《2018年秋高中數學 第三章 導數及其應用 3.3 導數在研究函數中的應用 3.3.1 函數的單調性與導數學案 新人教A版選修1 -1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018年秋高中數學 第三章 導數及其應用 3.3 導數在研究函數中的應用 3.3.1 函數的單調性與導數學案 新人教A版選修1 -1.doc（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
3.3.1 函數的單調性與導數
學習目標：1.理解函數的單調性與導數的關系．(重點)2.能利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區(qū)間和其他函數的單調區(qū)間．(重點)3.能根據函數的單調性求參數．(難點)
[自 主 預 習探 新 知]
1．函數的單調性與其導數正負的關系
定義在區(qū)間(a，b)內的函數y＝f(x)
f′(x)的正負
f(x)的單調性
f′(x)>0
單調遞增
f′(x)<0
單調遞減
思考：若函數f(x)在區(qū)間(a，b)內單調遞增，則f′(x)>0這個說法正確嗎？
[提示] 不正確，應該是f′(x)≥0.
2．函數圖象的變化趨勢與導數值大小的關系
一般地，設函數y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上
導數的絕對值
函數值變化
函數的圖象
越大
快
比較“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比較“平緩”(向上或向下)
[基礎自測]
1．思考辨析
(1)函數f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數f(x)在定義域上單調遞增．
( )
(2)函數在某一點的導數越大，函數在該點處的切線越“陡峭”． ( )
(3)函數值在某個區(qū)間上變化越快，函數在這個區(qū)間上導數的絕對值越大．
( )
(4)在區(qū)間(a，b)內，f′(x)>0是f(x)在此區(qū)間上單調遞增的充要條件．
( )
[答案] (1) (2) (3)√ (4)
2．函數y＝x3＋x的單調遞增區(qū)間為( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
D [y′＝3x2＋1>0，故選D.]
3．若在區(qū)間(a，b)內，f′(x)>0，且f(a)≥0，則在(a，b)內有( )
【導學號：97792146】
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．不能確定
A [由f′(x)>0知函數f(x)在區(qū)間(a，b)內是增函數，且f(a)≥0，故f(x)>0.]
[合 作 探 究攻 重 難]
函數的單調性與單調區(qū)間
(1)函數f(x)＝3x2－2ln x的單調遞減區(qū)間為__________．
(2)設函數f(x)＝x－－aln x(a∈R)，討論f(x)的單調性．
[思路探究] (1)求f′(x)?解不等式f′(x)<0
(2)求f′(x)?根據a的取值判斷f′(x)的正負號．
[解析] (1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．
f′(x)＝6x－＝
令f′(x)<0，即<0，解得－
0，故00，g(x)＝0的兩根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
③當a>2時，Δ>0，g(x)＝0的兩根為
x1＝，x2＝.
當00；當x1x2時，f′(x)>0.
故f(x)分別在，上單調遞增，在上單調遞減．
[規(guī)律方法]
求函數y＝f(x)的單調區(qū)間的步驟：
(1)確定函數y＝f(x)的定義域；
(2)求導數y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，函數在定義域內的解集上為增函數；
(4)解不等式f′(x)<0，函數在定義域內的解集上為減函數．
[跟蹤訓練]
1．(1)函數y＝x3－x2－x的單調遞增區(qū)間為( )
A.和(1，＋∞)
B.
C.∪(1，＋∞)
D.
A [y′＝3x2－2x－1，令y′>0，得x<－或x>1，所以函數的單調遞增區(qū)間為和(1，＋∞)，故選A. ]
(2)討論函數f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0)的單調性．
[解] 函數定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝x＋.
①當a＞0時，f′(x)＝x＋＞0恒成立，這時函數只有單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)；
②當a＜0時，由f′(x)＝x＋＞0，得x＞；由f′(x)＝x＋＜0，得0＜x＜，所以當a＜0時，函數的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是(0，)．
綜上，當a＞0時，單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調遞減區(qū)間；當a＜0時，單調遞增區(qū)間為(，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(0，)．
導數與函數圖象的關系
(1)f′(x)是函數y＝f(x)的導函數，若y＝f′(x)的圖象如圖331所示，則函數y＝f(x)的圖象可能是( )
圖331
(2)已知函數y＝f(x)的圖象如圖332所示，則函數y＝f′(x)的圖象可能是圖中的 ( )
【導學號：97792147】
圖332
[解析] (1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界點判斷原函數在此分界點兩側的圖象的上升和下降趨勢．由已知可得x的取值范圍和f′(x)的正、負，f(x)的增減變化情況如下表所示：
x
(－∞，0)
(0,2)
(2，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
↗
↘
↗
由表可知f(x)在(－∞，0)內遞增，在(0,2)內遞減，在(2，＋∞)內遞增，滿足條件的只有D，故選D.
(2)由函數y＝f(x)的圖象的增減變化趨勢判斷函數y＝f′(x)的正、負情況如下表：
x
(－1，b)
(b，a)
(a,1)
f(x)
↘
↗
↘
f′(x)
－
＋
－
由表可知函數y＝f′(x)的圖象，當x∈(－1，b)時，函數圖象在x軸下方；當x∈(b，a)時，函數圖象在x軸上方；當x∈(a,1)時，函數圖象在x軸下方．故選C.
