2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3課后習(xí)題 新人教A版必修4.doc

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3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式 課后篇鞏固探究 A組　基礎(chǔ)鞏固 1.cos π12-sin π12cos π12+sin π12=(　　) A.-32 B.-12 C.12 D.32 解析原式=cos2π12-sin2π12=cosπ6=32, 故選D. 答案D 2.若tan α=3,則sin2αcos2α的值等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析sin2αcos2α=2sinαcosαcos2α=2tan α=23=6. 答案D 3.已知sinπ4-x=35,則cos π2-2x的值為(　　) A.1925 B.1625 C.1425 D.725 解析cosπ2-2x=cos 2π4-x =1-2sin2π4-x=1-2352=725. 答案D 4.若α為銳角,3sin α=tan α=2tan β,則tan 2β等于(　　) A.34 B.43 C.-34 D.-43 解析因為α為銳角,3sin α=tan α,所以cos α=13,則tan α=22,即tan β=2,所以tan 2β=2tanβ1-tan2β=-43. 答案D 5.若sinα+cosαsinα-cosα=12,則tan 2α=(　　) A.-34 B.34 C.-43 D.43 解析等式sinα+cosαsinα-cosα=12左邊分子、分母同時除以cos α(顯然cos α≠0),得tanα+1tanα-1=12,解得tan α=-3, ∴tan 2α=2tanα1-tan2α=34. 答案B 6.已知α∈π2,π,sin α=55,則tan 2α=　　　　　. 解析由α∈π2,π,sin α=55,得cos α=-255,tan α=sinαcosα=-12,tan 2α=2tanα1-tan2α=-43. 答案-43 7.化簡:2sin2α1+cos2αcos2αcos2α=　　　　　. 解析原式=2sin2α2cos2αcos2αcos2α=tan 2α. 答案tan 2α 8.若cos(75+α)=13,則sin(60+2α)=　　　　　. 解析依題意,cos(75+α)=13,則cos(150+2α)=2cos2(α+75)-1=2132-1=-79,sin(60+2α)=-cos(90+60+2α)=-cos(150+2α)=79. 答案79 9.求下列各式的值: (1)2cos2α-12tanπ4-αsin2π4+α; (2)23tan 15+tan215; (3)sin 10sin 30sin 50sin 70. 解(1)原式=cos2α2tanπ4-αcos2π2-π4-α =cos2α2tanπ4-αcos2π4-α =cos2α2sinπ4-αcosπ4-α=cos2αsin2π4-2α =cos2αcos2α=1. (2)原式=3tan 30(1-tan215)+tan215 =333(1-tan215)+tan215=1. (3)(方法一)sin 10sin 30sin 50sin 70 =12cos 20cos 40cos 80=2sin20cos20cos40cos804sin20=sin40cos40cos804sin20=sin80cos808sin20=116sin160sin20=116. (方法二)令x=sin 10sin 50sin 70, y=cos 10cos 50cos 70. 則xy=sin 10cos 10sin 50cos 50sin 70cos 70 =12sin 2012sin 10012sin 140 =18sin 20sin 80sin 40 =18cos 10cos 50cos 70=18y. ∵y≠0,∴x=18. 從而有sin 10sin 30sin 50sin 70=116. 10.已知sin α+cos α=355,α∈0,π4,sinβ-π4=35,β∈π4,π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值; (2)求cos(α+2β)的值. 解(1)由題意得(sin α+cos α)2=95,即1+sin 2α=95,∴sin 2α=45,又易知2α∈0,π2, ∴cos 2α=1-sin22α=35,∴tan 2α=sin2αcos2α=43. (2)∵β∈π4,π2,β-π4∈0,π4,sinβ-π4=35, ∴cosβ-π4=45, ∴sin 2β-π4=2sinβ-π4cosβ-π4=2425. 又sin 2β-π4=-cos 2β,∴cos 2β=-2425. 又易知2β∈π2,π,∴sin 2β=725. 又cos2α=1+cos2α2=45,∴cos α=255,∴sin α=55, ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=255-2425-55725=-11525. B組　能力提升 1.4sin 80-cos10sin10=(　　) A.3 B.-3 C.2 D.22-3 解析4sin 80-cos10sin10=4cos10sin10-cos10sin10 =2sin20-cos10sin10=2sin(30-10)-cos10sin10 =2(sin30cos10-cos30sin10)-cos10sin10=-3. 答案B 2.若α∈0,π2,且cos2α+cosπ2+2α=310,則tan α= (　　) A.12 B.14 C.13 D.13或-7 解析cos2α+cosπ2+2α=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=cos2α-2sinαcosαsin2α+cos2α=1-2tanαtan2α+1=310,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=13或tan α=-7.又α∈0,π2,所以tan α=13,故選C. 答案C 3.若tan α=12,則tan2α+π4=　　　　　. 解析∵tan α=12,∴tan 2α=2tanα1-tan2α=2121-14=43. ∴tan2α+π4=tan2α+tanπ41-tan2αtanπ4=43+11-43=-7. 答案-7 4.已知角α,β為銳角,且1-cos 2α=sin αcos α,tan(β-α)=13,則β=　　　　　. 解析由1-cos 2α=sin αcos α,得1-(1-2sin2α) =sin αcos α, 即2sin2α=sin αcos α.∵α為銳角,∴sin α≠0, ∴2sin α=cos α,即tan α=12. (方法一)由tan(β-α)=tanβ-tanα1+tanβtanα=tanβ-121+12tanβ =13,得tan β=1.∵β為銳角,∴β=π4. (方法二)tan β=tan(β-α+α)=tan(β-α)+tanα1-tan(β-α)tanα =13+121-1312=1.∵β為銳角,∴β=π4. 答案π4 5.已知函數(shù)f(x)=4cos4x-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x. (1)求f-11π12的值; (2)當(dāng)x∈0,π4時,求函數(shù)g(x)=12f(x)+sin 2x的最大值和最小值. 解(1)f(x)=(1+cos2x)2-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x =cos22xsinπ4+xcosπ4+x =2cos22xsinπ2+2x=2cos22xcos2x=2cos 2x, 所以f-11π12=2cos-11π6=2cos π6=3. (2)g(x)=cos 2x+sin 2x=2sin2x+π4. 因為x∈0,π4,所以2x+π4∈π4,3π4, 所以當(dāng)x=π8時,g(x)max=2, 當(dāng)x=0時,g(x)min=1. 6.已知函數(shù)f(x)=4tan xsinπ2-xcosx-π3-3. (1)求f(x)的定義域與最小正周期; (2)討論f(x)在區(qū)間-π4,π4上的單調(diào)性. 解(1)f(x)的定義域為xx≠π2+kπ,k∈Z. f(x)=4tan xcos xcosx-π3-3 =4sin xcosx-π3-3 =4sin x12cosx+32sinx-3 =2sin xcos x+23sin2x-3 =sin 2x+3(1-cos 2x)-3 =sin 2x-3cos 2x=2sin2x-π3. 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)令z=2x-π3,函數(shù)y=2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z. 設(shè)A=-π4,π4,B=x-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4.所以,當(dāng)x∈-π4,π4時,f(x)在區(qū)間-π12,π4上單調(diào)遞增,在區(qū)間-π4,-π12上單調(diào)遞減.