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考點規(guī)范練19 三角函數的圖象與性質
一、基礎鞏固
1.函數y=|2sin x|的最小正周期為( )
A.π B.2π C.π2 D.π4
答案A
解析由圖象(圖象略)知T=π.
2.已知直線y=m(0
0)的圖象相鄰的三個交點依次為A(1,m),B(5,m),C(7,m),則ω= ( )
A.π3 B.π4 C.π2 D.π6
答案A
解析由題意,得函數f(x)的相鄰的兩條對稱軸分別為x=1+52=3,x=5+72=6,故函數的周期為2(6-3)=2πω,得ω=π3,故選A.
3.若函數f(x)=3cosωx-π4(1<ω<14)的圖象關于x=π12對稱,則ω等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案B
解析∵f(x)=3cosωx-π4(1<ω<14)的圖象關于x=π12對稱,∴π12ω-π4=kπ,k∈Z,即ω=12k+3.
∵1<ω<14,∴由此求得ω=3,故選B.
4.已知函數f(x)=sinωx+π4(ω>0)的最小正周期為π,則函數f(x)的圖象( )
A.關于直線x=π4對稱 B.關于直線x=π8對稱
C.關于點π4,0對稱 D.關于點π8,0對稱
答案B
解析∵函數f(x)的最小正周期為π,∴2πω=π.
∴ω=2.∴f(x)=sin2x+π4.
∴函數f(x)圖象的對稱軸為2x+π4=kπ+π2,k∈Z,
即x=π8+kπ2,k∈Z.
故函數f(x)的圖象關于直線x=π8對稱,故選B.
5.y=cos(x+1)圖象上相鄰的最高點和最低點之間的距離是( )
A.π2+4 B.π C.2 D.π2+1
答案A
解析因為y=cos(x+1)的周期是2π,最大值為1,最小值為-1,所以y=cos(x+1)圖象上相鄰的最高點和最低點之間的距離是π2+4,故選A.
6.已知曲線f(x)=sin 2x+3cos 2x關于點(x0,0)成中心對稱,若x0∈0,π2,則x0=( )
A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12
答案C
解析由題意可知f(x)=2sin2x+π3,其對稱中心為(x0,0),故2x0+π3=kπ(k∈Z),即x0=-π6+kπ2(k∈Z).
又x0∈0,π2,故k=1,x0=π3,故選C.
7.已知函數y=sin x的定義域為[a,b],值域為-1,12,則b-a的值不可能是( )
A.π3 B.2π3 C.π D.4π3
答案A
解析畫出函數y=sinx的草圖分析,知b-a的取值范圍為2π3,4π3.
8.(2018廣東深圳模擬)已知函數f(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的圖象的一個對稱中心為3π8,0,則函數f(x)的單調遞減區(qū)間是( )
A.2kπ-3π8,2kπ+π8(k∈Z) B.2kπ+π8,2kπ+5π8(k∈Z)
C.kπ-3π8,kπ+π8(k∈Z) D.kπ+π8,kπ+5π8(k∈Z)
答案D
解析由題意知,sin23π8+φ=0,
又0<φ<π2,所以φ=π4.
所以f(x)=sin2x+π4.
由π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ(k∈Z),得f(x)的單調遞增區(qū)間是kπ+π8,kπ+5π8(k∈Z).
9.(2018陜西高三質檢)已知函數f(x)=sin xsin(x+3θ)是奇函數,其中θ∈0,π2,則f(x)的最大值為( )
A.12 B.22 C.1 D.2
答案A
解析函數f(x)=sinxsin(x+3θ)是奇函數,
∵y=sinx是奇函數,∴y=sin(x+3θ)是偶函數,
∴3θ=kπ+π2,k∈Z,∴θ=π6,f(x)=sinxsinx+π2=12sin2x,則f(x)的最大值為12.
10.已知函數f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期為4π,且fπ3=1,則f(x)圖象的對稱中心是 .
答案2kπ-2π3,0(k∈Z)
解析由題意得2πω=4π,解得ω=12,
故f(x)=sin12x+φ,由fπ3=1可得12π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,由|φ|<π2可得φ=π3,
故f(x)=sin12x+π3,
由12x+π3=kπ可得x=2kπ-2π3,k∈Z.
∴f(x)的對稱中心為2kπ-2π3,0,k∈Z.
11.已知函數y=cos x與y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它們的圖象有一個橫坐標為π3的交點,則φ的值是 .
答案π6
解析由題意cosπ3=sin2π3+φ,
即sin2π3+φ=12,
2π3+φ=2kπ+π6(k∈Z)或2π3+φ=2kπ+5π6(k∈Z).
