《集合與常用邏輯用語,函數》知識總結大全.doc

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第一章 集合與常用邏輯用語知識結構 【知識概要】 一、集合的概念、關系與運算 1. 集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性. 在應用集合的概念求解集合問題時，要特別注意這三個性質在解題中的應用，元素的互異性往往就是檢驗的重要依椐。 2. 集合的表示方法：列舉法、描述法. 有的集合還可用Venn圖表示，用專用符號表示，如等。 3. 元素與集合的關系：我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，若元素是集合A的元素，則，否則。 4. 集合與集合之間的關系： ì 1 ①子集：若，則，此時稱集合A是集合B的子集，記作。 ②真子集：若，且存在元素，且，則稱A是B的真子集，記作：A B. ③相等：若，且，則稱集合A與B相等，記作A＝B.。 5. 集合的基本運算： ①交集： ②并集： ③補集：，其中為全集，。 6. 集合運算中常用結論： ①，。 ②，。 ③，， ，。 ④由個元素所組成的集合，其子集個數為個。 互為 原命題 逆命題 否命題 逆否命題 若p，則q 若q，則p 互逆 逆否 互為 互 否 互 否 互逆 逆否 ⑤空集是任何集合的子集，即。在解題中要特別留意空集的特殊性，它往往就是導致我們在解題中出現錯誤的一個對象，避免因忽視空集而出現錯誤。 ●7.含參數的集合問題是本部分的一個重要題型，應多根據集合元素的互異性挖掘題目的隱含條件，并注意分類討論思想、數形結合思想在解題中的運用。 二、命題及其關系 ●1．命題的概念：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。 ●2．四種命題的相互關系： ●3. “若則”是真命題，即；“若則”是假命題，則。 ●4. 在判斷命題真假的問題中，一方面可以直接寫出命題進行判斷，也可以通過命題的等價性進行判斷，即原命題與逆否命題等價，否命題與逆命題等價。 ●5. 充分必要條件的判斷是本部分的一個重要題型，在解題中應注意： （1）注意問題的設問方式，我們知道，①是的充分不必要條件是指且；②的必要不充分條件是是指且。這兩種說法是在充分必要條件推理判斷中經常出現且容易混淆的說法，在解題中一定要注意問題的設問方式，弄清它們的區(qū)別，以免出現判斷錯誤。 （2）要善于舉出恰當的反例來說明一個命題是錯誤的。 （3）恰當地進行轉化，由原命題與逆否命題等價可知：若是的充分不必要條件，則是的必要不充分條件；若是的必要不充分條件，則是的充分不必要條件。 ●6. 證明是的充要條件 （1）充分性：把當作已知條件，結合命題的前提條件，推出； （2）必要性：把當作已知條件，結合命題的前提條件，推出。 三、邏輯聯結詞與量詞 ●1．含有“且（）”“或()”“非（）”命題的真假性： 真、真 真 真 假 真、假 假 真 假 假、真 假 真 真 假、假 假 假 真 ●2．全稱量詞與存在量詞：命題中的“對所有”、“任意一個”等短語叫做全稱量詞，用符號“”表示，“存在”、“至少有一個”等短語叫做存在量詞，用符號“”表示。 含有全稱量詞的命題叫做全稱命題，全稱命題：“對中任意一個，有成立”可用符號簡記為。 含有存在量詞的命題叫做特稱命題，特稱命題：“存在中任意一個，使成立”可用符號簡記為。 ●3．全稱命題與特稱命題的關系： P 的否定 全稱命題： 特稱命題： 特稱命題： 全稱命題： 第二章 函數知識結構 一..函數的概念及其表示 （1）函數的概念 ①設、是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的一個函數，記作． ②函數的三要素:定義域、值域和對應法則． ③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數． （2）區(qū)間的概念及表示法 ①設是兩個實數，且，滿足的實數的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實數的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實數的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實數的集合分別記做． 注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須 ． （3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則： ①是整式時，定義域是全體實數． ②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數． ③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合． ④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1． ⑤中，． ⑥零（負）指數冪的底數不能為零． ⑦若是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集． ⑧對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合函數的定義域應由不等式解出． ⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論． ⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義． （4）求函數的值域或最值 求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最?。