.如圖，直線y＝x＋b與直線y＝kx＋6交于點P(3，5)，則關于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_____________． 【知識點】一次函數(shù)——一次函數(shù)與一元一次不等式 【答案】x＞3. 【解析】由圖象得到直線y＝x＋b與直線y＝kx＋6的交點P(3，5)，在點P(3，5)的右側，直線y＝x＋b落在直線y＝kx＋6的上方，該部分對應的x的取值范圍為x＞3,即不等式x＋b＞kx＋6的解集是x＞3． 13.在矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點E，∠BED的角平分線EF與DC交于點F，若AB=9，DF=2FC，則BC=　?。ńY果保留根號） 【考點】矩形的性質；等腰三角形的判定；相似三角形的判定與性質． 【分析】先延長EF和BC，交于點G，再根據(jù)條件可以判斷三角形ABE為等腰直角三角形，并求得其斜邊BE的長，然后根據(jù)條件判斷三角形BEG為等腰三角形，最后根據(jù)△EFD∽△GFC得出CG與DE的倍數(shù)關系，并根據(jù)BG=BC+CG進行計算即可． 【解答】解：延長EF和BC，交于點G ∵矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點E， ∴∠ABE=∠AEB=45， ∴AB=AE=9， ∴直角三角形ABE中，BE==， 又∵∠BED的角平分線EF與DC交于點F， ∴∠BEG=∠DEF ∵AD∥BC ∴∠G=∠DEF ∴∠BEG=∠G ∴BG=BE= 由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC ∴ 設CG=x，DE=2x，則AD=9+2x=BC ∵BG=BC+CG ∴=9+2x+x 解得x= ∴BC=9+2（﹣3）= 故答案為： 14.如圖，已知點A（1，2）是反比例函數(shù)y=圖象上的一點，連接AO并延長交雙曲線的另一分支于點B，點P是x軸上一動點；若△PAB是等腰三角形，則點P的坐標是?。ī?，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）?。? 【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；等腰三角形的性質． 【分析】由對稱性可知O為AB的中點，則當△PAB為等腰三角形時只能有PA=AB或PB=AB，設P點坐標為（x，0），可分別表示出PA和PB，從而可得到關與x的方程，可求得x，可求得P點坐標． 【解答】解： ∵反比例函數(shù)y=圖象關于原點對稱， ∴A、B兩點關于O對稱， ∴O為AB的中點，且B（﹣1，﹣2）， ∴當△PAB為等腰三角形時有PA=AB或PB=AB， 設P點坐標為（x，0）， ∵A（1，2），B（﹣1，﹣2）， ∴AB==2，PA=，PB=， 當PA=AB時，則有=2，解得x=﹣3或5，此時P點坐標為（﹣3，0）或（5，0）； 當PB=AB時，則有=2，解得x=3或﹣5，此時P點坐標為（3，0）或（﹣5，0）； 綜上可知P點的坐標為（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）， 故答案為：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）． 15.如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOCB的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，且OA=2，OC=1．在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此類推，得到的矩形AnOCnBn的對角線交點的坐標為?。ī?，）?。? 【考點】位似變換；坐標與圖形性質；矩形的性質． 【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k，即可求得Bn的坐標，然后根據(jù)矩形的性質即可求得對角線交點的坐標． 【解答】解：∵在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的倍， ∴矩形A1OC1B1與矩形AOCB是位似圖形，點B與點B1是對應點， ∵OA=2，OC=1． ∵點B的坐標為（﹣2，1）， ∴點B1的坐標為（﹣2，1）， ∵將矩形A1OC1B1以原點O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…， ∴B2（﹣2，1）， ∴Bn（﹣2，1）， ∵矩形AnOCnBn的對角線交點（﹣2，1），即（﹣，）， 故答案為：（﹣，）． 三、解答題 16.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點D，交BC于點E． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若OB=10，CD=8，求BE的長． 【考點】切線的判定． 【專題】計算題；與圓有關的位置關系． 【分析】（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，根據(jù)OB=OD，等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，進而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證； （2）由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長，進而確定出AB的長，連接EF，過O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長，由BG+GC求出BC的長，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長即可． 