高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何課件 文（打包5套）.zip

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何課件 文（打包5套）.zip,高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí),第八章,立體幾何課件,文打包5套,高考,數(shù)學(xué),復(fù)習(xí),第八,立體幾何,課件,打包 第八章立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖和直觀(guān)圖 1 多面體的結(jié)構(gòu)特征 1 棱柱的側(cè)棱都互相平行 上 下底面是互相平行且全等 的多邊形 2 棱錐的底面是任意多邊形 側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三 角形 3 棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到 其上 下底面 是相似多邊形 注意 1 正棱柱 側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱 反之 正棱柱的底面是正多邊形 側(cè)棱垂直于底面 側(cè)面是矩形 2 正棱錐 底面是正多邊形 頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐 特別地 各棱均相等的正棱錐叫做正多面體 反過(guò)來(lái) 正棱錐的底面是正多邊形 且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心 2 旋轉(zhuǎn)體的幾何特征 1 圓柱 以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸 將矩形旋轉(zhuǎn) 一周而形成的曲面所圍成的幾何體 2 圓錐 以直角三角形的一條直角邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸 將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體 3 圓臺(tái) 類(lèi)似于棱臺(tái) 圓臺(tái)可看作是用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐 底面與截面之間的部分 類(lèi)似于圓錐的形成過(guò)程 圓臺(tái)還可以看作是一直角梯形繞垂直于底的腰所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn) 其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體 4 球 以半圓的直徑所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸 半圓面旋轉(zhuǎn)一 周形成的幾何體 3 空間幾何體的三視圖 1 幾何體的三視圖包括 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 又稱(chēng)為主視圖 左視圖 俯視圖 2 三視圖的長(zhǎng)度特征 長(zhǎng)對(duì)正 寬相等 高平齊 即 視圖和側(cè)視圖一樣高 正視圖和 視圖一樣長(zhǎng) 視圖和俯視圖一樣寬 正 俯 側(cè) 注意 若相鄰兩物體的表面相交 表面的交線(xiàn)是它們的分界線(xiàn) 在三視圖中 要注意實(shí) 虛線(xiàn)的畫(huà)法 4 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形 1 步驟 畫(huà)軸 取點(diǎn) 成圖 2 圖形中平行于x軸的線(xiàn)段 在直觀(guān)圖中仍平行于x 軸且長(zhǎng)度保持不變 平行于y軸的線(xiàn)段 在直觀(guān)圖中仍平行于y 軸且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半 與坐標(biāo)軸不平行的線(xiàn)段 可通過(guò)確定端點(diǎn)的辦法來(lái)解決 3 畫(huà)空間圖形的直觀(guān)圖時(shí) 只需增加一個(gè)豎直的z 軸 圖形中平行于z軸的線(xiàn)段 在直觀(guān)圖中仍平行于z 軸且長(zhǎng)度保持不變 1 如圖8 1 1所示的是一幅電熱水壺的主視圖 它的俯視 圖是 D 圖8 1 1 2 紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上 下 東 南 西 北 現(xiàn)又沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi) 外面朝上展平 得到如圖8 1 2所示的平面圖形 則標(biāo) 的 面的方位是 B 圖8 1 2 A 南 B 北 C 西 D 下 3 2013年四川 一個(gè)幾何體的三視圖如圖8 1 3 則該幾 D 何體的直觀(guān)圖可以是 AC BD 圖8 1 3 4 小華拿一個(gè)矩形木框在陽(yáng)光下玩 矩形木框在地面上形 成的投影不可能是 A 考點(diǎn)1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 例1 1 如圖8 1 4 模塊 