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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章不等式、推理與證明第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法（理）練習(xí).doc

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文檔編號：2452380

上傳時(shí)間：2019-11-25

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《2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章不等式、推理與證明第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法（理）練習(xí).doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章不等式、推理與證明第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法（理）練習(xí).doc（5頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章不等式、推理與證明第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法（理）練習(xí) 一、選擇題(65分＝30分) 1．(xx懷化模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是(　　) A．假設(shè)n＝k(k∈N*)，證明n＝k＋1命題成立 B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立 C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N*)，證明n＝k＋1命題成立 D．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇數(shù)，只有D中k為奇數(shù)，k＋2為奇數(shù)．答案：D 2．(xx鶴壁模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋＋＋…＋1)”時(shí)，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 解析：增加的項(xiàng)數(shù)為(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k. 答案：C 3．(xx巢湖聯(lián)考)對于不等式1)，當(dāng)n＝2時(shí)，左邊式子等于(　　) A．1 B．1＋ C．1＋＋ D．1＋＋＋解析：當(dāng)n＝2時(shí)，左邊的式子為 1＋＋＋＝1＋＋＋. 答案：D 6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an＝(　　) A. B. C. D. 解析：由Sn＝n2an，知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1 ∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an ∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝an(n≥2) 當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2 ∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝. 由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝. 答案：B 二、填空題(35分＝15分) 7．在數(shù)列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通過計(jì)算a2，a3，a4猜想an的表達(dá)式是________．解析：∵a1＝且Sn＝n(2n－1)an， ∴a1＋a2＝2(22－1)a2，∴a2＝. 又∵a1＋a2＋a3＝3(23－1)a3， ∴a3＝. 又a1＋a2＋a3＋a4＝4(24－1)a4， a4＝. 猜想：an＝. 答案：an＝ 8．(xx紹興月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＜2(n∈N，且n＞1)，第一步要證的不等式是_____________________________．解析：n＝2時(shí)，左邊＝1＋＋＝1＋＋，右邊＝2. 答案：1＋＋＜2 9．(xx東莞調(diào)研)已知整數(shù)對的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第60個(gè)數(shù)對是________．解析：本題規(guī)律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；一個(gè)整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n－1)對．設(shè)1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60， ∴n＝11時(shí)還多5對數(shù)，且這5對數(shù)和都為12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60個(gè)數(shù)對為(5,7)．答案：(5,7) 三、解答題(共37分) 10．(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝(－1)0＝1， ∴原等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，等式成立，即有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1. 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，則有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k[－k＋2(k＋1)] ＝(－1)k， ∴n＝k＋1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)得對任意n∈N*有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1. 11．(12分)(xx東北六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1,2,3，…. (1)求a1，a2； (2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明．解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝. (2)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， Sn2－2Sn＋1－anSn＝0. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.① 由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝. 由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3…. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論． (ⅰ)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立． (ⅱ)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．綜上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立． 12．(13分)(xx溫州模擬)已知f(x)＝，n∈N*，試比較f()與的大小，并且說明理由．解析：f()＝＝＝1－，而＝1－， ∴f()與的大小等價(jià)于2n與n2的大?。? 當(dāng)n＝1時(shí)，21>12；當(dāng)n＝2時(shí)，22＝22；當(dāng)n＝3時(shí)，23<32；當(dāng)n＝4時(shí)，24＝42；當(dāng)n＝5時(shí)，25>52. 猜想當(dāng)n≥5時(shí)，2n>n2. 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝5時(shí)，由上可知不等式成立； ②假設(shè)n＝k(k≥5，k∈N*)時(shí)，不等式成立，即2k>k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＝22k>2k2，又∵2k2－(k＋1)2＝(k－1)2－2>0(∵k≥5)，即2k＋1>(k＋1)2， ∴n＝k＋1時(shí)，不等式成立．綜合①②對n≥5，n∈N*不等式2n>n2成立． ∴當(dāng)n＝1或n≥5時(shí)，f()>；當(dāng)n＝3時(shí)，f()<；當(dāng)n＝2或4時(shí)，f()＝.

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