【解答】（1）證明：連接OD， ∵BD為∠ABC平分線， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90， ∴∠ODA=90， 則AC為圓O的切線； （2）解：過O作OG⊥BC， ∴四邊形ODCG為矩形， ∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8， 在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6， ∴BC=BG+GC=6+10=16， ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ∴=，即=， 解得：OA=， ∴AB=+10=， 連接EF， ∵BF為圓的直徑， ∴∠BEF=90， ∴∠BEF=∠C=90， ∴EF∥AC， ∴=，即=， 解得：BE=12． 17.某段工程建設中，甲隊單獨完成這項工程需要150天，甲隊單獨施工30天后增加乙隊，兩隊又共同工作了15天，共完成總工程的． （1）求乙隊單獨完成這項工程需要多少天？ （2）為了加快工程進度，甲、乙兩隊各自提高工作效率，提高后乙隊的工作效率是，甲隊的工作效率是乙隊的m倍（1≤m≤2），若兩隊合作40天完成剩余的工程，請寫出a關于m的函數(shù)關系式，并求出乙隊的最大工作效率是原來的幾倍？ 【考點】一次函數(shù)的應用；分式方程的應用． 【分析】（1）設乙隊單獨完成這項工程需要x天，根據(jù)題意得方程即可得到結論； （2）根據(jù)題意得（+）40=，即可得到a=60m+60，根據(jù)一次函數(shù)的性質得到=，即可得到結論． 【解答】解：（1）設乙隊單獨完成這項工程需要x天， 根據(jù)題意得（30+15）+15=， 解得：x=450， 經(jīng)檢驗x=450是方程的根， 答：乙隊單獨完成這項工程需要450天； （2）根據(jù)題意得（+）40=， ∴a=60m+60， ∵60＞0， ∴a隨m的增大增大， ∴當m=1時，最大， ∴=， ∴=7.5倍， 答：乙隊的最大工作效率是原來的7.5倍 18.已知在關于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均為實數(shù)，方程①的根為非負數(shù)． （1）求k的取值范圍； （2）當方程②有兩個整數(shù)根x1、x2，k為整數(shù)，且k=m+2，n=1時，求方程②的整數(shù)根； （3）當方程②有兩個實數(shù)根x1、x2，滿足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k為負整數(shù)時，試判斷|m|≤2是否成立？請說明理由． 【分析】（1）先解出分式方程①的解，根據(jù)分式的意義和方程①的根為非負數(shù)得出k的取值； （2）先把k=m+2，n=1代入方程②化簡，由方程②有兩個整數(shù)實根得△是完全平方數(shù)，列等式得出關于m的等式，由根與系數(shù)的關系和兩個整數(shù)根x1、x2得出m=1和﹣1，分別代入方程后解出即可． （3）根據(jù)（1）中k的取值和k為負整數(shù)得出k=﹣1，化簡已知所給的等式，并將兩根和與積代入計算求出m的值，做出判斷． 【解答】解：（1）∵關于x的分式方程的根為非負數(shù)， ∴x≥0且x≠1， 又∵x=≥0，且≠1， ∴解得k≥﹣1且k≠1， 又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0， ∴k≠2， 綜上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2； （2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有兩個整數(shù)根x1、x2，且k=m+2，n=1時， ∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0， ∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）， ∵x1、x2是整數(shù)，k、m都是整數(shù)， ∵x1+x2=3，x1?x2==1﹣， ∴1﹣為整數(shù)， ∴m=1或﹣1， ∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0， x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3； 把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0， x2﹣3x+2=0， （x﹣1）（x﹣2）=0， x1=1，x2=2； （3）|m|≤2不成立，理由是： 由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是負整數(shù)， ∴k=﹣1， （2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有兩個實數(shù)根x1、x2， ∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==， x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k）， x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2， x12+x22═x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2， （x1+x2）2﹣3x1x2=k2， （﹣m）2﹣3=（﹣1）2， m2﹣4=1， m2=5， m=， ∴|m|≤2不成立． 19.如圖，直線y=﹣x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，設運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F． （1）求點A，點B的坐標； （2）用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長； （3）當四邊形ADEF為菱形時，試判斷△AFG與△AGB是否相似，并說明理由． （4）是否存在t的值，使△AGF為直角三角形？