均由4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成 模塊 由15個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成 現(xiàn)從模塊 中選出三個(gè)放到模塊 上 使得模塊 成為一個(gè)棱長(zhǎng)為 3的大正方體 則下列方案中 能夠完成任務(wù)的為 圖8 1 4 A 模塊 C 模塊 B 模塊 D 模塊 解析 本小題主要考查空間想象能力 先補(bǔ)齊中間一層 只能用模塊 或 且如果補(bǔ) 則后續(xù)兩塊無(wú)法補(bǔ)齊 所以只能先用 補(bǔ)中間一層 然后再補(bǔ)齊其他兩塊 答案 A 2 在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn) 它們可能是如下各種幾何體形的4個(gè)頂點(diǎn) 這些幾何形體是 寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào) 矩形 不是矩形的平行四邊形 有三個(gè)面為等腰直角三角形 有一個(gè)面為等邊三角形的四面體 每個(gè)面都是等邊三角形的四面體 每個(gè)面都是直角三角形的四面體 解析 如圖D26 四邊形AA1C1C為矩形 三棱錐B1 A1BC1就是有三個(gè)面為等腰直角三角形 有一個(gè)面為等邊三角形的四面體 三棱錐D A1BC1就是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體 三棱錐A1 ABC就是每個(gè)面都是直角三角形的四面體 圖D26 答案 互動(dòng)探究 1 正五棱柱中 不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線(xiàn)稱(chēng)為它的對(duì)角線(xiàn) 那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)共 有 D A 20條C 12條 B 15條D 10條 解析 正五棱柱中 上底面中的每一個(gè)頂點(diǎn)均可與下底面中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成對(duì)角線(xiàn) 所以一個(gè)正五棱柱對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)共有5 2 10 條 考點(diǎn)2 幾何體的三視圖 例2 1 2014年新課標(biāo) 如圖8 1 5 網(wǎng)格紙的各小格都是正方形 粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖 則這個(gè)幾何 體是 圖8 1 5 A 三棱錐 B 三棱柱 C 四棱錐 D 四棱柱 解析 根據(jù)三視圖的法則 長(zhǎng)對(duì)正 高平齊 寬相等 可 得幾何體如圖D27 圖D27 答案 B 答案 D 規(guī)律方法 畫(huà)三視圖應(yīng)遵循 長(zhǎng)對(duì)正 高平齊 寬相等 的原則 即 正 俯視圖一樣長(zhǎng) 正 側(cè)視圖一樣高 俯 側(cè)視圖一樣寬 看得見(jiàn)的線(xiàn)條為實(shí)線(xiàn) 被遮擋的線(xiàn)條為虛線(xiàn) 互動(dòng)探究 2 將正方體 如圖8 1 6 截去兩個(gè)三棱錐 得到如圖8 1 7 所示的幾何體 則該幾何體的側(cè)視圖為 圖8 1 6 圖8 1 7 解析 畫(huà)出三視圖 如圖D28 故選B 圖D28 答案 B 考點(diǎn)3 幾何體的直觀(guān)圖 例3 已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a 那么ABC的平面 直觀(guān)圖A B C 的面積為 解析 如圖8 1 8 1 2 所示的實(shí)際圖形和直觀(guān)圖 圖8 1 8 答案 D 規(guī)律方法 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀(guān)圖 關(guān)鍵是掌握水平放置的平面圖形直觀(guān)圖的畫(huà)法 而其中的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置 將直觀(guān)圖還原為其空間幾何體時(shí) 應(yīng)抓住斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則 先畫(huà)出正三角形ABC的平面直觀(guān)圖A B C 再求A B C 的高即可 本題采用斜二測(cè)畫(huà)法作其直觀(guān)圖時(shí) 底不變 第三個(gè)頂點(diǎn)在y 軸上 長(zhǎng)度為原高的一半 但它還 互動(dòng)探究 3 一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀(guān)圖是一個(gè)底角為45 腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形 則該平面圖形的面積等于 D 易錯(cuò) 易混 易漏 將三視圖還原成幾何體時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)的判斷產(chǎn)生錯(cuò)誤例題 2013年山西診斷 如圖8 1 9 水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2 且側(cè)棱AA1 