高中數(shù)學(xué) 4_1 坐標系 3 球坐標系與柱坐標系學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4

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【課堂新坐標】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.1 坐標系 3 球坐標系與柱坐標系學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時：45分鐘) 學(xué)業(yè)達標] 1．把下列各點的球坐標化為直角坐標： (1)M；(2)N； (3)P. 【解】　(1)設(shè)點M的直角坐標為(x，y，z)，M在xOy平面內(nèi)的射影為M′，則OM′＝2 sin＝2.于是x＝2cos＝1，y＝2sin＝，z＝2cos＝0. 故點M的直角坐標為(1，，0)． (2)x＝5sincos＝0，y＝5sinsin＝， z＝5cos＝－， 點N的直角坐標為. (3)x＝9sincos＝－， y＝9sinsin＝，z＝9cos＝－. ∴點P的直角坐標為. 2．把下列各點的柱坐標化為直角坐標： (1)Q；(2)R； (3)S. 【解】　(1)x＝0，y＝5， 故點Q的直角坐標為 Q(0,5，－2)． (2)x＝6cos＝－3，y＝6sin＝3， 故點R的直角坐標為R(－3,3，4)． (3)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝－4，故點S的直角坐標為S(－4，－4，－3)． 3．已知長方體ABCDA1B1C1D1的邊長為AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以這個長方體的頂點A為坐標原點，以射線AB、AD、AA1分別為x、y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體頂點C1的空間直角坐標、柱坐標、球坐標． 【導(dǎo)學(xué)號：98990008】 【解】　如圖，C1點的直角坐標(x，y，z)分別對應(yīng)著CD、BC、CC1；C1點的柱坐標(ρ，θ，z)分別對應(yīng)著CA、∠BAC、CC1；C1點的球坐標(r，θ，φ)分別對應(yīng)著AC1、∠BAC、∠A1AC1. C1點的空間直角坐標為(14,6,10)，C1點的柱坐標為(其中tan θ＝)，C1點的球坐標為(2，φ，θ)(其中cos φ＝，tan θ＝)． 4．在球坐標面內(nèi)，方程r＝1表示空間中的什么曲面？方程θ＝表示空間中的什么曲面？ 【解】　方程r＝1表示球心在原點的單位球面；方程θ＝表示頂點在原點，半頂角為的圓錐面，中心軸為z軸． 5．在球坐標系中，求兩點P，Q的距離． 【解】　將P，Q兩點球坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標： P：x＝3sincos＝， y＝3sinsin＝， z＝3cos＝， ∴P點的直角坐標為. Q：x＝3sincos＝－， y＝3sinsin＝，z＝3cos＝， ∴Q點的直角坐標為. ∴|PQ|＝ ＝，即PQ的距離為. 6．建立適當?shù)闹鴺讼?，表示棱長為3的正四面體各個頂點坐標． 【解】　以正四面體的一個頂點B為極點O，選取以O(shè)為端點且與BD垂直的射線Ox為極軸，在面BCD上建立極坐標系．過O點與面BCD垂直的線為z軸． 過A作AA′垂直于平面BCD，垂足為A′，則 BA′＝＝，AA′＝＝， ∠A′Bx＝－＝， 則A(，，)，B(0,0,0)，C(3，，0)，D(3，，0)． 7．一個圓形體育館，自正東方向起，按逆時針方向等分為十六個扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，…，十六區(qū)，我們設(shè)圓形體育場第一排與體育館中心的距離為200 m，每相鄰兩排的間距為1 m，每層看臺的高度為0.7 m，現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置A，請建立適當?shù)淖鴺讼?，把點A的坐標求出來． 【解】　以圓形體育館中心O為極點，選取以O(shè)為端點且過正東入口的射線Ox為極軸，在地面上建立極坐標系，則點A與體育場中軸線Oz的距離為203 m，極軸Ox按逆時針方向旋轉(zhuǎn)＝，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度為2.8 m，因此點A的柱坐標為(203，，2.8)． 能力提升] 8．如圖4110建立球坐標系，正四面體ABCD的邊長為1，求A、B、C、D的球坐標(其中O是△BCD的中心)． 圖4110 【解】　∵O是△BCD的中心， ∴OC＝OD＝OB＝，AO＝. ∴C(，，0)，D(，，)， B(，，)，A(，0,0)．