高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修部分 理(課件+習(xí)題)(打包6套)[新人教A版].zip
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【優(yōu)化探究】2017屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修部分 幾何證明選講課時作業(yè) 理 新人教A版選修4-1
A組 考點(diǎn)能力演練
1.(2016·大連模擬)如圖,已知D為△ABC中AC邊的中點(diǎn),AE∥BC,ED交AB于G,交BC延長線于F,若BG∶GA=3∶1,BC=8,求AE的長.
解:因?yàn)锳E∥BC,D為AC的中點(diǎn),
所以AE=CF,==.
設(shè)AE=x,又BC=8,
所以=,3x=x+8,所以x=4.
所以AE=4.
2.(2016·洛陽模擬)如圖,AB為圓O的直徑,CD為垂直于AB的一條弦,垂足為E,弦BM與CD交于點(diǎn)F.
(1)證明:A,E,F(xiàn),M四點(diǎn)共圓;
(2)證明:AC2+BF·BM=AB2.
證明:(1)連接AM(圖略),則∠AMB=90°.
∵AB⊥CD,∴∠AEF=90°.
∴∠AMB+∠AEF=180°,即A,E,F(xiàn),M四點(diǎn)共圓.
(2)連接AC,CB(圖略).由A,E,F(xiàn),M四點(diǎn)共圓,
得BF·BM=BE·BA.
在Rt△ACB中,BC2=BE·BA,AC2+CB2=AB2,∴AC2+BF·BM=AB2.
3.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E,F(xiàn)分別在AB,AC,BC上,AE=AC,BD=AB,且CF=BC.
求證:(1)EF⊥BC;
(2)∠ADE=∠EBC.
證明:設(shè)AB=AC=3a,
則AE=BD=a,CF=a.
(1)==,==.
又∠C為公共角,故△BAC∽△EFC,
由∠BAC=90°得∠EFC=90°,故EF⊥BC.
(2)由(1)得EF=·AB=a,
故==,==,
∴=,
∴△ADE∽△FBE,
所以∠ADE=∠EBC.
4.(2016·蘭州雙基)如圖,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在BC,AC上,且BD=BC,CE=CA,AD,BE相交于點(diǎn)P.求證:
(1)四點(diǎn)P,D,C,E共圓;
(2)AP⊥CP.
證明:(1)在正△ABC中,由BD=BC,CE=CA,知:△ABD≌△BCE,
∴∠ADB=∠BEC,即∠ADC+∠BEC=π,
∴四點(diǎn)P,D,C,E共圓.
(2)連接DE(圖略),在△CDE中,CD=2CE,∠ACD=60°,由正弦定理知∠CED=90°,
由四點(diǎn)P,D,C,E共圓知,∠DPC=∠DEC,∴AP⊥CP.
5.如圖,設(shè)AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑,P是⊙O與l的公共點(diǎn),AC⊥l,BD⊥l,垂足分別為C,D,且PC=PD.
(1)求證:l是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑OA=5,AC=4,求CD的長.
解:(1)證明:連接OP,∵AC⊥l,BD⊥l,∴AC∥BD.
又OA=OB,PC=PD,
∴OP∥BD,從而OP⊥l.
∵點(diǎn)P在⊙O上,∴l(xiāng)是⊙O的切線.
(2)由(1)可知OP=(AC+BD),
∴BD=2OP-AC=10-4=6.
過點(diǎn)A作AE⊥BD,垂足為E,則BE=BD-AC=6-4=2.
∴在Rt△ABE中,AE===4.
∴CD=4.
B組 高考題型專練
1.(2014·高考新課標(biāo)全國卷Ⅰ)如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AB的延長線與DC的延長線交于點(diǎn)E,且CB=CE.
(1)證明:∠D=∠E;
(2)設(shè)AD不是⊙O的直徑,AD的中點(diǎn)為M,且MB=MC,證明:△ADE為等邊三角形.
證明:(1)由題設(shè)知A,B,C,D四點(diǎn)共圓,所以∠D=∠CBE.
由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.
(2)如圖,設(shè)BC的中點(diǎn)為N,連接MN,則由MB=MC知MN⊥BC,故O在直線MN上.
又AD不是⊙O的直徑,M為AD的中點(diǎn),故OM⊥AD,即MN⊥AD.
所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.
又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE為等邊三角形.
2.(2015·高考湖南卷)如圖,在⊙O中,相交于點(diǎn)E的兩弦AB,CD的中點(diǎn)分別是M,N,直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F.證明:
(1)∠MEN+∠NOM=180°;
(2)FE·FN=FM·FO.
證明:(1)如圖所示.因?yàn)镸,N分別是弦AB,CD的中點(diǎn),所以O(shè)M⊥AB,ON⊥CD,
即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.又四邊形的內(nèi)角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.
(2)由(1)知,O,M,E,N四點(diǎn)共圓,故由割線定理即得FE·FN=FM·FO.
3.(2015·高考陜西卷)如圖,AB切⊙O于點(diǎn)B,直線AO交⊙O于D,E兩點(diǎn),BC⊥DE,垂足為C.
(1)證明:∠CBD=∠DBA;
(2)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直徑.
解:(1)證明:因?yàn)镈E為⊙O的直徑,
則∠BED+∠EDB=90°,
又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,
從而∠CBD=∠BED.
又AB切⊙O于點(diǎn)B,得∠DBA=∠BED,
所以∠CBD=∠DBA.
(2)由(1)知BD平分∠CBA,
則==3,又BC=,從而AB=3.
所以AC==4,所以AD=3.
由切割線定理得AB2=AD·AE,即AE==6,故DE=AE-AD=3,即⊙O的直徑為3.
4.(2015·高考全國卷Ⅱ)如圖,O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),⊙O與△ABC的底邊BC交于M,N兩點(diǎn),與底邊上的高AD交于點(diǎn)G,且與AB,AC分別相切于E,F(xiàn)兩點(diǎn).
(1)證明:EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半徑,且AE=MN=2,求四邊形EBCF的面積.
解:(1)證明:由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分線.
又因?yàn)椤袿分別與AB,AC相切于點(diǎn)E,F(xiàn),所以AE=AF,故AD⊥EF.從而EF∥BC.
(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分線.
又EF為⊙O的弦,所以O(shè)在AD上.
連接OE,OM,則OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半徑得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形.
因?yàn)锳E=2,所以AO=4,OE=2.
因?yàn)镺M=OE=2,DM=MN=,所以O(shè)D=1.
于是AD=5,AB=.
所以四邊形EBCF的面積為×2×-×(2)2×=.
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