底面A1B1C1 正視圖是 邊長(zhǎng)為2的正方形 該三棱柱的側(cè)視圖面積為 圖8 1 9 答案 B 失誤與防范 三視圖還原求面積或體積時(shí)一定要注意幾何體擺放的形式 所給數(shù)據(jù)究竟是棱長(zhǎng)還是棱的投影 高 第2講 空間幾何體的表面積和體積 1 柱 錐 臺(tái)和球的側(cè)面積和體積 2 rh 續(xù)表 4 R2 2 幾何體的表面積 1 棱柱 棱錐 棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和 2 圓柱 圓錐 圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形 扇形 扇 環(huán)形 它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和 3 等積法的應(yīng)用 1 等積法 等積法包括等面積法和等體積法 2 等積法的前提是幾何圖形 或幾何體 的面積 或體積 通過(guò)已知條件可以得到 利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高 特別是求三角形的高和三棱錐的高 這一方法回避了具體通過(guò)作圖得到三角形 或三棱錐 的高 而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值 1 2013年廣東 某三棱錐的三視圖如圖8 2 1 則該三棱 錐的體積是 B 圖8 2 1 A 16 B 13 C 23 D 1 3 已知四棱錐P ABCD的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形 側(cè)棱PA 底面ABCD 且PA 8 則該四棱錐的體積是 96 C 4 如圖8 2 2 一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是底為1 高為2的矩形 俯視圖是一個(gè)圓 那么這個(gè)幾何體的表 面積為 圖8 2 2 考點(diǎn)1 幾何體的面積 答案 12 2 2013年重慶 某幾何體的三視圖如圖8 2 3 則該幾何體 的表面積為 圖8 2 3 A 180 B 200 C 220 D 240 解析 幾何體為直四棱柱 其高為10 底面是上底為2 40 四個(gè)側(cè)面的面積和為 2 8 5 2 10 200 所以四棱柱的表面積為S 40 200 240 故選D 答案 D 規(guī)律方法 第 1 小題是求實(shí)體的面積 第 2 小題只是給出幾何體的三視圖 求該幾何體的表面積時(shí) 先要根據(jù)三視圖畫(huà)出直觀(guān)圖 再確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征 最后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算 注意表面積包括底面等腰梯形的面積 互動(dòng)探究 1 2013年陜西 某幾何體的三視圖如圖8 2 4 則其表面 積為 3 圖8 2 4 考點(diǎn)2 幾何體的體積 例2 1 2014年安徽 一個(gè)多面體的三視圖如圖8 2 5 則 該多面體的體積是 圖8 2 5 A 233 B 476 C 6 D 7 解析 由題意 該多面體的直觀(guān)圖是一個(gè)正方體ABCD A B C D 挖去左下角三棱錐A EFG和右上角三棱錐C E F G 如圖D29 則多面體的體積為V 2 2 2 圖D29 答案 A 答案 C 圖D30 規(guī)律方法 求幾何體的體積時(shí) 若所給的幾何體是規(guī)則的柱體 錐體 臺(tái)體或球體 可直接利用公式求解 若是給出幾何體的三視圖 求該幾何體的體積時(shí) 先要根據(jù)三視圖畫(huà)出直觀(guān)圖 再確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征 最后利用有關(guān)公式進(jìn)行 互動(dòng)探究 2 2012年廣東 某幾何體的三視圖如圖8 2 6 則它的體 積為 圖8 2 6 A 12 B 45 C 57 D 81 答案 C 考點(diǎn)3 立體幾何中的折疊與展開(kāi) 例3 2014年上海 底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐P ABC 其表面展開(kāi)圖是三角形P1P2P3 如圖8 2 7 求 P1P2P3的各邊長(zhǎng)及此三棱錐的體積V 解 由題意知 在 P1P2P3中 P1A P3A P1B P2B P2C P3C 所以AB AC BC是 P1P2P3的三條中位線(xiàn) 圖8 2 7 互動(dòng)探究 3 圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD 求圓柱的側(cè)面上從A到C的最短距離 圖D31 難點(diǎn)突破 利用函數(shù)的方法解決立體幾何問(wèn)題 圖8 2 8 規(guī)律方法 有關(guān)立體幾何與函數(shù)的綜合問(wèn)題 一般是以立體幾何為主體 求出有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度 有關(guān)角度的三角函數(shù) 有關(guān)平面圖形或旋轉(zhuǎn)體的面積 幾何體的體積 以建立函數(shù)關(guān)系式 再利用導(dǎo)數(shù) 或基本不等式 求出最值 注意建立函數(shù)關(guān)系式一定要準(zhǔn)確 