ù螅担@個數就是函數的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮档淖钪蹬c值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同．求函數值域與最值的常用方法： ①觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值． ②配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值． ③判別式法：若函數可以化成一個系數含有的關于的二次方程，則在時，由于為實數，故必須有，從而確定函數的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值． ⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題． ⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值． ⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值． ⑧函數的單調性法 （5）函數的表示方法 表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種． 解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系． （6）映射的概念 ①設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的映射，記作． ②給定一個集合到集合的映射，且．如果元素和元素對應，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象． 二．函數的基本性質 1.單調性 函數的單調性是研究函數在定義域內某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢，是研究函數圖象在定義域內的局部變化性質。 ⑴函數單調性的定義 一般地，設函數的定義域為，區(qū)間．如果對于區(qū)間內的______兩個值，，當<時，都有_____，那么在區(qū)間上是單調增函數，稱為的單調_____區(qū)間. 如果對于區(qū)間內的______兩個值，，當<時，都有_____，那么在區(qū)間上是單調減函數，稱為的單調_____區(qū)間.如果函數在區(qū)間上是單調增函數或單調減函數，那么函數在區(qū)間上具有________. 點評 單調性的等價定義： ①在區(qū)間上是增函數當時，有 ； ②在區(qū)間上是減函數當時，有 ； ⑵函數單調性的判定方法 ①定義法；②圖像法；③復合函數法；④導數法；⑤特值法（用于小題），⑥結論法等. 注意： ①定義法（取值——作差——變形——定號——結論）：設且，那么在區(qū)間上是增函數；在區(qū)間上是減函數。 ②導數法（選修）：在區(qū)間內處處可導，若總有（），則在區(qū)間內為增（減）函數；反之，在區(qū)間內為增（減）函數，且處處可導，則（）。請注意兩者之間的區(qū)別，可以“數形結合法”研究。 點評 判定函數的單調性一般要將式子進行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化處理，以利于判斷符號；證明函數的單調性主要用定義法和導數法。 提醒 求單調區(qū)間時，不忘定義域；多個單調性相同的區(qū)間不一定能用符號“”連接；單調區(qū)間應該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示。判定函數不具有單調性時，可舉反例。 ⑶與函數單調性有關的一些結論 ①若與同增（減），則＋為增（減）函數，為增函數； ②若增，為減，則－為增函數，－為減函數，為減函數； ③若函數在某一范圍內恒為正值或恒為負值，則與在相同的單調區(qū)間上的單調性相反； ④函數與函數具有相同的單調性和單調區(qū)間； ⑤函數與函數具有相同的單調性和單調區(qū)間，函數與函數具有相同單調區(qū)間上的單調性相反。 2.奇偶性 函數的奇偶性是研究函數在定義域內的圖象是否關于原點中心對稱，還是關于軸成軸對稱，是研究函數圖象的結構特點； ⑴函數奇偶性的定義 一般地，設函數的定義域為．如果對于_____的，都有_____，那么函數是偶函數. 一般地，設函數的定義域為．如果對于_____的，都有_____，那么函數是奇函數. 如果函數是奇函數或偶函數，那么函數具有________. 注意 具有奇偶性的函數的定義域一定關于原點對稱，因此，確定函數奇偶性時，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱。 ⑵圖象特征 函數為奇（偶）函數函數的圖象關于原點（軸）成中心（軸）對稱圖形。 注意 定義域含的偶函數圖象不一定過原點；定義域含的奇函數圖象一定過原點；利用函數的奇偶性可以把研究整個函數問題轉化到一半區(qū)間上，簡化問題。 點評 ①函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件. ②是奇函數. ③是偶函數. ④奇函數在原點有定義，則. ⑤在關于原點對稱的單調區(qū)間內： （?。