2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3變量間的相關(guān)關(guān)系導(dǎo)學(xué)案 新人教A版必修3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3變量間的相關(guān)關(guān)系導(dǎo)學(xué)案 新人教A版必修3 學(xué)習(xí)目標(biāo) （1）通過具體示例引導(dǎo)學(xué)生考察變量之間的關(guān)系，在討論的過程中認(rèn)識現(xiàn)實世界中存在著不能用函數(shù)模型描述的變量關(guān)系,從而體會研究變量之間的相關(guān)關(guān)系的重要性. (2) 通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.會作散點圖,并對變量間的正相關(guān)或負(fù)相關(guān)關(guān)系作出直觀判斷. (3) 在解決統(tǒng)計問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計總體的思想，理解統(tǒng)計的作用. 重點難點 重點：利用散點圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系. 難點：理解變量間的相關(guān)關(guān)系. 學(xué)法指導(dǎo) 在解決統(tǒng)計問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法。 問題探究 復(fù)習(xí)回顧： 函數(shù)的定義 二、情景設(shè)置： 客觀事物是相互聯(lián)系的,過去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系，但實際上更多存在的是一種非因果關(guān)系.在中學(xué)校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著某種關(guān)系，我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？ 二、探究新知： 知識探究（一）：變量之間的相關(guān)關(guān)系 思考1：考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系： （1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費； （2）糧食產(chǎn)量與施肥量； （3）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡. 這些問題中兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？ 思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關(guān)系的成語嗎？ 思考3：上述兩個變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，稱之為相關(guān)關(guān)系，那么相關(guān)關(guān)系的含義如何？ 思考4：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點： 總結(jié)：對相關(guān)關(guān)系的理解應(yīng)當(dāng)注意以下幾點： 其一是相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同.因為函數(shù)關(guān)系是一種非常確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系.而函數(shù)關(guān)系可以看成是兩個非隨機(jī)變量之間的關(guān)系.因此，不能把相關(guān)關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系. 其二是函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.例如，有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系.然而，學(xué)會新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個因素——年齡.當(dāng)兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高而且由于長大腳也變大. 其三是在現(xiàn)實生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系，如何判斷和描述相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計學(xué)發(fā)揮著非常重要的作用.變量之間的相關(guān)關(guān)系帶有不確定性，這需要通過收集大量的數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，才能作出科學(xué)的判斷.（對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析.） 知識探究（二）：散點圖 【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：……課本85頁的探究。 思考1：描述一下散點圖的含義。 思考2：從上面問題的散點圖中說明人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系？ 思考3：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的定義是什么？它們各有什么特征？ （1）正相關(guān)：散點圖中的點散布在從 到 的區(qū)域。 （2）負(fù)相關(guān)：散點圖中的點散布在從 到 的區(qū)域。 思考4：你能列舉一些生活中的變量成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的實例嗎? 三、典例分析: 例1 在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？ ①正方形邊長與面積之間的關(guān)系； ②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系； ③人的身高與年齡之間的關(guān)系； ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系. 例2 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋的面積的數(shù)據(jù)： 房屋面積 （平方米） 61 70 115 110 80 135 105 銷售價格（萬元） 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22 畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖，并指出銷售價格與房屋面積這兩個變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān). 例3、某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表： 根據(jù)上述數(shù)據(jù),氣溫與熱茶銷售量之間的有怎樣的關(guān)系? 氣溫/C 26 18 13 10 4 杯數(shù) 20 24 34 38 50 64 知識探究（三）：線性回歸 一、回歸直線方程的推導(dǎo) 思考1：人體脂肪含量和年齡關(guān)系散點圖中點的分布從整體上看有何特點？ 思考2：如何描述這些特點？ （1）回歸直線：觀察散點圖的特征，如果各點大致分布在 附近，就稱兩個變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。 （2）回歸方程： 對應(yīng)的方程叫做回歸方程。 思考3：回歸直線方程的推導(dǎo)：我們該怎樣來求出這個回歸方程？請同學(xué)們展開討論，能得出哪些具體的方案？ 方案1、先畫出一條直線，測量出各點與它的距離，再移動直線，到達(dá)一個使距離的和最小時，測出它的斜率和截距，得回歸方程。 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年齡 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 方案2、在圖中選兩點作直線，使直線兩側(cè) 的點的個數(shù)基本相同。 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年齡 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 方案3、如果多取幾對點，確定多條直線，再求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸 直線的斜率和截距。而得回歸方程。20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年齡 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 我們還可以找到更多的方法，但這些方法都可行嗎? 科學(xué)嗎？準(zhǔn)確嗎？怎樣的方法是最好的？ 思考4：如何求解最有代表性的直線方程？ ①假設(shè)已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù) ， ，┉ 。 ②設(shè)所求回歸方程為 其中，是待定參數(shù)。 ③由最小二乘法得 其中：是回歸方程的 ，是 。 注： 1、各點到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法。 2、我們把由一個變量的變化去推測另一個變量的方法稱為回歸方法。 二、求線性回歸方程 例2：觀察兩相關(guān)變量得如下表： x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 求兩變量間的回歸方程 解：列表 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 9 14 15 12 5 5 15 12 14 9 計算，得 ∴所求回歸直線方程為 y=x 小結(jié)：求線性回歸直線方程的步驟： 第一步：畫出散點圖，判斷是否具有相關(guān)關(guān)系 第二步：列表； 第三步：計算 第四步：代入公式計算b,a的值； 第五步：寫出直線方程。 三、利用線性回歸方程對總體進(jìn)行估計 例：有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表： 溫度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫出散點圖； (2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律； (3)求回歸方程； (4)如果某天的氣溫是C,預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)。 解: (1)散點圖 溫度 熱飲杯數(shù) (2)氣溫與熱飲杯數(shù)成負(fù)相關(guān),即氣溫越高， 賣出去的熱飲杯數(shù)越少。 (3)從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線附近。 Y=-2.352x+147.767 ^ 通過列表、計算、代入公式計算b,a的值、寫出直線方程。 Y=-2.352x+147.767 （4）當(dāng)x=2時，y=143.063,因此，這天大約可以賣出143杯熱飲。 目標(biāo)檢測 1、下列兩個變量之間的關(guān)系哪個不是函數(shù)關(guān)系（　） A．角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積 C．正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高 2、 有關(guān)法律規(guī)定,香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.吸煙和健康之間有因果關(guān)系嗎？每一個吸煙者的健康問題都是因為吸煙引起的嗎？你認(rèn)為“健康問題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙“的說法對嗎？ 3、 地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍.有人經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象,如果村莊附近棲息的天鵝多,那么這個村莊的嬰兒出生率也高；天鵝少的地方嬰兒出生率低.于是,他就得出一個結(jié)論:天鵝能夠帶來孩子.你認(rèn)為這個結(jié)論對嗎？為什么？你能由此解釋一下,社會上流行“烏鴉叫,沒好兆”這樣的迷信說法的原因嗎？ 4、 下表為某地近幾年機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料，請判斷機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，說明理由． 車輛數(shù) 95 110 112 120 129 135 150 180 事故數(shù) 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 5、以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋的面積的數(shù)據(jù)： （1）畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖； （2）求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線； （3）據(jù)（2）的結(jié)果估計當(dāng)房屋面積為時的銷售價格. 6．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)． x 3 4 5 6 y 2．5 3 4 4．5 （1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； （2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程=; （3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ （參考數(shù)值：32．5+43+54+64．5＝66．5）