求函數(shù)最值的各種方法都要了解 x f x f x 的變化情況如下表 四邊形PDEF為平行四邊形 ED FP A P AP PB PF A B A B DE 圖D32 第3講 點(diǎn) 直線(xiàn) 平面之間的位置關(guān)系 1 平面基本性質(zhì)即三條公理的 圖形語(yǔ)言 文字語(yǔ) 言 符號(hào)語(yǔ)言 列表 續(xù)表 公理2的三條推論 推論1 經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn) 有且只有一 個(gè)平面 推論2 經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn) 有且只有一個(gè)平面 推論3 經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn) 有且只有一個(gè)平面 l A B C不共線(xiàn) A B C確定平面 P P 公理4 平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行 等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行 那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 2 空間線(xiàn) 面之間的位置關(guān)系 異面 無(wú)數(shù)個(gè) 沒(méi)有 3 異面直線(xiàn)所成的角過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作異面直線(xiàn)a與b的平行線(xiàn)a 與b 那么直線(xiàn)a 與b 所成的 叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角 或夾角 其范圍是 銳角或直角 0 90 1 2013年安徽蚌埠二模 l1 l2 l3是空間三條不同的直線(xiàn) 則下列命題正確的是 B A l1 l2 l2 l3 l1 l3B l1 l2 l2 l3 l1 l3C l1 l2 l3 l1 l2 l3共面D l1 l2 l3共點(diǎn) l1 l2 l3共面 2 若空間中有兩條直線(xiàn) 則 這兩條直線(xiàn)為異面直線(xiàn) 是 A 這兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn) 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件 3 在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 既與AB共面也與CC1 共面的棱的條數(shù)為 C A 3條 B 4條 C 5條 D 6條 解析 如圖D33 用列舉法知 符合要求的棱為 BC CD C1D1 BB1 AA1 故選C 圖D33 D 4 若A B A l B l P l 則 A P B P C l D P 考點(diǎn)1 平面的基本性質(zhì) 例1 若直線(xiàn)l不平行于平面 且l 則 A 內(nèi)的所有直線(xiàn)與l異面B 內(nèi)不存在與l平行的直線(xiàn)C 內(nèi)存在唯一的直線(xiàn)與l平行D 內(nèi)的直線(xiàn)與l都相交 解析 不妨設(shè)直線(xiàn)l M 過(guò)點(diǎn)M的 內(nèi)的直線(xiàn)與l不異面 故A錯(cuò)誤 假設(shè)存在與l平行的直線(xiàn)m 則由m l 得l 這與l M矛盾 故B正確 C顯然錯(cuò)誤 內(nèi)存在與l異面的直線(xiàn) 故D錯(cuò)誤 故選B 答案 B 規(guī)律方法 直線(xiàn)在平面內(nèi)也叫平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn) 如果直線(xiàn)不在平面內(nèi) 記作l 包括直線(xiàn)與平面相交及直線(xiàn)與平面平行兩種情形 反映平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理是研究空間圖形和研究點(diǎn) 線(xiàn) 面位置關(guān)系的基礎(chǔ) 三個(gè)公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據(jù) 公理1是判斷直線(xiàn)在平面內(nèi)的依據(jù) 公理2的作用是確定平面 這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù) 公理3是證明三 多 點(diǎn)共線(xiàn)或三線(xiàn)共點(diǎn)的依據(jù) 互動(dòng)探究 1 下列推斷中 錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是 A A l A B l B l A B C A B C 且A B C不共線(xiàn) 重合 l A l A A 1個(gè)C 3個(gè) B 2個(gè)D 0個(gè) 考點(diǎn)2 空間內(nèi)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系 例2 如圖8 3 1 在正方體ABCD A1B1C1D1中 M N分 別是BC1 CD1的中點(diǎn) 則下列判斷錯(cuò)誤的是 圖8 3 1 A MN與CC1垂直C MN與BD平行 B MN與AC垂直D MN與A1B1平行 答案 