因為0≤φ<π,所以φ=π6.
12.已知ω>0,在函數y=2sin ωx與y=2cos ωx的圖象的交點中,距離最短的兩個交點的距離為23,則ω= .
答案π2
解析如圖所示,在同一直角坐標系中,作出函數y=2sinωx與y=2cosωx的圖象.A,B為符合條件的兩個交點.
則Aπ4ω,2,B-3π4ω,-2.
由|AB|=23,得πω2+(22)2=23,
解得πω=2,即ω=π2.
二、能力提升
13.(2018安徽合肥二模)已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)相鄰兩條對稱軸間的距離為3π2,且fπ2=0,則下列說法正確的是( )
A.ω=2
B.函數y=f(x-π)為偶函數
C.函數f(x)在-π,-π2上單調遞增
D.函數y=f(x)的圖象關于點3π4,0對稱
答案C
解析由題意可得,函數f(x)的周期為T=23π2=3π,則ω=2πT=23,A說法錯誤;
當x=π2時,ωx+φ=23π2+φ=kπ,
∴φ=kπ-π3(k∈Z),
∵0<φ<π,故取k=1可得φ=2π3,
函數的解析式為f(x)=2sin23x+2π3,
y=f(x-π)=2sin23(x-π)+2π3=2sin23x,函數為奇函數,B說法錯誤;
當x∈-π,-π2時,23x+2π3∈-π3,π3,
故函數f(x)在-π,-π2上單調遞增,C說法正確;
f3π4=2sin233π4+2π3=2sin7π6≠0,
則函數y=f(x)的圖象不關于點3π4,0對稱,D說法錯誤.
14.已知函數f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2,A13,0為f(x)圖象的對稱中心,B,C是該圖象上相鄰的最高點和最低點,若BC=4,則f(x)的單調遞增區(qū)間是( )
A.2k-23,2k+43,k∈Z
B.2kπ-2π3,2kπ+4π3,k∈Z
C.4k-23,4k+43,k∈Z
D.4kπ-2π3,4kπ+4π3,k∈Z
答案C
解析由題意,得(23)2+T22=42,
即12+π2ω2=16,求得ω=π2.
再根據π213+φ=kπ,k∈Z,且-π2<φ<π2,
可得φ=-π6,∴f(x)=3sinπ2x-π6.
令2kπ-π2≤π2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,
求得4k-23≤x≤4k+43,故f(x)的單調遞增區(qū)間為4k-23,4k+43,k∈Z,故選C.
15.已知函數①y=sin x+cos x,②y=22sin xcos x,則下列結論正確的是( )
A.兩個函數的圖象均關于點-π4,0成中心對稱
B.兩個函數的圖象均關于直線x=-π4對稱
C.兩個函數在區(qū)間-π4,π4內都是單調遞增函數
D.可以將函數②的圖象向左平移π4個單位長度得到函數①的圖象
答案C
解析∵函數①y=sinx+cosx=2sinx+π4,②y=22sinxcosx=2sin2x,由于②的圖象不關于點-π4,0成中心對稱,故A不正確.
由于函數①的圖象不可能關于直線x=-π4成軸對稱,
故B不正確.
由于這兩個函數在區(qū)間-π4,π4內都是單調遞增函數,
故C正確.
由于將函數②的圖象向左平移π4個單位長度得到函數y=2sin2x+π4,而y=2sin2x+π4≠2sinx+π4,故D不正確,故選C.
16.已知函數f(x)=3sinωx-π6(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的圖象的對稱中心完全相同,若x∈0,π2,則f(x)的取值范圍是 .
答案-32,3
解析由兩個三角函數的圖象的對稱中心完全相同,可知它們的周期相同,則ω=2,即f(x)=3sin2x-π6.
當x∈0,π2時,-π6≤2x-π6≤5π6,
解得-12≤sin2x-π6≤1,故f(x)∈-32,3.
三、高考預測
17.已知函數f(x)=sin2x+π6,其中x∈-π6,a.當a=π3時,f(x)的值域是 ;若f(x)的值域是-12,1,則a的取值范圍是 .
答案-12,1 π6,π2
解析若-π6≤x≤π3,則-π6≤2x+π6≤5π6,此時-12≤sin2x+π6≤1,即f(x)的值域是-12,1.
若-π6≤x≤a,則-π6≤2x+π6≤2a+π6.
因為當2x+π6=-π6或2x+π6=7π6時,sin2x+π6=-12,所以要使f(x)的值域是-12,1,則π2≤2a+π6≤7π6,即π3≤2a≤π,
所以π6≤a≤π2,即a的取值范圍是π6,π2.
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