2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修1 -1.doc

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3.3.1　函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．(重點(diǎn))2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和其他函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(重點(diǎn))3.能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系 定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x) f′(x)的正負(fù) f(x)的單調(diào)性 f′(x)>0 單調(diào)遞增 f′(x)<0 單調(diào)遞減 思考：若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)>0這個(gè)說(shuō)法正確嗎？ [提示]　不正確，應(yīng)該是f′(x)≥0. 2．函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上 導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值 函數(shù)值變化 函數(shù)的圖象 越大 快 比較“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比較“平緩”(向上或向下) [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增． (　　) (2)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”． (　　) (3)函數(shù)值在某個(gè)區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大． (　　) (4)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)>0是f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增的充要條件． (　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．函數(shù)y＝x3＋x的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．(0，＋∞)　　　　 B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) D　[y′＝3x2＋1>0，故選D.] 3．若在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)>0，且f(a)≥0，則在(a，b)內(nèi)有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792146】 A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)＝0 D．不能確定 A　[由f′(x)>0知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，且f(a)≥0，故f(x)>0.] [合 作 探 究攻 重 難] 函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 　(1)函數(shù)f(x)＝3x2－2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_________． (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－－aln x(a∈R)，討論f(x)的單調(diào)性． [思路探究]　(1)求f′(x)?解不等式f′(x)<0 (2)求f′(x)?根據(jù)a的取值判斷f′(x)的正負(fù)號(hào)． [解析]　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． f′(x)＝6x－＝ 令f′(x)<0，即<0，解得－0，故00，g(x)＝0的兩根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ③當(dāng)a>2時(shí)，Δ>0，g(x)＝0的兩根為 x1＝，x2＝. 當(dāng)00；當(dāng)x1x2時(shí)，f′(x)>0. 故f(x)分別在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． [規(guī)律方法]　 求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域； (2)求導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為增函數(shù)； (4)解不等式f′(x)<0，函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為減函數(shù)． [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)函數(shù)y＝x3－x2－x的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A.和(1，＋∞) B. C.∪(1，＋∞) D. A　[y′＝3x2－2x－1，令y′>0，得x<－或x>1，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1，＋∞)，故選A. ] (2)討論函數(shù)f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0)的單調(diào)性． [解]　函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝x＋. ①當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＝x＋＞0恒成立，這時(shí)函數(shù)只有單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)； ②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′(x)＝x＋＞0，得x＞；由f′(x)＝x＋＜0，得0＜x＜，所以當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)． 綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a＜0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)． 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系 　(1)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若y＝f′(x)的圖象如圖331所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(　　) 圖331 (2)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖332所示，則函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是圖中的 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792147】 圖332 [解析]　(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界點(diǎn)判斷原函數(shù)在此分界點(diǎn)兩側(cè)的圖象的上升和下降趨勢(shì)．由已知可得x的取值范圍和f′(x)的正、負(fù)，f(x)的增減變化情況如下表所示： x (－∞，0) (0,2) (2，＋∞) f′(x) ＋ － ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ 由表可知f(x)在(－∞，0)內(nèi)遞增，在(0,2)內(nèi)遞減，在(2，＋∞)內(nèi)遞增，滿足條件的只有D，故選D. (2)由函數(shù)y＝f(x)的圖象的增減變化趨勢(shì)判斷函數(shù)y＝f′(x)的正、負(fù)情況如下表： x (－1，b) (b，a) (a,1) f(x) ↘ ↗ ↘ f′(x) － ＋ － 由表可知函數(shù)y＝f′(x)的圖象，當(dāng)x∈(－1，b)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸下方；當(dāng)x∈(b，a)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上方；當(dāng)x∈(a,1)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸下方．故選C. [答案]　(1)D　(2)C [規(guī)律方法]　(1)研究函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間對(duì)應(yīng)關(guān)系的注意點(diǎn) 研究一個(gè)函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時(shí)，注意抓住各自的關(guān)鍵要素，對(duì)于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對(duì)于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致． (2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系 函數(shù)值增加得越來(lái)越快 函數(shù)值增加得越來(lái)越慢 f′(x)>0且越來(lái)越大 f′(x)>0且越來(lái)越小 函數(shù)值減少得越來(lái)越快 函數(shù)值減少得越來(lái)越慢 f′(x)<0且越來(lái)越小絕對(duì)值越來(lái)越大 f′(x)<0且越來(lái)越大絕對(duì)值越來(lái)越小 提醒：函數(shù)圖象變化得越快，f′(x)的絕對(duì)值越大，不是f′(x)的值越大． [跟蹤訓(xùn)練] 2．