D 規(guī)律方法 判斷直線(xiàn)是否平行比較簡(jiǎn)單直觀(guān) 可以利用公理4 判斷直線(xiàn)是否異面則比較困難 掌握異面直線(xiàn)的兩種判斷方法 反證法 先假設(shè)兩條直線(xiàn)不是異面直線(xiàn) 即兩條直線(xiàn)平行或相交 再由假設(shè)的條件出發(fā) 經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理 導(dǎo)出矛盾 從而否定假設(shè) 肯定兩條直線(xiàn)異面 在客觀(guān)題中 也可用下述結(jié)論 過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn) 與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn) 互動(dòng)探究 2 如圖8 3 2所示的是正方體和正四面體 P Q R S分別是所在棱的中點(diǎn) 則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是 填上所 有正確答案的序號(hào) 圖8 3 2 3 如圖8 3 3 G H M N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn) 則使直線(xiàn)GH MN是異面直線(xiàn)的圖形有 填上所有正確答案的序號(hào) 圖8 3 3 解析 圖 中 直線(xiàn)GH MN 圖 中 G H N三點(diǎn)在三棱柱的側(cè)面上 MG與這個(gè)側(cè)面相交于G M 平面GHN 因此直線(xiàn)GH與MN異面 圖 中 連接MG GM HN 因此GH與MN共面 圖 中 G M N共面 但H 平面GMN 因此GH與MN異面 答案 考點(diǎn)3 異面直線(xiàn)所成的角 例3 在正方體ABCD A1B1C1D1中 1 求AC與A1D所成角的大小 2 若E F分別為AB AD的中點(diǎn) 求A1C1與EF所成角的大小 解 1 如圖8 3 4 連接AB1 B1C 由ABCD A1B1C1D1是正方體 易知A1D B1C 從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角 AB1 AC B1C B1CA 60 即A1D與AC所成的角為60 圖8 3 4 圖8 3 5 2 如圖8 3 5 連接AC BD 在正方體ABCD A1B1C1D1中 AC BD AC A1C1 E F分別為AB AD的中點(diǎn) EF BD EF AC EF A1C1 即A1C1與EF所成的角為90 規(guī)律方法 求異面直線(xiàn)所成角的基本方法就是平移 有時(shí)候平移兩條直線(xiàn) 有時(shí)候只需要平移一條直線(xiàn) 直到得到兩條相交直線(xiàn) 最后在三角形或四邊形中解決問(wèn)題 B 考點(diǎn)4 三點(diǎn)共線(xiàn) 三線(xiàn)共點(diǎn)的證明 例4 如圖8 3 6 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E F分別是AB和AA1的中點(diǎn) 求證 1 E C D1 F四點(diǎn)共面 2 CE D1F DA三線(xiàn)共點(diǎn) 圖8 3 6 圖8 3 7 同理點(diǎn)P 平面ADD1A1 又平面ABCD 平面ADD1A1 DA 點(diǎn)P 直線(xiàn)DA CE D1F DA三線(xiàn)共點(diǎn) 規(guī)律方法 要證明M N K三點(diǎn)共線(xiàn) 由公理3知 只要證明M N K都在兩個(gè)平面的交線(xiàn)上即可 證明多點(diǎn)共線(xiàn) 問(wèn)題 可由兩點(diǎn)連一條直線(xiàn) 再驗(yàn)證其他各點(diǎn)均在這條直線(xiàn)上 可直接驗(yàn)證這些點(diǎn)都在同一條特定的直線(xiàn)上 相交兩平面的唯一交線(xiàn) 關(guān)鍵是通過(guò)繪出圖形 作出兩個(gè)適當(dāng)?shù)钠矫婊蜉o助平面 證明這些點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn) 互動(dòng)探究 5 在空間四邊形ABCD的邊AB BC CD DA上分別取 E F G H四點(diǎn) 若EF與GH交于點(diǎn)M 則 A A 點(diǎn)M一定在A(yíng)C上B 點(diǎn)M一定在BD上C 點(diǎn)M可能在A(yíng)C上 也可能在BD上D 點(diǎn)M既不在A(yíng)C上 也不在BD上解析 點(diǎn)M在平面ABC內(nèi) 又在平面ADC內(nèi) 故必在交線(xiàn)AC上 第4講 直線(xiàn) 平面平行的判定與性質(zhì) 續(xù)表 1 設(shè)AA 是長(zhǎng)方體的一條棱 這個(gè)長(zhǎng)方體中與AA 平行 的棱共有 C A 1條 B 2條 C 3條 D 4條 2 b是平面 外一條直線(xiàn) 下列條件中可得出b 的是 D A b與 內(nèi)一條直線(xiàn)不相交B b與 內(nèi)兩條直線(xiàn)不相交C b與 內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)不相交D b與 內(nèi)任意一條直線(xiàn)不相交 3 下列命題中 正確命題的個(gè)數(shù)是 A 若直線(xiàn)l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 