中考數學總復習 第一編 教材知識梳理篇 第二章 方程（組）與不等式（組）第二節(jié) 一元二次方程及應用（精講）試題

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第二節(jié)　一元二次方程及應用 ,懷化七年中考命題規(guī)律) 年份 題型 題號 考查點 考查內容 分值 總分 2016 選擇 4 根的判別式 已知一元二次方程，判別根的情況 4 4 2015 選擇 7 根與系數的關系 已知一元二次方程，求方程的兩根的平方和 4 4 2014 解答 23 根與系數的關系 和根的判別式 先利用根的判別式求字母的取值范圍，再利用根與系數的關系在此范圍下求字母的值，從而求代數式的值或最值 10 10 2012 解答 22 根與系數的關系 和根的判別式 考查利用根與系數的關系解題應結合根的判別式思考 10 10 2011 解答 22 根的判別式 考查含有字母的一元二次方程的根的情況 10 10 命題規(guī)律 縱觀懷化七年中考，一元二次方程的解法和應用，沒有單獨設題，主要涉及根的判別式和根與系數的綜合應用，而且大多以解答題形式呈現，選擇題只出現一次，題目難度中等. 命題預測 預計2017年懷化中考考查根的判別式與根的系數關系的可能性很大，應強化訓練，一元二次方程的應用也應注意，不容忽視. ,懷化七年中考真題及模擬) 　解一元二次方程 1．(2015靖州模擬)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是(　A　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5 　根與系數的關系(1次) 2．(2015懷化中考)設x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的兩個根，則x＋x的值是(　C　) A．19 B．25 C．31 D．30 　根的判別式和根與系數的關系(4次) 3．(2016懷化中考)一元二次方程x2－x－1＝0的根的情況為(　A　) A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．只有一個實數根 D．沒有實數根 4．(2011懷化中考)已知：關于x的方程ax2－(1－3a)x＋2a－1＝0. (1)當a取何值時，二次函數y＝ax2－(1－3a)x＋2a－1的對稱軸是x＝－2； (2)求證：a取任何實數時，方程ax2－(1－3a)x＋2a－1＝0總有實數根． 解：(1)依題意得＝－2，∴a＝－1； (2)Δ＝[－(1－3a)]2－4a(2a－1)＝9a2－6a＋1－8a2＋4a＝a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，即方程ax2－(1－3a)x＋2a－1＝0總有實數根． 5．(2012懷化中考)已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的兩個實數根． (1)是否存在實數a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)為負整數的實數a的整數值． 解：∵x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的兩個實數根，∴即(1)假設存在實數a使－x1＋x1x2＝4＋x2成立，則4＋(x1＋x2)－x1x2＝0，∴4＋－＝0，即a＝24.∵a＝24滿足a≥0且a≠6，∴存在實數a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立；(2)(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝＋＋1＝，∴要使其為負整數，則只需a為7，8，9，12. 6．(2014懷化中考)設m是不小于－1的實數，使得關于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有兩個不相等的實數根x1，x2. (1)若＋＝1，求的值； (2)求＋－m2的最大值． 解：∵方程有兩個不相等的實數根，∴Δ＝b2－4ac＝4(m－2)2－4(m2－3m＋3)＝－4m＋4>0，∴m<1，結合題意知：－1≤m<1.(1)∵x1＋x2＝－2(m－2)，x1x2＝m2－3m＋3，∴＋＝＝＝1，解得m1＝，m2＝(不合題意，舍去)，∴＝－2；(2)原式＝－m2＝－2(m－1)－m2＝－(m＋1)2＋3.當m＝－1時，最大值為3. 　一元二次方程的應用 7．(2016懷化一模)一幅長20 cm、寬12 cm的圖案，如圖，其中有一幅兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3∶2，設豎彩條的寬度為x cm，圖案中三條彩條所占面積為y cm2. (1)求y與x之間的函數關系式； (2)若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的，求橫、豎彩條的寬度． 