若存在，求出這時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）在直線y=﹣x+2中，分別令y=0和x=0，容易求得A、B兩點坐標； （2）由OA、OB的長可求得∠ABO=30，用t可表示出BE，EF，和BF的長，由勾股定理可求得AB的長，從而可用t表示出AF的長； （3）利用菱形的性質可求得t的值，則可求得AF=AG的長，可得到=，可判定△AFG與△AGB相似； （4）若△AGF為直角三角形時，由條件可知只能是∠FAG=90，又∠AFG=∠OAF=60，由（2）可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函數(shù)的對稱性可得到EG=2OA=4，從而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到關于t的方程，可求得t的值，進一步可求得E點坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式． 【解答】解： （1）在直線y=﹣x+2中， 令y=0可得0=﹣x+2，解得x=2， 令x=0可得y=2， ∴A為（2，0），B為（0，2）； （2）由（1）可知OA=2，OB=2， ∴tan∠ABO==， ∴∠ABO=30， ∵運動時間為t秒， ∴BE=t， ∵EF∥x軸， ∴在Rt△BEF中，EF=BE?tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t， 在Rt△ABO中，OA=2，OB=2， ∴AB=4， ∴AF=4﹣2t； （3）相似．理由如下： 當四邊形ADEF為菱形時，則有EF=AF， 即t=4﹣2t，解得t=， ∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣=， 如圖，過G作GH⊥x軸，交x軸于點H， 則四邊形OEGH為矩形， ∴GH=OE=， 又EG∥x軸，拋物線的頂點為A， ∴OA=AH=2， 在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=， 又AF?AB=4=， ∴AF?AB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB， ∴△AFG∽△AGB； （4）存在， ∵EG∥x軸， ∴∠GFA=∠BAO=60， 又G點不能在拋物線的對稱軸上， ∴∠FGA≠90， ∴當△AGF為直角三角形時，則有∠FAG=90， 又∠FGA=30， ∴FG=2AF， ∵EF=t，EG=4， ∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t， ∴4﹣t=2（4﹣2t）， 解得t=， 即當t的值為秒時，△AGF為直角三角形，此時OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣=， ∴E點坐標為（0，）， ∵拋物線的頂點為A， ∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2， 把E點坐標代入可得=4a，解得a=， ∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2， 即y=x2﹣x+． 20.閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經(jīng)過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4． 問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部． （1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線； （2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式； （3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？ 【分析】（1）根據(jù)特征線直接求出點D的特征線； （2）由點D的一條特征線和正方形的性質求出點D的坐標，從而求出拋物線解析式； （2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質計算即可． 【解答】解：（1）∵點D（m，n）， ∴點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n； （2）點D有一條特征線是y=x+1， ∴n﹣m=1， ∴n=m+1 ∵拋物線解析式為， ∴y=（x﹣m）2+m+1， ∵四邊形OABC是正方形，且D點為正方形的對稱軸，D（m，n）， ∴B（2m，2m）， ∴（2m﹣m）2+n=2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3； ∴D（2，3）， ∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2+3 （3）如圖，當點A′在平行于y軸的D點的特征線時， 根據(jù)題意可得，D（2，3）， ∴OA′=OA=4，OM=2， ∴∠A′OM=60， ∴∠A′OP=∠AOP=30， ∴MN==， ∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=． 乳頭，當點A′在平行于x軸的D點的特征線時， ∵頂點落在OP上， ∴A′與D重合， ∴A′（2，3）， 設P（4，c）（c＞0）， 由折疊有，PD=PA， ∴=c， ∴c=， ∴P（4，） ∴直線OP解析式為y=， ∴N（2，）， ∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=， 即：拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上． 21.