內(nèi) 則l 若直線(xiàn)l與平面 平行 則l與平面 內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都平行 如果兩條平行直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行 那么另一條直線(xiàn)也與這個(gè)平面平行 若直線(xiàn)l與平面 平行 則l與平面 內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都沒(méi)有公共點(diǎn) A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè) 4 設(shè)m n表示不同直線(xiàn) 表示不同平面 則下列命 題中正確的是 D A 若m m n 則n B 若m n m n 則 C 若 m m n 則n D 若 m n m n 則n 考點(diǎn)1 直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì) 例1 2013年新課標(biāo) 如圖8 4 1 在直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分別是AB BB1的中點(diǎn) 1 證明 BC1 平面A1CD 圖8 4 1 圖D34 1 證明 如圖D34 連接AC1 交A1C于點(diǎn)F 則F為AC1的中點(diǎn) 又 在直三棱柱ABC A1B1C1中 D是AB的中點(diǎn) 故DF為三角形ABC1的中位線(xiàn) 故DF BC1 由于DF 平面A1CD 而B(niǎo)C1 平面A1CD 故有BC1 平面A1CD 規(guī)律方法 證明直線(xiàn)a與平面 平行 關(guān)鍵是在平面 內(nèi)找一條直線(xiàn)b 使a b 如果沒(méi)有現(xiàn)成的平行線(xiàn) 應(yīng)依據(jù)條件作出平行線(xiàn) 有中點(diǎn)的常作中位線(xiàn) 互動(dòng)探究 1 如圖8 4 2 A B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn) M N P分別為其所在棱的中點(diǎn) 能得出AB 平面MNP的圖形的序號(hào)是 寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào) 圖8 4 2 并設(shè)直線(xiàn)AC 平面MNP D 則有AB MD M為BC中點(diǎn) D為AC中點(diǎn) 這樣平面MND 平面AB 顯然與題設(shè)條件不符 得不到AB 平面MNP 答案 考點(diǎn)2 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 例2 2013年江蘇 如圖8 4 3 在三棱錐S ABC中 平面SAB 平面SBC AB BC AS AB 過(guò)點(diǎn)A作AF SB 垂足為F 點(diǎn)E G分別是棱SA SC的中點(diǎn) 求證 1 平面EFG 平面ABC 2 BC SA 圖8 4 3 證明 1 AS AB AF SB F是SB的中點(diǎn) E F分別是SA SB的中點(diǎn) EF AB 又 EF 平面ABC AB 平面ABC EF 平面ABC 同理 FG 平面ABC 又 EF FG F EF FG 平面EFG 平面EFG 平面ABC 2 平面SAB 平面SBC 且交線(xiàn)為SB AF 平面SAB 且AF SB AF 平面SBC 又 BC 平面SBC AF BC 又 AB BC AB AF A AB AF 平面SAB BC 平面SAB 又 SA 平面SAB BC SA 規(guī)律方法 證明平面與平面平行 就是在一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面 從而將面面平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行問(wèn)題 互動(dòng)探究 2 如圖8 4 4 在正方體ABCD A1B1C1D1中 S是B1D1的 中點(diǎn) E F G分別是BC DC和SC的中點(diǎn) 求證 平面EFG 平面BB1D1D 圖8 4 4 證明 E F分別為BC DC的中點(diǎn) EF為中位線(xiàn) 則EF BD 又EF 平面BB1D1D BD 平面BB1D1D EF 平面BB1D1D 連接SB 同理可證EG 平面BB1D1D 又EF EG E 平面EFG 平面BB1D1D 考點(diǎn)3 線(xiàn)面 面面平行的綜合應(yīng)用 例3 已知有公共邊AB的兩個(gè)正方形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi) P Q分別是對(duì)角線(xiàn)AE BD上的點(diǎn) 且AP DQ 求證 PQ 平面CBE 1 3 2 圖8 4 5 又 PQ 平面CBE PQ 平面POQ PQ 平面CBE 規(guī)律方法 證明線(xiàn)面平行 關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行 方法一是作三角形得到的 方法二是通過(guò)作平行四邊形得到在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)KH 方法三利用了面面平行的性質(zhì)定理 互動(dòng)探究 3 2014年遼寧 