圓錐曲線培優(yōu)講義.doc

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一 原點三角形面積公式 1. 已知橢圓的離心率為，且過點．若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢點”． （1）求橢圓C的標準方程； （2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點，且A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經過坐標原點，試求△AOB的面積． 2. 己知橢圓 x2+2y2=1，過原點的兩條直線 l1 和 l2 分別與橢圓交于點 A，B 和 C，D．記 △AOC 的面積為 S． （1）設 Ax1,y1，Cx2,y2．用 A，C 的坐標表示點 C 到直線 l1 的距離，并證明 S=12x1y2-x2y1； （2）設 l1:y=kx，C33,33，S=13，求 k 的值． （3）設 l1 與 l2 的斜率之積為 m，求 m 的值，使得無論 l1 與 l2 如何變動，面積 S 保持不變． 3. 已知橢圓的左、右兩焦點分別為,橢圓上有一點與兩焦點的連線構成的中，滿足 （1）求橢圓的方程； （2）設點是橢圓上不同于橢圓頂點的三點，點與點關于原點對稱，設直線的斜率分別為，且，求的值. 4. 在平面直角坐標系內，動點與兩定點，連線的斜率之積為 (1)求動點的軌跡的方程； (2)設點是軌跡上相異的兩點． (I)過點A，B分別作拋物線的切線、，與兩條切線相交于點 ，證明：； (Ⅱ)若直線OA與直線OB的斜率之積為，證明：為定值，并求出這個定值· 5. 已知 A 、 B 分別是 x 軸和 y 軸上的兩個動點，滿足 AB=2，點 P 在線段 AB 上，且 AP=tPB（t 是不為 0 的常數(shù)），設點 P 的軌跡方程為 C． （1）求點 P 的軌跡方程 C； （2）若曲線 C 為焦點在 x 軸上的橢圓，試求實數(shù) t 的取值范圍； （3）若 t=2，點 M，N 是曲線 C 上關于原點對稱的兩個動點，點 Q 的坐標為 32,3，求 △QMN 的面積 S 的最大值． 6. 已知橢圓 C1 的焦點在 x 軸上，中心在坐標原點；拋物線 C2 的焦點在 y 軸上，頂點在坐標原點．在 C1，C2 上各取兩個點，將其坐標記錄于表格中： x3-242y920822 （1）求 C1，C2 的標準方程； （2）已知定點 C0,18，P 為拋物線 C2 上一動點，過點 P 作拋物線 C2 的切線交橢圓 C1 于 A，B 兩點，求 △ABC 面積的最大值． 7. 已知拋物線 y2=4x 的焦點為 F，過點 F 的直線交拋物線于 A，B 兩點． （1）若 AF=2FB，求直線 AB 的斜率； （2）設點 M 在線段 AB 上運動，原點 O 關于點 M 的對稱點為 C，求四邊形 OACB 面積的最小值． 8. 設橢圓 C1：x2a2+y2b2=1 a>b>0 的左、右焦點分別是 F1 、 F2，下頂點為 A，線段 OA 的中點為 B（O 為坐標原點），如圖．若拋物線 C2：y=x2-1 與 y 軸的交點為 B，且經過 F1，F(xiàn)2 點． （1）求橢圓 C1 的方程； （2）設 M0,-45，N 為拋物線 C2 上的一動點，過點 N 作拋物線 C2 的切線交橢圓 C1 于 P 、 Q 兩點，求 △MPQ 面積的最大值． 二 定點定值問題 9. 動點在圓：上運動，定點，線段的垂直平分線與直線的交點為． （Ⅰ）求的軌跡的方程； （Ⅱ）過點的直線，分別交軌跡于，兩點和，兩點，且．證明：過和中點的直線過定點． 10. 在直角坐標系中，拋物線的頂點是雙曲線：的中心，拋物線的焦點與雙曲線的焦點相同． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）若點為拋物線上的定點，，為拋物線上兩個動點．且⊥，問直線是否經過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由． 11. 如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 63，直線 l 與 x 軸交于點 E，與橢圓 C 交于 A,B 兩點．當直線 l 垂直于 x 軸且點 E 為橢圓 C 的右焦點時，弦 AB 的長為 263． （1）求橢圓 C 的方程； （2）若點 E 的坐標為 32,0，點 A 在第一象限且橫坐標為 3，連接點 A 與原點 O 的直線交橢圓 C 于另一點 P，求 △PAB 的面積； （3）是否存在點 E，使得 1EA2+1EB2 為定值?若存在，請指出點 E 的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由． 12. 已知橢圓的左焦點為F，不垂直于x軸且不過F點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點． （1）如果直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為0，則動直線l是否一定經過一定點？