[答案] (1)D (2)C
[規(guī)律方法] (1)研究函數與導數圖象間對應關系的注意點
研究一個函數的圖象與其導函數圖象之間的關系時，注意抓住各自的關鍵要素，對于原函數，要注意其圖象在哪個區(qū)間內單調遞增，在哪個區(qū)間內單調遞減；而對于導函數，則應注意其函數值在哪個區(qū)間內大于零，在哪個區(qū)間內小于零，并分析這些區(qū)間與原函數的單調區(qū)間是否一致．
(2)導數與函數圖象的關系
函數值增加得越來越快
函數值增加得越來越慢
f′(x)>0且越來越大
f′(x)>0且越來越小
函數值減少得越來越快
函數值減少得越來越慢
f′(x)<0且越來越小絕對值越來越大
f′(x)<0且越來越大絕對值越來越小
提醒：函數圖象變化得越快，f′(x)的絕對值越大，不是f′(x)的值越大．
[跟蹤訓練]
2．(1)設函數f(x)在定義域內可導，y＝f(x)的圖象如圖333所示，則導函數y＝f′(x)可能為( )
圖333
D [由函數的圖象知：當x＜0時，函數單調遞增，導數應始終為正；當x＞0時，函數先增后減再增，導數應先正后負再正，對照選項，只有D正確．]
(2)函數y＝f(x)在定義域內可導，其圖象如圖334，記y＝f(x)的導函數為y＝f′(x)，則不等式f′(x)<0的解集為__________．
圖334
∪(2,3) [根據導數和圖象單調性的關系知當x∈∪(2,3)時f′(x)<0.]
已知函數的單調性求參數的取值范圍
[探究問題]
1．在區(qū)間(a，b)內，若f′(x)＞0，則f(x)在此區(qū)間上單調遞增，反之也成立嗎？
提示：不一定成立．比如y＝x3在R上為增函數，但其在x＝0處的導數等于零．也就是說f′(x)＞0是y＝f(x)在某個區(qū)間上遞增的充分條件．
2．一般地，在區(qū)間(a，b)內函數的單調性與導數有什么關系？
提示：
函數的單調性
導數
單調遞增
f′(x)≥0且f′(x)不恒為0
單調遞減
f′(x)≤0且f′(x)不恒為0
常函數
f′(x)＝0
已知函數f(x)＝x3－ax－1，
(1)若f(x)在區(qū)間(1，＋∞)內為增函數，求a的取值范圍；
(2)若f(x)的單調遞減區(qū)間為(－1,1)，求a的值．
[思路探究] (1)轉化為f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，求a的范圍；
(2)由f′(x)＜0，求單調減區(qū)間，對比已知，求a的值．
[解] (1)因為f′(x)＝3x2－a，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.
(2)f′(x)＝3x2－a.
①當a≤0時，f′(x)≥0，無減區(qū)間，不滿足條件．
②當a＞0時，令3x2－a＝0，得x＝；
當－＜x＜時，f′(x)＜0.
因此f(x)在上為減函數．
所以＝1，即a＝3.
[規(guī)律方法] 1.利用導數法解決取值范圍問題的兩個基本思路
(1)將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取“＝”時是否滿足題意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數的取值范圍后，再驗證參數取“＝”時f(x)是否滿足題意．
2．恒成立問題的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
[跟蹤訓練]
3．(1)若函數f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞增，則k的取值范圍是__________.
【導學號：97792148】
[1，＋∞) [由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范圍為[1，＋∞)．]
(2)已知函數f(x)＝x2＋2aln x.
①試討論函數f(x)的單調區(qū)間
②若函數g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是減函數，求實數a的取值范圍．
[解]?、賔′(x)＝2x＋＝，函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．
Ⅰ.當a≥0時，f′(x)>0，
f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)；
Ⅱ.當a<0時，
f′(x)＝，
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(0，)
，＋∞
f′(x)
－
0
＋
f(x)
遞減
遞增
由上表可知，函數f(x)的單調遞減區(qū)間是(0，)；
單調遞增區(qū)間是(，＋∞)．
②由g(x)＝＋x2＋2aln x，
得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函數g(x)為[1,2]上的單調減函數，
則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即a≤－x2在[1,2]上恒成立，
令h(x)＝－x2，
則h′(x)＝－－2x＝－<0，
x∈[1,2]，
所以h(x)在[1,2]上為減函數，
h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－.
故實數a的取值范圍為.
[當 堂 達 標固 雙 基]
1．下列函數中，在(0，＋∞)內為增函數的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln x
B [對于y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)內為增函數．]
2．在R上可導的函數f(x)的圖象如圖335所示，則關于x的不等式xf′(x)<0的解集為( )
圖335
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
A [當x>0時，f′(x)<0，此時00，此時x<－1，
因此xf′(x)<0的解集為(－∞，－1)∪(0,1)．]
3．函數f(x)＝(x－1)ex的單調遞增區(qū)間是________．
(0，＋∞) [f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex，
令f′(x)＞0，解得x＞0，故f(x)的增區(qū)間為(0，＋∞)．]
4．若函數f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調增函數，則m的取值范圍是________．
[∵f′(x)＝3x2＋2x＋m，由題意知f(x)在R上單調遞增，
∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.]
5．設f(x)＝，其中a為正實數．若f(x)為R上的單調函數，求a的取值范圍.
【導學號：97792149】
[解] 對f(x)求導得f′(x)＝ex，
若f(x)為R上的單調函數，
則f′(x)在R上不變號，結合a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，
因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，
由此并結合a＞0，知0＜a≤1.
即a的取值范圍為(0,1]．
2018年秋高中數學 第三章 導數及其應用 3.3 導數在研究函數中的應用 3.3.1 函數的單調性與導數學案 新人教A版選修1 -1.doc
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