圓錐曲線培優(yōu)講義.doc
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一 原點(diǎn)三角形面積公式 1. 已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).若點(diǎn)M(x0,y0)在橢圓C上,則點(diǎn)稱為點(diǎn)M的一個“橢點(diǎn)”. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P,Q,以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),試求△AOB的面積. 2. 己知橢圓 x2+2y2=1,過原點(diǎn)的兩條直線 l1 和 l2 分別與橢圓交于點(diǎn) A,B 和 C,D.記 △AOC 的面積為 S. (1)設(shè) Ax1,y1,Cx2,y2.用 A,C 的坐標(biāo)表示點(diǎn) C 到直線 l1 的距離,并證明 S=12x1y2-x2y1; (2)設(shè) l1:y=kx,C33,33,S=13,求 k 的值. (3)設(shè) l1 與 l2 的斜率之積為 m,求 m 的值,使得無論 l1 與 l2 如何變動,面積 S 保持不變. 3. 已知橢圓的左、右兩焦點(diǎn)分別為,橢圓上有一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線構(gòu)成的中,滿足 (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上不同于橢圓頂點(diǎn)的三點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,設(shè)直線的斜率分別為,且,求的值. 4. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),動點(diǎn)與兩定點(diǎn),連線的斜率之積為 (1)求動點(diǎn)的軌跡的方程; (2)設(shè)點(diǎn)是軌跡上相異的兩點(diǎn). (I)過點(diǎn)A,B分別作拋物線的切線、,與兩條切線相交于點(diǎn) ,證明:; (Ⅱ)若直線OA與直線OB的斜率之積為,證明:為定值,并求出這個定值· 5. 已知 A 、 B 分別是 x 軸和 y 軸上的兩個動點(diǎn),滿足 AB=2,點(diǎn) P 在線段 AB 上,且 AP=tPB(t 是不為 0 的常數(shù)),設(shè)點(diǎn) P 的軌跡方程為 C. (1)求點(diǎn) P 的軌跡方程 C; (2)若曲線 C 為焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓,試求實(shí)數(shù) t 的取值范圍; (3)若 t=2,點(diǎn) M,N 是曲線 C 上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個動點(diǎn),點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 32,3,求 △QMN 的面積 S 的最大值. 6. 已知橢圓 C1 的焦點(diǎn)在 x 軸上,中心在坐標(biāo)原點(diǎn);拋物線 C2 的焦點(diǎn)在 y 軸上,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).在 C1,C2 上各取兩個點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于表格中: x3-242y920822 (1)求 C1,C2 的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)已知定點(diǎn) C0,18,P 為拋物線 C2 上一動點(diǎn),過點(diǎn) P 作拋物線 C2 的切線交橢圓 C1 于 A,B 兩點(diǎn),求 △ABC 面積的最大值. 7. 已知拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)為 F,過點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A,B 兩點(diǎn). (1)若 AF=2FB,求直線 AB 的斜率; (2)設(shè)點(diǎn) M 在線段 AB 上運(yùn)動,原點(diǎn) O 關(guān)于點(diǎn) M 的對稱點(diǎn)為 C,求四邊形 OACB 面積的最小值. 8. 設(shè)橢圓 C1:x2a2+y2b2=1 a>b>0 的左、右焦點(diǎn)分別是 F1 、 F2,下頂點(diǎn)為 A,線段 OA 的中點(diǎn)為 B(O 為坐標(biāo)原點(diǎn)),如圖.若拋物線 C2:y=x2-1 與 y 軸的交點(diǎn)為 B,且經(jīng)過 F1,F(xiàn)2 點(diǎn). (1)求橢圓 C1 的方程; (2)設(shè) M0,-45,N 為拋物線 C2 上的一動點(diǎn),過點(diǎn) N 作拋物線 C2 的切線交橢圓 C1 于 P 、 Q 兩點(diǎn),求 △MPQ 面積的最大值. 二 定點(diǎn)定值問題 9. 動點(diǎn)在圓:上運(yùn)動,定點(diǎn),線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)為. (Ⅰ)求的軌跡的方程; (Ⅱ)過點(diǎn)的直線,分別交軌跡于,兩點(diǎn)和,兩點(diǎn),且.證明:過和中點(diǎn)的直線過定點(diǎn). 10. 在直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點(diǎn)是雙曲線:的中心,拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同. (Ⅰ)求拋物線的方程; (Ⅱ)若點(diǎn)為拋物線上的定點(diǎn),,為拋物線上兩個動點(diǎn).且⊥,問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn),若不是,說明理由. 11. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 63,直線 l 與 x 軸交于點(diǎn) E,與橢圓 C 交于 A,B 兩點(diǎn).當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸且點(diǎn) E 為橢圓 C 的右焦點(diǎn)時,弦 AB 的長為 263. (1)求橢圓 C 的方程; (2)若點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 32,0,點(diǎn) A 在第一象限且橫坐標(biāo)為 3,連接點(diǎn) A 與原點(diǎn) O 的直線交橢圓 C 于另一點(diǎn) P,求 △PAB 的面積; (3)是否存在點(diǎn) E,使得 1EA2+1EB2 為定值?若存在,請指出點(diǎn) E 的坐標(biāo),并求出該定值;若不存在,請說明理由. 12. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,不垂直于x軸且不過F點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn). (1)如果直線FA,F(xiàn)B的斜率之和為0,則動直線l是否一定經(jīng)過一定點(diǎn)?若過一定點(diǎn),則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由. (2)如果FA⊥FB,原點(diǎn)到直線l的距離為d,求d的取值范圍. 13. 如圖,已知直線關(guān)于直線對稱的直線為,直線與橢圓分別交于點(diǎn)、和、,記直線的斜率為. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)當(dāng)變化時,試問直線是否恒過定點(diǎn)?若恒過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不恒過定點(diǎn),請說明理由. 14. 如圖,橢圓 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是 22,過點(diǎn) P0,1 的動直線 l 與橢圓相交于 A,B 兩點(diǎn).當(dāng)直線 l 平行于 x 軸時,直線 l 被橢圓 E 截得的線段長為 22. (1)求橢圓 E 的方程; (2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,是否存在與點(diǎn) P 不同的定點(diǎn) Q,使得 QAQB=PAPB 恒成立? 若存在,求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 15. 已知動圓過定點(diǎn) p2,0,且與直線 x=-p2 相切,其中 p>0. (1)求動圓圓心 C 的軌跡的方程; (2)設(shè) A 、 B 是軌跡 C 上異于原點(diǎn) O 的兩個不同點(diǎn),直線 OA 和 OB 的傾斜角分別為 α 和 β,當(dāng) α,β 變化且 α+β 為定值 θ0<θ<π 時,證明直線 AB 恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 16. 已知拋物線 E:y2=2pxp>0 的準(zhǔn)線與 x 軸交于點(diǎn) K,過點(diǎn) K 做圓 C:x-52+y2=9 的兩條切線,切點(diǎn)為 M,N,|MN|=33. (1)求拋物線 E 的方程; (2)設(shè) A,B 是拋物線 E 上分別位于 x 軸兩側(cè)的兩個動點(diǎn),且 OA?OB=94 ( 其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)). ①求證:直線 AB 必過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn) Q 的坐標(biāo); ②過點(diǎn) Q 作 AB 的垂線與拋物線交于 G,D 兩點(diǎn),求四邊形 AGBD 面積的最小值. 17. 18. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)是橢圓C:上一點(diǎn),從原點(diǎn)O向圓M:作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P、Q,直線OP、OQ的斜率分別記為k1,k2 (1)求證:k1k2為定值; (2)求四邊形OPMQ面積的最大值. 19. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知是橢圓上的一點(diǎn),從原點(diǎn)向圓作兩條切線,分別交橢圓于,. (1)若點(diǎn)在第一象限,且直線,互相垂直,求圓的方程; (2)若直線,的斜率存在,并記為,求的值; (3)試問是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由. 三 中點(diǎn)弦問題 20. 橢圓的長軸長為,為橢圓上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),且直線與直線的斜率之積為. (1)求橢圓的方程; (2)過橢圓的左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn),線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是,求線段的長的取值范圍. 21. 在平面直角坐標(biāo)系中,過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),為的中點(diǎn),且直線的斜率為. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)設(shè)另一直線與橢圓交于兩點(diǎn),原點(diǎn)到直線的距離為,求面積的最大值. 22. 如圖,橢圓左右頂點(diǎn)為A、B,左右焦點(diǎn)為,直線交橢圓E于點(diǎn)C、D兩點(diǎn),與線段橢圓短軸分別交于M、N兩點(diǎn)(M、N不重合),且. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)直線的斜率分別為,求的取值范圍. 23. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率,左頂點(diǎn)為,過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn),交軸于點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)已知為的中點(diǎn),是否存在定點(diǎn),對于任意的都有,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在說明理由; (Ⅲ)若過點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn),求的最小值. 24. 已知橢圓 M:x2a2+y2b2=1a>b>0 過點(diǎn) A0,-1,且離心率 e=32. (1)求橢圓 M 的方程; (2)若橢圓 M 上存在點(diǎn) B,C 關(guān)于直線 y=kx-1 對稱,求 k 的所有取值構(gòu)成的集合 S,并證明對于 ?k∈S,BC 的中點(diǎn)恒在一條定直線上. 25. 如圖,在直角坐標(biāo)系 xOy 中,點(diǎn) P1,12 到拋物線 C:y2=2pxp>0 的準(zhǔn)線的距離為 54.點(diǎn) Mt,1 是 C 上的定點(diǎn),A,B 是 C 上的兩動點(diǎn),且線段 AB 被直線 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求 △ABP 面積的最大值. 26. 已知拋物線 C:y2=4x,過其焦點(diǎn) F 作兩條相互垂直且不平行于 x 軸的直線,分別交拋物線 C 于點(diǎn) P1,P2 和點(diǎn) P3,P4,線段 P1P2,P3P4 的中點(diǎn)分別記為 M1,M2. (1)求 △FM1M2 面積的最小值; (2)求線段 M1M2 的中點(diǎn) P 滿足的方程. 