若過一定點，則求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由． （2）如果FA⊥FB，原點到直線l的距離為d，求d的取值范圍． 13. 如圖，已知直線關于直線對稱的直線為，直線與橢圓分別交于點、和、，記直線的斜率為. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當變化時，試問直線是否恒過定點?若恒過定點，求出該定點坐標；若不恒過定點，請說明理由. 14. 如圖，橢圓 E:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是 22，過點 P0,1 的動直線 l 與橢圓相交于 A，B 兩點．當直線 l 平行于 x 軸時，直線 l 被橢圓 E 截得的線段長為 22． （1）求橢圓 E 的方程； （2）在平面直角坐標系 xOy 中，是否存在與點 P 不同的定點 Q，使得 QAQB=PAPB 恒成立? 若存在，求出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由． 15. 已知動圓過定點 p2,0，且與直線 x=-p2 相切，其中 p>0． （1）求動圓圓心 C 的軌跡的方程； （2）設 A 、 B 是軌跡 C 上異于原點 O 的兩個不同點，直線 OA 和 OB 的傾斜角分別為 α 和 β，當 α，β 變化且 α+β 為定值 θ0<θ<π 時，證明直線 AB 恒過定點，并求出該定點的坐標． 16. 已知拋物線 E:y2=2pxp>0 的準線與 x 軸交于點 K，過點 K 做圓 C:x-52+y2=9 的兩條切線，切點為 M，N，|MN|=33． （1）求拋物線 E 的方程； （2）設 A，B 是拋物線 E 上分別位于 x 軸兩側的兩個動點，且 OA?OB=94 （ 其中 O 為坐標原點）． ①求證：直線 AB 必過定點，并求出該定點 Q 的坐標； ②過點 Q 作 AB 的垂線與拋物線交于 G，D 兩點，求四邊形 AGBD 面積的最小值． 17. 18. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，設點M(x0，y0)是橢圓C：上一點，從原點O向圓M:作兩條切線分別與橢圓C交于點P、Q，直線OP、OQ的斜率分別記為k1，k2 (1)求證：k1k2為定值; (2)求四邊形OPMQ面積的最大值. 19. 如圖，在平面直角坐標系中，已知是橢圓上的一點，從原點向圓作兩條切線，分別交橢圓于，. （1）若點在第一象限，且直線，互相垂直，求圓的方程； （2）若直線，的斜率存在，并記為，求的值； （3）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由. 三 中點弦問題 20. 橢圓的長軸長為，為橢圓上異于頂點的一個動點，為坐標原點，為橢圓的右頂點，點為線段的中點，且直線與直線的斜率之積為. （1）求橢圓的方程； （2）過橢圓的左焦點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，點的橫坐標的取值范圍是，求線段的長的取值范圍. 21. 在平面直角坐標系中，過橢圓右焦點的直線交橢圓于兩點，為的中點，且直線的斜率為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設另一直線與橢圓交于兩點，原點到直線的距離為，求面積的最大值． 22. 如圖，橢圓左右頂點為A、B，左右焦點為，直線交橢圓E于點C、D兩點，與線段橢圓短軸分別交于M、N兩點（M、N不重合），且. （1）求橢圓的方程； （2）設直線的斜率分別為，求的取值范圍. 23. 如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點. （Ⅰ）求橢圓的方程; （Ⅱ）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由; （Ⅲ）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值. 24. 已知橢圓 M:x2a2+y2b2=1a>b>0 過點 A0,-1，且離心率 e=32． （1）求橢圓 M 的方程； （2）若橢圓 M 上存在點 B,C 關于直線 y=kx-1 對稱，求 k 的所有取值構成的集合 S，并證明對于 ?k∈S，BC 的中點恒在一條定直線上． 25. 如圖，在直角坐標系 xOy 中，點 P1,12 到拋物線 C:y2=2pxp>0 的準線的距離為 54．點 Mt,1 是 C 上的定點，A，B 是 C 上的兩動點，且線段 AB 被直線 OM 平分． （1）求 p，t 的值； （2）求 △ABP 面積的最大值． 26. 