高考數(shù)學一輪復習 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及向量的坐標表示課件 文 北師大版.ppt

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5.2 平面向量基本定理及向量 的坐標表示,考綱要求:1.了解平面向量的基本定理及其意義. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示. 3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算. 4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.,1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量a,存在唯一一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,把不共線的向量e1,e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基底. 2.平面向量的坐標表示 (1)向量的坐標表示:在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,對于平面內的任意向量a,有且只有一對實數(shù)x,y使得a=xi+yj,則把實數(shù)對(x,y)叫作向量a的坐標,a=(x,y)叫作向量a的坐標表示. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則 =(x2-x1,y2-y1).,,,,,,3.平面向量線性運算的坐標表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2); (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=(x1-x2,y1-y2); (3)若a=(x,y),λ∈R,則λa=(λx,λy). 4.向量平行的坐標表示 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.,,,,,2,3,4,1,5,1.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“×”. (1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底. ( ) (2)平面向量不論經過怎樣的平移變換之后其坐標不變. ( ) (3)若a,b不共線,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2. ( ) (3) 在同一組基底下,同一向量的表示形式是唯一的. ( ) (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件可表示成 ( ),×,√,√,√,×,2,3,4,1,5,2.(2015課標全國Ⅰ,文2)已知點A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),則向量 =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4),答案,解析,2,3,4,1,5,3.(2015四川,文2)設向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實數(shù)x=( ) A.2 B.3 C.4 D.6,答案,解析,2,3,4,1,5,4.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,λ),若A,B,C三點共線,則λ= .,答案,解析,2,3,4,1,5,5.(2015江蘇,6)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),則m-n的值為 .,答案,解析,2,3,4,1,5,自測點評 1.能作為基底的兩個向量必須是不共線的. 2.向量的坐標與點的坐標不同,向量平移后,其起點和終點的坐標都變了,但由于向量的坐標均為終點坐標減去起點坐標,故平移后坐標不變. 3. 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成 ,因為x2,y2有可能等于0,應表示為x1y2-x2y1=0.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1平面向量基本定理的應用 例1(1)如果e1,e2是平面α內一組不共線的向量,那么下列四組向量中,不能作為平面內所有向量的一組基底的是( ) A.e1與e1+e2 B.e1-2e2與e1+2e2 C.e1+e2與e1-e2 D.e1+3e2與2e1+6e2,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F.若 =( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(3)設e1,e2是平面內一組基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基向量a,b的線性組合,即e1+e2= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:用平面向量基本定理解決問題的一般思路是什么? 解題心得:1.應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算. 2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,然后通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關向量用這一組基底表示出來.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練1 (1)如圖所示,在四邊形ABCD中,AC和BD相交于點O,設 = (用向量a和b表示).,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2平面向量的坐標運算 例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設 ,且 (1)求3a+b-3c; (2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n; (3)求M,N的坐標及向量 的坐標.,答案,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:利用向量的坐標運算解決問題的一般思路是什么? 解題心得:向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的.解題過程中,常利用向量相等則其坐標相同這一原則,通過列方程(組)來進行求解.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練2 (1)在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,若 =( ) A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)(2015昆明一中摸底)已知點M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 =-3a,則點N的坐標為( ) A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3平面向量共線的坐標表示 例3平面內給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),請解答下列問題: (1)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n的值; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求實數(shù)k的值; (3)若d滿足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= ,求d.,答案,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:向量共線有哪幾種表示形式?兩向量共線的充要條件有哪些作用? 解題心得:1.向量共線的兩種表示形式 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b?a=λb(b≠0);②a∥b?x1y2-x2y1=0.至于使用哪種形式,應視題目的具體條件而定,一般情況涉及坐標的應用②. 2.兩向量共線的充要條件的作用 判斷兩向量是否共線(平行),可解決三點共線的問題;另外,利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組),求出未知數(shù)的值.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練3 (1)(2015四川攀枝花模擬)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為實數(shù),(a+λb)∥c,則λ= ( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)(2015鄭州模擬)已知向量 ,且A,B,C三點共線,則k的值是( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,對基底的選取不唯一,平面內任意向量a都可被這個平面的一組基底e1,e2線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的. 2.平面向量基本定理的本質是運用向量加法的平行四邊形法則,將向量進行分解. 3.向量的坐標表示的本質是向量的代數(shù)表示,其中坐標運算法則是運算的關鍵,通過坐標運算可將一些幾何問題轉化為代數(shù)問題處理,從而用向量可以解決平面解析幾何中的許多相關問題. 4.在向量的運算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結合思想的運用.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,5.三個結論——向量中必須掌握的三個結論: (1)若a與b不共線,λa+μb=0,則λ=μ=0; (2)已知 (λ,μ為常數(shù)),則A,B,C三點共線的充要條件是λ+μ=1. (3)平面向量的基底中一定不含零向量.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系,向量的終點坐標減去起點坐標就是向量坐標,當向量的起點是原點時,其終點坐標就是向量坐標. 2.若a,b為非零向量,當a∥b時,a,b的方向相同或相反,求解時容易忽視其中一種情形而導致出錯.,