27. 平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:()的離心率是,拋物線:的焦點(diǎn)是的一個頂點(diǎn). (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)是上動點(diǎn),且位于第一象限,在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為,直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn). (i)求證:點(diǎn)在定直線上; (ii)直線與軸交于點(diǎn),記的面積為,的面積為,求的最大值及取得最大值時點(diǎn)的坐標(biāo). 四 定比分點(diǎn) 28. 已知點(diǎn),點(diǎn)是橢圓:上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn),點(diǎn)的軌跡記為曲線. (Ⅰ)求曲線的方程; (Ⅱ)過的直線交曲線于不同的,兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),已知,,求的值. 29. 在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個定點(diǎn) 再取兩個動點(diǎn),,且. (Ⅰ)求直線與交點(diǎn)M的軌跡C的方程; (Ⅱ)過的直線與軌跡C交于P,Q,過P作軸且與軌跡C交于另一點(diǎn)N,F(xiàn)為軌跡C的右焦點(diǎn),若,求證:. 30. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為,,為橢圓上一點(diǎn)(在軸上方),連結(jié)并延長交橢圓于另一點(diǎn),設(shè). (1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,且的周長為,求橢圓的方程; (2)若垂直于軸,且橢圓的離心率,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 五 結(jié)論 31. 已知橢圓 20.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)且離心率等于,點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上. (1)求橢圓的方程; (2)是橢圓上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn),滿足,求證:三角形的面積是定值. 32. 過點(diǎn) 1,32,離心率為 32.過橢圓右頂點(diǎn) A 的兩條斜率乘積為 -14 的直線分別交橢圓 C 于 M,N 兩點(diǎn). (1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)直線 MN 是否過定點(diǎn) D?若過定點(diǎn) D,求出點(diǎn) D 的坐標(biāo),若不過點(diǎn) D,請說明理由. 33. 已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為,,是橢圓上一點(diǎn),若,. (1)求橢圓的方程; (2)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),直線與直線分別交于兩點(diǎn),試證:以為直徑的圓交軸于定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo). 34. 已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與軸的交點(diǎn)為P,與拋物線的交點(diǎn)為Q,且 (1)求拋物線的方程; (2)如圖所示,過F的直線與拋物線相交于A,D兩點(diǎn),與圓相交于B,C兩點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)相鄰),過A,D兩點(diǎn)分別作我校的切線,兩條切線相交于點(diǎn)M,求與的面積之積的最小值. 35. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0,其右準(zhǔn)線 l 與 x 軸交于點(diǎn) A,橢圓的上頂點(diǎn)為 B,過它的右焦點(diǎn) F 且垂直于長軸的直線交橢圓于點(diǎn) P,直線 AB 恰經(jīng)過線段 FP 的中點(diǎn) D. (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是 A1 、 A2,且 BA1?BA2=-3,求橢圓的方程; (3)在(2)的條件下,設(shè) Q 是橢圓右準(zhǔn)線 l 上異于 A 的任意一點(diǎn),直線 QA1,QA2 與橢圓的另一個交點(diǎn)分別為 M 、 N,求證:直線 MN 與 x 軸交于定點(diǎn). 36. 已知點(diǎn),,直線與直線相交于點(diǎn),直線與直線的斜率分別記為與,且. (Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程; (Ⅱ)過定點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn),的面積是否存在最大值?若存在,求出面積的最大值;若不存在,請說明理由. 37. 已知一個動圓與兩個定圓和均相切,其圓心的軌跡為曲線C. (1) 求曲線C的方程; (2) 過點(diǎn)F()做兩條可相垂直的直線,設(shè)與曲線C交于A,B兩點(diǎn), 與曲線 C交于C,D兩點(diǎn),線段AC,BD分別與直線交于M,M,N兩點(diǎn)。求證|MF|:|NF|為定值. 六 運(yùn)算轉(zhuǎn)化 38. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為A,過A與垂直的直線交軸負(fù)半軸于Q點(diǎn),且恰好為線段的中點(diǎn). (1)若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切,求橢圓C的方程; (2)在(1)的條件下,B是橢圓C的左頂點(diǎn),過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓C于E,F兩點(diǎn),直線BE,BF分別交直線于M,N兩點(diǎn),若直線MR,NR的斜率分別為,試問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由. 39. 已知橢圓過點(diǎn)且離心率為. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn),以為對角線作正方形,記直線與軸的交點(diǎn)為,問、兩點(diǎn)間距離是否為定值?如果是,求出定值;如果不是,請說明理由. 12- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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