如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點． （1）求拋物線的解析式及點C的坐標； （2）求證：△ABC是直角三角形； （3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標； （2）分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45，可證得結論； （3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得=或=，可求得N點的坐標． 【解答】解： （1）∵頂點坐標為（1，1）， ∴設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1， 又拋物線過原點， ∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1， ∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1， 即y=﹣x2+2x， 聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，解得或， ∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）； （2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點， 則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3， ∴∠ABO=∠CBO=45，即∠ABC=90， ∴△ABC是直角三角形； （3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，﹣x2+2x）， ∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|， 由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=，BC=3， ∵MN⊥x軸于點N ∴∠ABC=∠MNO=90， ∴當△ABC和△MNO相似時有=或=， ①當=時，則有=，即|x||﹣x+2|=|x|， ∵當x=0時M、O、N不能構成三角形， ∴x≠0， ∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=，解得x=或x=， 此時N點坐標為（，0）或（，0）； ②當=時，則有=，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=3，解得x=5或x=﹣1， 此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0）， 綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）． 22.已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且∠EAF=60． （1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關系； （2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF； （3）如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15時，求點F到BC的距離． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）結論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形． （2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可． （3）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，根據(jù)FH=CF?cos30，因為CF=BE，只要求出BE即可解決問題． 【解答】（1）解：結論AE=EF=AF． 理由：如圖1中，連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60， ∴△ABC，△ADC是等邊三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60 ∵BE=EC， ∴∠BAE=∠CAE=30，AE⊥BC， ∵∠EAF=60， ∴∠CAF=∠DAF=30， ∴AF⊥CD， ∴AE=AF（菱形的高相等）， ∴△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF=AF． （2）證明：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60， ∴∠BAE=∠CAE， 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF． （3）解：過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H， ∵∠EAB=15，∠ABC=60， ∴∠AEB=45， 在RT△AGB中，∵∠ABC=60AB=4， ∴BG=2，AG=2， 在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45， ∴AG=GE=2， ∴EB=EG﹣BG=2﹣2， ∵△AEB≌△AFC， ∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45， ∵∠EAF=60，AE=AF， ∴△AEF是等邊三角形， ∴∠AEF=∠AFE=60 ∵∠AEB=45，∠AEF=60， ∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15， 在RT△EFH中，∠CEF=15， ∴∠EFH=75， ∵∠AFE=60， ∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15， ∵∠AFC=45，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30， 在RT△CHF中，∵∠CFH=30，CF=2﹣2， ∴FH=CF?cos30=（2﹣2）?