解：(1)根據題意可知，橫彩條的寬度為x cm，∴y＝20x＋212x－2xx，即y＝－3x2＋54x； (2)依題意得，y＝2012＝96，∴－3x2＋54x＝96，∴x1＝2，x2＝16(舍去)，∴x＝3. 答：橫彩條的寬度為3 cm，豎彩條的寬度為2 cm. 8．(2015懷化二模)一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0. (1)若方程有實數根，求m的范圍； (2)設方程兩實根為x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m. 解：(1)依題意得Δ＝(－2m)2－4m(m－2)≥0，解得m≥0，又∵一元二次方程中m≠0，∴m>0；(2)∵|x1－x2|＝1，∴|x1－x2|2＝1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝1，22－＝1，解得m＝8. 9．(2016原創(chuàng))對于實數a，b，定義新運算“*”：a*b＝例如：4*2，因為4>2，所以4*2＝42－42＝8. (1)求(－5)*(－3)的值； (2)若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的兩個根，求x1*x2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)(－3)－(－3)2＝6；(2)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2或3；①x1＝2，x2＝3，∴x1*x2＝2*3＝23－9＝－3；②x1＝3，x2＝2，∴x1*x2＝3*2＝32－23＝3. ,中考考點清單) 　一元二次方程的概念 1．只含有__1__個未知數，未知數的最高次數是__2__，像這樣的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__． 【易錯警示】判斷一個方程是一元二次方程的條件：①是整式方程；②二次項系數不為零；③未知數的最高次數是2，且只含有一個未知數． 　一元二次方程的解法 2. 直接開 平方法 這種方法適合于左邊是一個完全平方式，而右邊是一個非負數的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程． 配方法 配方法一般適用于解二次項系數為1，一次項系數為偶數的這類一元二次方程，配方的關鍵是把方程左邊化為含有未知數的①__完全平方__式，右邊是一個非負常數． 公式法 求根公式為②__x＝(b2－4ac≥0)__，適用于所有的一元二次方程． 因式分 解法 因式分解法的步驟：(1)將方程右邊化為③__0__；(2)將方程左邊分解為一次因式的乘積；(3)令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解. 【溫馨提示】關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法： (1)當b＝0，c≠0時，x2＝－，考慮用直接開平方法解；(2)當c＝0，b≠0時，用因式分解法解；(3)當a＝1，b為偶數時，用配方法解簡便． 　一元二次方程根的判別式 3．根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況可由__b2－4ac__來判定，我們將__b2－4ac__稱為根的判別式． 4．判別式與根的關系： (1)當b2－4ac>0?方程有__兩個不相等__的實數根； (2)當b2－4ac<0?方程沒有實數根； (3)當b2－4ac＝0?方程有__兩個相等__的實數根． 【易錯提示】(1)一元二次方程有實數根的前提是b2－4ac≥0.(2)當a、c異號時，Δ>0. 　一元二次方程的應用 5．列一元二次方程解應用題的步驟： ①審題；②設未知數；③列方程；④解方程；⑤檢驗；⑥做結論． 6．一元二次方程應用問題常見的等量關系： (1)增長率中的等量關系：增長率＝增量基礎量； (2)利率中的等量關系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金利率時間； (3)利潤中的等量關系：毛利潤＝售出價－進貨價，純利潤＝售出價－進貨價－其他費用，利潤率＝利潤進貨價． 【方法點撥】利用方程根的意義，把方程的根代入方程中，是解決一元二次方程有關問題的一種重要方法，我們可以把這種方法稱為讓根回家． ,中考重難點突破) 　一元二次方程的概念及解法 【例1】(1)若方程(m－1)xm2＋1＋mx－5＝0是關于x的一元二次方程，則m＝________． (2)解方程：(x－1)(2x－1)＝3(x－1)． 【解析】第(2)題中，方程兩邊都含有因式(x－1)，如果在方程兩邊同時約去(x－1)，就會導致方程失去一個根x＝1，本題可先移項，利用分解因式法求解． 【學生解答】解：(1)－1；(2)方程化為(x－1)(2x－1)－3(x－1)＝0，即(x－1)(2x－1－3)＝0，所以x－1＝0或2x－4＝0，所以方程的解為x1＝1，x2＝2. 【點撥】解一元二次方程時，不能隨便在方程兩邊約去含未知數的代數式，否則，可能導致方程失去一個根． 1．