已知m n表示兩條不同的直線(xiàn) 表示平 面 則下列說(shuō)法正確的是 B A 若m n 則m nB 若m n 則m nC 若m m n 則n D 若m m n 則n 解析 若m n 則m n或m n相交或m n異面 故A錯(cuò)誤 若m n 由直線(xiàn)和平面垂直的定義知 m n 故B正確 若m m n 則n 或n 故C錯(cuò)誤 若m m n 則n與 位置關(guān)系不確定 故D錯(cuò)誤 易錯(cuò) 易混 易漏 立體幾何中的探究性問(wèn)題 例題 2014年四川 在如圖8 4 6所示的多面體中 四邊形 ABB1A1和ACC1A1都為矩形 1 若AC BC 證明 直線(xiàn)BC 平面ACC1A1 2 設(shè)D E分別是線(xiàn)段BC CC1的中點(diǎn) 則在線(xiàn)段AB上是否存在一點(diǎn)M 使直線(xiàn)DE 平面A1MC 請(qǐng)證明你的結(jié)論 圖8 4 6 正解 1 四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形 AA1 AB AA1 AC AB AC為平面ABC內(nèi)的兩條相交直線(xiàn) AA1 平面ABC 直線(xiàn)BC 平面ABC AA1 BC 又由已知 AC BC AA1 AC為平面ACC1A1內(nèi)的兩條相 交直線(xiàn) BC 平面ACC1A1 2 如圖8 4 7 取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M 連接A1M MC A1C AC1 設(shè)O為A1C AC1的交點(diǎn) 圖8 4 7 由已知 O為AC1的中點(diǎn) 如圖8 4 7 連接MD OE 第5講 直線(xiàn) 平面垂直的判定與性質(zhì) 1 線(xiàn)面垂直與面面垂直 垂直 續(xù)表 2 直線(xiàn)與平面所成的角 1 如果直線(xiàn)與平面平行或者在平面內(nèi) 那么直線(xiàn)與平面所 成的角等于0 2 如果直線(xiàn)和平面垂直 那么直線(xiàn)與平面所成的角等于 90 3 平面的斜線(xiàn)與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線(xiàn)與平面所成的角 其范圍是 0 90 斜線(xiàn)與平面所成的線(xiàn)面角是這條斜線(xiàn)和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角 3 二面角從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖象叫做二面角 從二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn) 在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn) 這兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角 平面角 是直角的二面角叫做 直二面角 D 1 垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)一定 A 平行B 相交C 異面D 以上都有可能 2 給定空間中的直線(xiàn)l及平面 條件 直線(xiàn)l與平面 內(nèi) 無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都垂直 是 直線(xiàn)l與平面 垂直 的 C A 充要條件C 必要非充分條件 B 充分非必要條件D 既非充分又非必要條件 3 如圖8 5 1 在正方體ABCD A1B1C1D1中 下列結(jié)論中 正確的個(gè)數(shù)是 D 圖8 5 1 BD1 AC BD1 A1C1 BD1 B1C A 0個(gè) B 1個(gè) C 2個(gè) D 3個(gè) 4 已知三條直線(xiàn)m n l 三個(gè)平面 下面四個(gè)命 題中 正確的是 D 考點(diǎn)1 直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì) 例1 2014年山東 如圖8 5 2 在四棱錐P ABCD中 APE F分別為線(xiàn)段AD PC的中點(diǎn) 1 求證 AP 平面BEF 2 求證 BE 平面PAC 圖8 5 2 2 由題意知 ED BC ED BC 四邊形BCDE為平行四邊形 因此BE CD 又AP 平面PCD AP CD 因此AP BE 四邊形ABCE為菱形 BE AC 又AP AC A AP AC 平面PAC BE 平面PAC 規(guī)律方法 直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直 直線(xiàn)與平面垂直 平面與平面垂直 直線(xiàn)與平面垂直 直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直 通過(guò)直線(xiàn)與平面位置關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化來(lái)處理有關(guān)垂直的問(wèn)題 出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí) 平行要聯(lián)想到三角形中位線(xiàn) 垂直要聯(lián)想到三角形的高 出現(xiàn)圓周上的點(diǎn)時(shí) 