高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第11篇 第4節(jié) 證明方法課件 理 新人教A版 .ppt

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,第4節(jié) 證明方法,,基 礎(chǔ) 梳 理,1．直接證明 (1)綜合法 定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出_______________ ______的證明方法．,所要證明的結(jié)論,成立,(2)分析法 定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為_(kāi)_________ ________________(已知條件、定理、定義、公理等)為止的證明方法．,判定一個(gè),明顯成立的條件,質(zhì)疑探究1：綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系？ 提示：(1)分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋求它成立的充分條件．(2)綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它成立的必要條件．(3)分析法易于探索解題思路，綜合法易于過(guò)程表述，在應(yīng)用中視具體情況擇優(yōu)選之．,2．間接證明——反證法 一般地，假設(shè)原命題_________(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明__________，從而證明了_______________，這樣的證明方法叫做反證法．,不成立,假設(shè)錯(cuò)誤,原命題成立,3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立； (2)歸納遞推：假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)__________時(shí)命題也成立． 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．,n＝k＋1,質(zhì)疑探究2：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系？ 提示：數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤． (1)第一步中， 驗(yàn)算n＝n0中的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2或3等． (2)第二步中，證明n＝k＋1時(shí)命題成立的過(guò)程中，一定要用到歸納假設(shè)，掌握“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”的技巧．,答案：C,解析：因?yàn)閍2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0. 故選D. 答案：D,3．(2014東營(yíng)模擬)用反證法證明命題：“若a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是( ) A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除 C．a(chǎn)，b不都能被5整除 D．a(chǎn)能被5整除 解析：“至少有一個(gè)”的反面應(yīng)是“一個(gè)都沒(méi)有”． 故應(yīng)選B. 答案：B,4．(2014吉林長(zhǎng)春一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)左邊表達(dá)式是________；從k→k＋1需增添的項(xiàng)是________． 解析：因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)2n＋1＝3，所以左邊表達(dá)式是1＋2＋3；從k→k＋1需增添的項(xiàng)的是4k＋5或(2k＋2)＋(2k＋3)． 答案：1＋2＋3 4k＋5(或(2k＋2)＋(2k＋3)),,考 點(diǎn) 突 破,[例1] (2014南昌模擬)對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足以下三條：①對(duì)任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．試判斷g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù)，如果是，請(qǐng)予證明，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． [思維導(dǎo)引] 對(duì)三個(gè)條件逐一驗(yàn)證，若都滿足，則g(x)是理想函數(shù)，否則不是理想函數(shù)．,綜合法,[解] g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函數(shù)，證明如下： 因?yàn)閤∈[0,1]，所以2x≥1,2x－1≥0， 即對(duì)任意x∈[0,1]，總有g(shù)(x)≥0，滿足條件①. g(1)＝21－1＝2－1＝1，滿足條件②. 當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1時(shí)， g(x1＋x2)＝2x1＋x2－1， g(x1)＋g(x2)＝2x1－1＋2x2－1，,于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)] ＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1) ＝2x1·2x2－2x1－2x2＋1 ＝(2x1－1)(2x2－1)． 由于x1≥0，x2≥0， 所以2x1－1≥0,2x2－1≥0， 于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]≥0， 因此g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，滿足條件③， 故函數(shù)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函數(shù)．,(1)用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論．(2)在用綜合法證明時(shí)，注意邏輯表達(dá)清晰，因果關(guān)系明確．,分析法,(1)分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證． (2)用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立．,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與n有關(guān)的命題，也可以解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索性問(wèn)題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”．證明的關(guān)鍵是：假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，由歸納假設(shè)推證n＝k＋1時(shí)命題成立．,(2)證明n＝k＋1(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立的常用技巧． ①分析n＝k＋1時(shí)命題與n＝k時(shí)命題形式的差別，確定證明目標(biāo)． ②證明恒等式時(shí)常用乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)配方等；證明不等式常用分析法、綜合法、放縮法等．,