已知拋物線 C:y2=4x，過其焦點 F 作兩條相互垂直且不平行于 x 軸的直線，分別交拋物線 C 于點 P1，P2 和點 P3，P4，線段 P1P2，P3P4 的中點分別記為 M1，M2． （1）求 △FM1M2 面積的最小值； （2）求線段 M1M2 的中點 P 滿足的方程． 27. 平面直角坐標系中，橢圓：（）的離心率是，拋物線：的焦點是的一個頂點． （1）求橢圓的方程； （2）設是上動點，且位于第一象限，在點處的切線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點． （i）求證：點在定直線上； （ii）直線與軸交于點，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點的坐標． 四 定比分點 28. 已知點，點是橢圓：上任意一點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡記為曲線. （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）過的直線交曲線于不同的，兩點,交軸于點，已知，，求的值. 29. 在直角坐標系xOy上取兩個定點 再取兩個動點，，且． （Ⅰ）求直線與交點M的軌跡C的方程； （Ⅱ）過的直線與軌跡C交于P,Q，過P作軸且與軌跡C交于另一點N，F(xiàn)為軌跡C的右焦點，若，求證：. 30. 如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C：的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點（在軸上方），連結并延長交橢圓于另一點，設． （1）若點的坐標為，且的周長為，求橢圓的方程； （2）若垂直于軸，且橢圓的離心率，求實數(shù)的取值范圍． 五 結論 31. 已知橢圓 20.已知橢圓經過點且離心率等于，點分別為橢圓的左右頂點，點在橢圓上. （1）求橢圓的方程； （2）是橢圓上非頂點的兩點，滿足，求證：三角形的面積是定值. 32. 過點 1,32，離心率為 32．過橢圓右頂點 A 的兩條斜率乘積為 -14 的直線分別交橢圓 C 于 M，N 兩點． （1）求橢圓 C 的標準方程； （2）直線 MN 是否過定點 D?若過定點 D，求出點 D 的坐標，若不過點 D，請說明理由． 33. 已知橢圓的兩個焦點為，，是橢圓上一點，若，． （1）求橢圓的方程； （2）點是橢圓上任意一點，分別是橢圓的左、右頂點，直線與直線分別交于兩點，試證：以為直徑的圓交軸于定點，并求該定點的坐標. 34. 已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為P，與拋物線的交點為Q,且 （1）求拋物線的方程； （2）如圖所示，過F的直線與拋物線相交于A,D兩點，與圓相交于B,C兩點（A，B兩點相鄰），過A,D兩點分別作我校的切線，兩條切線相交于點M,求與的面積之積的最小值. 35. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0，其右準線 l 與 x 軸交于點 A，橢圓的上頂點為 B，過它的右焦點 F 且垂直于長軸的直線交橢圓于點 P，直線 AB 恰經過線段 FP 的中點 D． （1）求橢圓的離心率； （2）設橢圓的左、右頂點分別是 A1 、 A2，且 BA1?BA2=-3，求橢圓的方程； （3）在（2）的條件下，設 Q 是橢圓右準線 l 上異于 A 的任意一點，直線 QA1，QA2 與橢圓的另一個交點分別為 M 、 N，求證：直線 MN 與 x 軸交于定點． 36. 已知點，，直線與直線相交于點，直線與直線的斜率分別記為與，且． （Ⅰ）求點的軌跡的方程； （Ⅱ）過定點作直線與曲線交于兩點，的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理由． 37. 已知一個動圓與兩個定圓和均相切,其圓心的軌跡為曲線C. (1) 求曲線C的方程； (2) 過點F（)做兩條可相垂直的直線，設與曲線C交于A,B兩點, 與曲線 C交于C,D兩點，線段AC，BD分別與直線交于M，M,N兩點。求證|MF|:|NF|為定值. 六 運算轉化 38. 設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A,過A與垂直的直線交軸負半軸于Q點，且恰好為線段的中點. （1）若過三點的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程； （2）在（1）的條件下，B是橢圓C的左頂點，過點作與軸不重合的直線交橢圓C于E,F兩點,直線BE,BF分別交直線于M,N兩點，若直線MR,NR的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由. 39. 已知橢圓過點且離心率為. （1）求橢圓的方程； （2）設直線與橢圓交于、兩點，以為對角線作正方形，記直線與軸的交點為，問、兩點間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由. 12