(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如圖333所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)可能為(　　) 圖333 D　[由函數(shù)的圖象知：當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)應(yīng)始終為正；當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)先增后減再增，導(dǎo)數(shù)應(yīng)先正后負(fù)再正，對(duì)照選項(xiàng)，只有D正確．] (2)函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖334，記y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝f′(x)，則不等式f′(x)<0的解集為_(kāi)_________． 圖334 ∪(2,3)　[根據(jù)導(dǎo)數(shù)和圖象單調(diào)性的關(guān)系知當(dāng)x∈∪(2,3)時(shí)f′(x)<0.] 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 [探究問(wèn)題] 1．在區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)＞0，則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，反之也成立嗎？ 提示：不一定成立．比如y＝x3在R上為增函數(shù)，但其在x＝0處的導(dǎo)數(shù)等于零．也就是說(shuō)f′(x)＞0是y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間上遞增的充分條件． 2．一般地，在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？ 提示： 函數(shù)的單調(diào)性 導(dǎo)數(shù) 單調(diào)遞增 f′(x)≥0且f′(x)不恒為0 單調(diào)遞減 f′(x)≤0且f′(x)不恒為0 常函數(shù) f′(x)＝0 　已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1， (1)若f(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍； (2)若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1)，求a的值． [思路探究]　(1)轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，求a的范圍； (2)由f′(x)＜0，求單調(diào)減區(qū)間，對(duì)比已知，求a的值． [解]　(1)因?yàn)閒′(x)＝3x2－a，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)， 所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3. (2)f′(x)＝3x2－a. ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0，無(wú)減區(qū)間，不滿足條件． ②當(dāng)a＞0時(shí)，令3x2－a＝0，得x＝； 當(dāng)－＜x＜時(shí)，f′(x)＜0. 因此f(x)在上為減函數(shù)． 所以＝1，即a＝3. [規(guī)律方法]　1.利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問(wèn)題的兩個(gè)基本思路 (1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意． (2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時(shí)f(x)是否滿足題意． 2．恒成立問(wèn)題的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max. (2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min. [跟蹤訓(xùn)練] 3．(1)若函數(shù)f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792148】 [1，＋∞)　[由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k≥，而0<<1，所以k≥1. 即k的取值范圍為[1，＋∞)．] (2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2aln x. ①試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間 ②若函數(shù)g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]?、賔′(x)＝2x＋＝，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． Ⅰ.當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0， f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)； Ⅱ.當(dāng)a<0時(shí)， f′(x)＝， 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (0，) ，＋∞ f′(x) － 0 ＋ f(x) 遞減 遞增 由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)； 單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞)． ②由g(x)＝＋x2＋2aln x， 得g′(x)＝－＋2x＋， 由已知函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調(diào)減函數(shù)， 則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立， 即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立， 即a≤－x2在[1,2]上恒成立， 令h(x)＝－x2， 則h′(x)＝－－2x＝－<0， x∈[1,2]， 所以h(x)在[1,2]上為減函數(shù)， h(x)min＝h(2)＝－， 所以a≤－. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是(　　) A．y＝sin x　　　　　　　 B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln x B　[對(duì)于y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)>0， ∴y＝xex在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．] 2．在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如圖335所示，則關(guān)于x的不等式xf′(x)<0的解集為(　　) 圖335 A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) A　[當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)00，此時(shí)x<－1， 因此xf′(x)<0的解集為(－∞，－1)∪(0,1)．] 3．函數(shù)f(x)＝(x－1)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是________． (0，＋∞)　[f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex， 令f′(x)＞0，解得x＞0，故f(x)的增區(qū)間為(0，＋∞)．] 4．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍是________． 　[∵f′(x)＝3x2＋2x＋m，由題意知f(x)在R上單調(diào)遞增， ∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.] 5．設(shè)f(x)＝，其中a為正實(shí)數(shù)．若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792149】 [解]　對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝ex， 若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)， 則f′(x)在R上不變號(hào)，結(jié)合a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立， 因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并結(jié)合a＞0，知0＜a≤1. 即a的取值范圍為(0,1]．