=3﹣． ∴點F到BC的距離為3﹣． 23.在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是(0，4)、（－1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90，得到平行四邊形A′B′OC′． (1)若拋物線過點C、A、A′，求此拋物線的解析式； (2)點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：當點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標； (3)若P為拋物線上的一動點，N為x軸上的一動點，點Q坐標為(1，0)，當P、N、B、Q 構成平行四邊形時，求點P的坐標，當這個平行四邊形為矩形時，求點N的坐標． 【知識點】平行四邊形——平行四邊形的性質、旋轉——旋轉的性質、二次函數(shù)——確定二次函數(shù)的表達式（待定系數(shù)法）、函數(shù)與幾何動態(tài)——運動產(chǎn)生的面積問題及運動產(chǎn)生的特殊四邊形問題、分類討論思想、實際問題與數(shù)學建?！瘮?shù)模型 【思路分析】（1）先由OA′＝OA得到點A′的坐標，再用點C、A、A′的坐標即可求此拋物線的解析式；（2）連接AA′, 過點M 作MN⊥x軸，交AA′于點N,把△AMA′分割為△AMN和△A′MN, △AMA′的面積＝△AMA′的面積＋△AMN的面積＝OA′?MN,設點M的橫坐標為x，借助拋物線的解析式和AA′的解析式，建立MN的長關于x的函數(shù)關系式，再據(jù)此建立△AMA′的面積關于x的二次函數(shù)關系式，再求△AMA′面積的最大值以及此時M的坐標；（3）在P、N、B、Q 這四個點中，B、Q 這兩個點是固定點，因此可以考慮將BQ作為邊、將BQ作為對角線分別構造符合題意的圖形，再求解. 【解答】解：(1)∵YABOC繞點O順時針旋轉90，得到平行四邊形A′B′OC′，點A的坐標是(0，4)，∴點A′的坐標為(4，0)，點B的坐標為(1，4). ∵拋物線過點C，A，A′，設拋物線的函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0),可得： . 解得：.∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝－x2＋3x＋4. (2)連接AA′，設直線AA′的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，可得 .解得：. ∴直線AA的函數(shù)解析式是y＝－x＋4. 設M(x，－x2＋3x＋4)， S△AMA′＝4[－x2＋3x＋4一(一x＋4)]＝一2x2＋8x＝一2(x－2)2＋8. ∴x＝2時，△AMA′的面積最大S△AMA′＝8． ∴M(2，6). (3)設P點的坐標為（x，－x2＋3x＋4），當P、N、B、Q構成平行四邊形時， ①當BQ為邊時，PN∥BQ且PN＝BQ， ∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝4. 當一x2＋3x＋4＝4時，x1＝0，x2＝3，即P1(0,4)，P2(3，4)； 當一x2＋3x＋4＝一4時，x3＝，x4＝，即P3(,－4)，P4(，－4)； ②當BQ為對角線時，PB∥x軸，即P1(0，4)，P2(3，4); 當這個平行四邊形為矩形時，即Pl(0，4)，P2(3，4)時，N1(0，0)，N2(3，0). 綜上所述，當P1(0，4)，P2(3，4)，P3(,－4)，P4(，－4)時，P、N、B、Q構成平行四邊形；當這個平行四邊形為矩形時，N1(0，0)，N2(3，0). 24.如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90，AB＝AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD＝CF，BD⊥CF成立． (1)當△ABC繞點A逆時針旋轉θ（0＜θ＜90）時，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． (2)當△ABC繞點A逆時針旋轉45時，如圖3，延長DB交CF于點H. ①求證：BD⊥CF； ②當AB＝2，AD＝3時，求線段DH的長． 【知識點】等腰三角形——等腰三角形的現(xiàn)性質、特殊的平行四邊形——正方形的性質、旋轉——旋轉的特性、全等三角形——全等三角形的判判定和性質、相似三角形——相似三角形的判判定和性質 【思路分析】（1）先用“SAS”證明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性質即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN與△AND的內(nèi)角和以及它們的等角，得到∠NHF＝90,即可得①的結論；（3）連接DF，延長AB，與DF交于點M，利用△BMD∽△FHD求解. 【解答】(l)解：BD＝CF成立． 證明：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF. (2)①證明：由(1)得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN， 在△HFN與△ADN中，∵∠HFN＝∠AND，∠HNF＝∠AND,∴∠NHF＝∠NAD＝90, ∴HD⊥HF,即BD⊥CF. ②解：如圖，連接DF，延長AB，與DF交于點M. 在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45，∴∠BMD＝90. 在Rt△BMD與Rt△FHD中，∵∠MDB＝∠HDF,∴△BMD∽△FHD. ∴AB＝2，AD＝3，四邊形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝＝3. ∴MB＝3－2＝1,DB＝＝. ∵＝.∴＝. ∴DH＝.