高考數學大二輪復習 第二編 專題整合突破 專題八 系列4選講 第二講 不等式選講適考素能特訓 文
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專題八 系列4選講 第二講 不等式選講適考素能特訓 文 1．[2016湖北八校聯(lián)考]已知函數f(x)＝|x－10|＋|x－20|，且滿足f(x)<10a＋10(a∈R)的解集不是空集． (1)求實數a的取值集合A； (2)若b∈A，a≠b，求證：aabb>abba. 解 (1)|x－10|＋|x－20|<10a＋10的解集不是空集， 則(|x－10|＋|x－20|)min<10a＋10， ∴10<10a＋10，∴a>0，A＝(0，＋∞)． (2)證明：不妨設a>b，則＝a－b， ∵a>b>0，∴>1，a－b>0，a－b>1， ∴aabb>abba. 2．[2016河南測試]已知函數f(x)＝|x－2|. (1)解不等式f(x)＋f(x＋5)≥9； (2)若|a|<1，|b|<1，求證：f(ab＋3)>f(a＋b＋2)． 解 (1)f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3| ＝ 當x<－3時，由－2x－1≥9，解得x≤－5； 當－3≤x≤2時，f(x)≥9，不成立； 當x>2時，由2x＋1≥9，解得x≥4. 所以不等式f(x)＋f(x＋5)≥9的解集為{x|x≤－5或x≥4}． (2)證明：f(ab＋3)>f(a＋b＋2)，即|ab＋1|>|a＋b|. 因為|a|<1，|b|<1， 所以|ab＋1|2－|a＋b|2＝(a2b2＋2ab＋1)－(a2＋2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0， 所以|ab＋1|>|a＋b|， 故所證不等式成立． 3．已知函數f(x)＝|x－2|－|x＋1|. (1)解不等式f(x)>1； (2)當x>0時，函數g(x)＝(a>0)的最小值總大于函數f(x)，試求實數a的取值范圍． 解 (1)當x>2時，原不等式可化為x－2－x－1>1，此時不成立； 當－1≤x≤2時，原不等式可化為2－x－x－1>1，即－1≤x<0； 當x<－1時，原不等式可化為2－x＋x＋1>1，即x<－1， 綜上，原不等式的解集是{x|x<0}． (2)因為g(x)＝ax＋－1≥2－1，當且僅當ax＝，即x＝時“＝”成立， 所以g(x)min＝2－1， f(x)＝所以f(x)∈[－3,1)， 所以2－1≥1，即a≥1為所求． 4．[2016全國卷Ⅲ]已知函數f(x)＝|2x－a|＋a. (1)當a＝2時，求不等式f(x)≤6的解集； (2)設函數g(x)＝|2x－1|.當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍． 解 (1)當a＝2時，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)當x∈R時， f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a. 所以當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3等價于|1－a|＋a≥3.① 當a≤1時，①等價于1－a＋a≥3，無解． 當a>1時，①等價于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范圍是[2，＋∞)． 5．[2016湖北七市聯(lián)考]設函數f(x)＝|x－a|，a∈R. (1)若a＝1，解不等式f(x)≥(x＋1)； (2)記函數g(x)＝f(x)－|x－2|的值域為A，若A?[－1,3]，求a的取值范圍． 解 (1)由于a＝1，故f(x)＝ 當x<1時，由f(x)≥(x＋1)，得1－x≥(x＋1)，解得x≤. 當x≥1時，由f(x)≥(x＋1)，得x－1≥(x＋1)，解得x≥3. 綜上，不等式f(x)≥(x＋1)的解集為∪[3，＋∞)． (2)當a<2時，g(x)＝g(x)的值域A＝[a－2,2－a]， 由A?[－1,3]，得解得a≥1，又a<2，故1≤a<2； 當a≥2時，g(x)＝g(x)的值域A＝[2－a，a－2]， 由A?[－1,3]，得解得a≤3，又a≥2， 故2≤a≤3. 綜上，a的取值范圍為[1,3]． 6．[2016西安交大附中六診]設函數f(x)＝＋|x－a|. (1)求證：當a＝－時， 不等式ln f(x)>1成立； (2)關于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立，求實數a的最大值． 解 (1)證明：由f(x)＝＋ ＝ 得函數f(x)的最小值為3，從而f(x)≥3>e. 所以ln f(x)>1成立． (2)由絕對值的性質得f(x)＝＋|x－a|≥＝， 所以f(x)最小值為，從而≥a， 解得a≤， 因此a的最大值為. 7.[2016太原測評]對于任意的實數a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M|a|恒成立，記實數M的最大值是m. (1)求m的值； (2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m. 解 (1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M|a|恒成立， 即M≤對于任意的實數a(a≠0)和b恒成立， 所以M的最大值m是的最小值． 因為|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|， 當且僅當(a－b)(a＋b)≥0時等號成立，即|a|≥|b|時， ≥2成立，所以m＝2. (2)|x－1|＋|x－2|≤2. 解法一：利用絕對值的意義得≤x≤. 解法二：當x<1時，原不等式化為－(x－1)－(x－2)≤2， 解得x≥，所以x的取值范圍是≤x<1； 當1≤x≤2時，原不等式化為(x－1)－(x－2)≤2， 得x的取值范圍是1≤x≤2； 當x>2時，原不等式化為(x－1)＋(x－2)≤2，解得x≤. 所以x的取值范圍是2
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