(2016懷化學業(yè)考試指導)下列方程中是關于x的一元二次方程的是(　C　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0 2．(2015溆浦模擬)用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可變形為(　A　) A．(x＋2)2＝9 B．(x－2)2＝9 C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1 3．解下列方程． (1)(2016安徽中考)x2－2x＝4； 解：x2－2x＋1＝5，(x－1)2＝5，∴x－1＝，∴x1＝1＋，x2＝1－； (2)(2016天津中考)x2＋x－12＝0. 解：(x＋4)(x－3)＝0，x＋4＝0或x－3＝0，∴x1＝－4，x2＝3. 　一元二次方程根與系數的關系和判別式 【例2】(2015懷化中考)已知關于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0. (1)若方程有實數根，求實數m的取值范圍； (2)若方程兩實數根分別為x1、x2，且滿足(x1－x2)2＝16－x1x2，求實數m的值． 【學生解答】解：(1)由題意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0，解得m≥－1，∴實數m的取值范圍是m≥－1；(2)由兩根關系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1，(x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0，∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0，解得m＝－9或m＝1，∵m≥－1，∴m＝1. 【點撥】通過根與系數關系求得的m值必須滿足Δ≥0. 4．(2016昆明中考)一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情況是(　B　) A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．無實數根 D．無法確定 5．(2016涼山中考)已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6－2x的兩根，則x1－x1x2＋x2的值是(　D　) A．－ B. C．－ D. 　一元二次方程的應用 【例3】(2015咸寧中考)隨著市民環(huán)保意識的增強，煙花爆竹銷售量逐年下降．咸寧市2013年銷售煙花爆竹20萬箱，到2015年煙花爆竹銷售量為9.8萬箱．求咸寧市2013年到2015年煙花爆竹年銷售量的平均下降率． 【解析】先設咸寧市2013年到2015年煙花爆竹年銷售量的平均下降率是x，那么把2013年煙花爆竹銷售量看作單位1，在此基礎上可求2014年的年銷售量，以此類推可求2015年的年銷售量，而2015年的年銷售量為9.8萬箱，據此列方程即可． 【學生解答】解：設咸寧市2013年到2015年煙花爆竹年銷售量的平均下降率是x，依題意得20(1－x)2＝9.8，解這個方程，得x1＝0.3，x2＝1.7，由于x2＝1.7不符合題意，故舍去．∴x＝0.3＝30%. 答：咸寧市2013年到2015年煙花爆竹年銷售量的平均下降率為30%. 6．(2016畢節(jié)中考)為進一步發(fā)展基礎教育，自2014年以來，某縣加大了教育經費的投入，2014年該縣投入教育經費6 000萬元.2016年投入教育經費8 640萬元．假設該縣這兩年投入教育經費的年平均增長率相同． (1)求這兩年該縣投入教育經費的年平均增長率； (2)若該縣教育經費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預算2017年該縣投入教育經費多少萬元． 解：(1)設該縣投入教育經費的年平均增長率為x.則有：6 000(1＋x)2＝8 640，解得x＝0.2.所以該縣投入教育經費的年平均增長率為20%； (2)因為2016年該縣投入教育經費為8 640萬元，且增長率為20%，所以2017年該縣投入教育經費y＝8 640(1＋0.2)＝10 368(萬元)．答：2017年該縣投入教育經費10 368萬元． 7．(2016原創(chuàng))唐山市某商店準備進一批季節(jié)性小家電，單價40元．經市場預測，銷售定價為52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量凈減少10個；定價每減少1元，銷售量凈增加10個．因受庫存的影響，每批次進貨個數不得超過180個，若商店準備獲利2 000元，則應進貨多少個？定價為多少元？ 解：設每個商品的定價是x元，由題意，得(x－40)[180－10(x－52)]＝2 000，整理，得x2－110x＋3 000＝0，解得x1＝50，x2＝60.當x＝50時，進貨180－10(50－52)＝200個>180個，不符合題意，舍去；當x＝60時，進貨180－10(60－52)＝100個<180個，符合題意． 答：該商品每個定價為60元，進貨100個．