高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第二編 專題整合突破 專題八 系列4選講 第二講 不等式選講適考素能特訓(xùn) 文
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專題八 系列4選講 第二講 不等式選講適考素能特訓(xùn) 文 1.[2016湖北八校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)=|x-10|+|x-20|,且滿足f(x)<10a+10(a∈R)的解集不是空集. (1)求實(shí)數(shù)a的取值集合A; (2)若b∈A,a≠b,求證:aabb>abba. 解 (1)|x-10|+|x-20|<10a+10的解集不是空集, 則(|x-10|+|x-20|)min<10a+10, ∴10<10a+10,∴a>0,A=(0,+∞). (2)證明:不妨設(shè)a>b,則=a-b, ∵a>b>0,∴>1,a-b>0,a-b>1, ∴aabb>abba. 2.[2016河南測(cè)試]已知函數(shù)f(x)=|x-2|. (1)解不等式f(x)+f(x+5)≥9; (2)若|a|<1,|b|<1,求證:f(ab+3)>f(a+b+2). 解 (1)f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3| = 當(dāng)x<-3時(shí),由-2x-1≥9,解得x≤-5; 當(dāng)-3≤x≤2時(shí),f(x)≥9,不成立; 當(dāng)x>2時(shí),由2x+1≥9,解得x≥4. 所以不等式f(x)+f(x+5)≥9的解集為{x|x≤-5或x≥4}. (2)證明:f(ab+3)>f(a+b+2),即|ab+1|>|a+b|. 因?yàn)閨a|<1,|b|<1, 所以|ab+1|2-|a+b|2=(a2b2+2ab+1)-(a2+2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0, 所以|ab+1|>|a+b|, 故所證不等式成立. 3.已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+1|. (1)解不等式f(x)>1; (2)當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)g(x)=(a>0)的最小值總大于函數(shù)f(x),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 (1)當(dāng)x>2時(shí),原不等式可化為x-2-x-1>1,此時(shí)不成立; 當(dāng)-1≤x≤2時(shí),原不等式可化為2-x-x-1>1,即-1≤x<0; 當(dāng)x<-1時(shí),原不等式可化為2-x+x+1>1,即x<-1, 綜上,原不等式的解集是{x|x<0}. (2)因?yàn)間(x)=ax+-1≥2-1,當(dāng)且僅當(dāng)ax=,即x=時(shí)“=”成立, 所以g(x)min=2-1, f(x)=所以f(x)∈[-3,1), 所以2-1≥1,即a≥1為所求. 4.[2016全國(guó)卷Ⅲ]已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a. (1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≤6的解集; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當(dāng)x∈R時(shí),f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍. 解 (1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}. (2)當(dāng)x∈R時(shí), f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a. 所以當(dāng)x∈R時(shí),f(x)+g(x)≥3等價(jià)于|1-a|+a≥3.① 當(dāng)a≤1時(shí),①等價(jià)于1-a+a≥3,無(wú)解. 當(dāng)a>1時(shí),①等價(jià)于a-1+a≥3,解得a≥2. 所以a的取值范圍是[2,+∞). 5.[2016湖北七市聯(lián)考]設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a∈R. (1)若a=1,解不等式f(x)≥(x+1); (2)記函數(shù)g(x)=f(x)-|x-2|的值域?yàn)锳,若A?[-1,3],求a的取值范圍. 解 (1)由于a=1,故f(x)= 當(dāng)x<1時(shí),由f(x)≥(x+1),得1-x≥(x+1),解得x≤. 當(dāng)x≥1時(shí),由f(x)≥(x+1),得x-1≥(x+1),解得x≥3. 綜上,不等式f(x)≥(x+1)的解集為∪[3,+∞). (2)當(dāng)a<2時(shí),g(x)=g(x)的值域A=[a-2,2-a], 由A?[-1,3],得解得a≥1,又a<2,故1≤a<2; 當(dāng)a≥2時(shí),g(x)=g(x)的值域A=[2-a,a-2], 由A?[-1,3],得解得a≤3,又a≥2, 故2≤a≤3. 綜上,a的取值范圍為[1,3]. 6.[2016西安交大附中六診]設(shè)函數(shù)f(x)=+|x-a|. (1)求證:當(dāng)a=-時(shí), 不等式ln f(x)>1成立; (2)關(guān)于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的最大值. 解 (1)證明:由f(x)=+ = 得函數(shù)f(x)的最小值為3,從而f(x)≥3>e. 所以ln f(x)>1成立. (2)由絕對(duì)值的性質(zhì)得f(x)=+|x-a|≥=, 所以f(x)最小值為,從而≥a, 解得a≤, 因此a的最大值為. 7.[2016太原測(cè)評(píng)]對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M|a|恒成立,記實(shí)數(shù)M的最大值是m. (1)求m的值; (2)解不等式|x-1|+|x-2|≤m. 解 (1)不等式|a+b|+|a-b|≥M|a|恒成立, 即M≤對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b恒成立, 所以M的最大值m是的最小值. 因?yàn)閨a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|, 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(a+b)≥0時(shí)等號(hào)成立,即|a|≥|b|時(shí), ≥2成立,所以m=2. (2)|x-1|+|x-2|≤2. 解法一:利用絕對(duì)值的意義得≤x≤. 解法二:當(dāng)x<1時(shí),原不等式化為-(x-1)-(x-2)≤2, 解得x≥,所以x的取值范圍是≤x<1; 當(dāng)1≤x≤2時(shí),原不等式化為(x-1)-(x-2)≤2, 得x的取值范圍是1≤x≤2; 當(dāng)x>2時(shí),原不等式化為(x-1)+(x-2)≤2,解得x≤. 所以x的取值范圍是2- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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