聯(lián)想到直徑所對(duì)的圓周角為直角 互動(dòng)探究 1 如圖8 5 3 PA O所在的平面 AB是 O的直徑 C是 O上的一點(diǎn) E F分別是A在PB PC上的射影 則下 列結(jié)論中正確命題的個(gè)數(shù)是 圖8 5 3 AF PB EF PC AF BC AE 平面PBC A 1個(gè)C 3個(gè) B 2個(gè)D 4個(gè) 解析 正確 又AF 平面PBC 假設(shè)AE 平面PBC AF AE 顯然不成立 故 錯(cuò)誤 答案 C 考點(diǎn)2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 例2 2014年江蘇 如圖8 5 4 在三棱錐P ABC中 D E F分別為棱PC AC AB的中點(diǎn) 已知PA AC PA 6 BC 8 DF 5 求證 1 直線(xiàn)PA 平面DEF 2 平面BDE 平面ABC 圖8 5 4 證明 1 D E分別是PC AC的中點(diǎn) PA DE 又DE 平面DEF 且PA 平面DEF 直線(xiàn)PA 平面DEF 2 由 1 知 PA DE 又PA AC DE AC 又F是AB的中點(diǎn) 又DF 5 DE2 EF2 DF2 即DE EF 又EF AC E DE 平面ABC 又DE 平面BDE 故平面BDE 平面ABC 規(guī)律方法 證明兩個(gè)平面互相垂直 就是證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn) 從而將面面垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直的問(wèn)題 互動(dòng)探究 2 如圖8 5 5 在立體圖形D ABC中 若AB CB AD CD E是AC的中點(diǎn) 則下列結(jié)論正確的是 A 平面ABC 平面ABDB 平面ABD 平面BDCC 平面ABC 平面BDE 且平面ADC 平面BDED 平面ABC 平面ADC 且平面ADC 平面BDE 圖8 5 5 解析 要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系 就需找一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直 因?yàn)锳B CB 且E是AC的中點(diǎn) 所以BE AC 同理有DE AC 于是AC 平面BDE 因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi) 所以平面ABC 平面BDE 又由于A(yíng)C 平面ACD 所以平面ACD 平面BDE 故選C 答案 C 考點(diǎn)3 線(xiàn)面所成的角 例3 如圖8 5 6 在正方體ABCD A1B1C1D1中 求A1B與平面A1B1CD所成的角 圖8 5 6解 如圖8 5 6 連接BC1 交B1C于點(diǎn)O 連接A1O 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a 又 BA1O為銳角 BA1O 30 故A1B與平面A1B1CD所成的角為30 規(guī)律方法 求直線(xiàn)和平面所成的角時(shí) 應(yīng)注意的問(wèn)題是 先判斷直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系 當(dāng)直線(xiàn)和平面斜交時(shí) 常有以下步驟 作 作出或找到斜線(xiàn)與平面所成的角 證 論證所作或找到的角為所求的角 算 常用解三角形的方法求角 結(jié)論 點(diǎn)明斜線(xiàn)和平面所成角的值 解析 如圖D36 連接AC交BD于點(diǎn)O 連接C1O 過(guò)點(diǎn)C作CH C1O于點(diǎn)H 圖D36 互動(dòng)探究 3 2013年大綱 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于 難點(diǎn)突破 立體幾何中的探究性問(wèn)題 例題 已知四棱錐P ABCD的直觀(guān)圖及三視圖如圖8 5 7 1 求四棱錐P ABCD的體積 2 若點(diǎn)E是側(cè)棱PC的中點(diǎn) 求證 PA 平面BDE 3 若點(diǎn)E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn) 是否無(wú)論點(diǎn)E在什么位置 都有BD AE 并證明你的結(jié)論 圖8 5 7 思維點(diǎn)撥 1 由直觀(guān)圖三視圖確定棱錐的底面和高 再求 體積 2 欲證PA 平面BDE 需找一個(gè)經(jīng)過(guò)PA與平面BDE相交的平面 結(jié)合E為PC的中點(diǎn) AC與BD的交點(diǎn)為AC的中點(diǎn) 故取平面PAC 3 無(wú)論點(diǎn)E在PC上的什么位置 都有BD AE 的含 義是BD 平面PAC 2 證明 如圖8 5 8 連接AC 交BD于點(diǎn)F 則F為AC 的中點(diǎn) 圖8 5 8 又 E為PC的中點(diǎn) PA EF 又PA 平面BDE EF 平面BDE PA 平面BDE 3 解 無(wú)論點(diǎn)E在什么位置 都有BD AE 證明如下 四邊形ABCD是正方形 BD AC PC 底面ABCD 且BD 平面ABCD BD PC 又AC PC C BD 平面PAC 無(wú)論點(diǎn)E在PC上什么位置 都有AE 平面PAC 無(wú)論點(diǎn)E在PC上什么位置 都有BD AE