┢婧瘮涤邢嗤膯握{性，偶函數有相反的單調性； （ⅱ）奇函數有相反的最值（極值），偶函數有相同的最值（極值）。 ⑥是偶函數. ⑶奇偶性的判定方法 若所給函數的解析式較為復雜，應先考慮其定義域并等價變形化簡后，再判斷其奇偶性. 如判斷函數的奇偶性。判定函數奇偶性方法如下：①定義（等價定義）法；②圖像法；③結論法等. 點評 定義法判定函數的奇偶性先求定義域，看其是否關于原點對稱，若對稱，再求，接著考察與的關系，最后得結論.判斷函數不具有奇偶性時，可用反例。 ⑷與函數的奇偶性有關的一些結論 ①若與同奇（偶），則±為奇（偶）函數，和為偶函數，為奇（偶）函數； ②若與一奇一偶，則和為奇函數，為偶函數； ③定義域關于原點對稱的函數可以表示為一個奇函數與一個偶函數和的形式。 ⑸函數按奇偶性分類 ①奇函數非偶函數，②偶函數非奇函數，③既是奇函數又是偶函數，④非奇非偶函數。 點評既奇又偶的函數有無數個。如定義域關于原點對稱即可。如函數＝ 。 3.周期性 函數的周期性是研究一些函數圖象在定義域內具有某種一定的周期變化規(guī)律； ⑴函數周期性的定義 一般地，對于函數，如果存在一個________的常數，使得定義域內的________ 值，都滿足，那么函數稱為周期函數，________常數叫做這個函數的周期。如果一個周期函數的所有的周期中存在一個________的____數，那么這個數叫做函數的最小周期正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。 點評 ①非零常數是周期函數本身固有的性質，與自變量的取值無關；②若非零常數是函數的周期，則非零常數的非零整數倍（，且也是函數的周期；③若函數的周期為，則函數（其中，，為常數，且，）的周期為；④定義中的等式是恒等式；⑤函數的周期是。 ⑵三角函數的周期 ① ；② ；③； ④ ；⑤； ⑶函數周期的判定 ①定義法（試值） ②圖像法 ③公式法（利用（2）中結論）④結論法。 ⑷與周期有關的一些結論 ①或 的周期為； ②是偶函數,其圖像又關于直線對稱的周期為； ③奇函數,其圖像又關于直線對稱的周期為； ④關于點,對稱的周期為； ⑤的圖象關于直線,對稱函數的周期為； ⑥的圖象關于點中心對稱，直線軸對稱周期為4； ⑦對時,或的周期為； ⑧函數滿足，且為非零常數的周期為4； ⑨函數滿足（為非零常數）的周期6。 點評 注意對稱性與周期性的關系。 4.對稱性 函數的對稱性是研究函數圖象的結構特點（即函數圖象關于某一點成中心對稱圖形或關于某一條直線成軸對稱圖形）； ⑴函數對稱性的定義 如果函數的圖象關于直線成____對稱或點成______對稱，那么具有對稱性。 注意 利用函數的對稱性可以把研究整個函數問題轉化到一半區(qū)間上，簡化問題。 ⑵函數圖象對稱性的證明 證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上； ⑶與對稱性性有關的一些結論 ①函數的圖象關于直線成軸對稱。特別地，當時，函數為偶函數。 ②函數的圖象關于點成中心對稱。特別地，當且時，函數為奇函數。 點評 函數奇偶性是函數對稱性的特殊情況。 ③若對時,恒成立,則圖像關于直線對稱； ④函數的圖象關于點中心對稱。 5.有界性 函數的有界性是研究函數圖象在平面直角坐標系中的上下界情況，重點是通過研究函數的最大（?。┲担ㄖ涤颍﹣硌芯坑薪缧詥栴}。 ⑴函數最大（?。┲档亩x 一般地，設函數的定義域為．如果存在，使得對于____的，都有____，那么稱為的最大值，記為__________；如果存在，使得對于____的，都有____，那么稱為的最小值，記為__________. 注意 ①函數最大（?。┲祽撌悄骋粋€函數值；②函數最大（?。┲祽撌撬泻瘮抵抵凶畲螅ㄐ。┑模畲螅ㄐ。┲挡煌跇O大（?。┲?。 ⑵值域與最值 注意函數的最值與函數的值域的區(qū)別和聯系，理解值域和最值是考察函數的有界性問題。 ⑶與函數最值有關的幾個結論 ①若函數在區(qū)間上為單調增函數，則，； ②若函數在區(qū)間上為單調減函數，則，； ③若函數在區(qū)間上為單調增函數，在區(qū)間上為單調減函數，則； ④若函數在區(qū)間上為單調減函數，在區(qū)間上為單調增函數，則。 ⑷恒成立問題的處理方法 恒成立問題的處理方法：⑴分離參數法(最值法)； ⑵轉化為一元二次方程根的分布問題。如：①方程有解(為的值域)；②不等式恒成立 ,不等式恒成立。 6.極值 函數的極值是研究函數在其定義域內的某一局部上的性質。這與函數的最值所研究的問題角度有所不同。 ⑴極值的定義 設函數在及其附近有定義，如果的值比附近的所有各點的函數值都大（?。瑒t稱是函數的一個極大（?。┲怠O大值和極小值統稱為極值。取得極值的點稱為函數的極值點，極值點是自變量的取值，極值是指函數值。 ⑵極值的求法 ①圖像法；②導數法。 7.零點與不動點 7.1函數的零點 ⑴定義 一般地，我們把使函數的值為_____的實數稱為函數的零點. 點評 函數的零點就是方程的實數根。從圖象上看，函數的零點，就是它的圖象與軸交點的橫坐標。利用函數的零點、方程的根、函數的圖象與軸交點的橫坐標這三者之間的聯系，可以解決很多函數與方程的問題。這就是高考的熱點內容——函數與方程的思想運用。 ⑵函數零點的存在性 一般地，若函數在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，且 ﹤______，則至少存在一個實數，使得，此時實數為函數的零點. 點評 若函數在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的單調曲線，且﹤0，則有惟一的實數，使得。 7.2不動點 方程的根叫做函數的不動點，也是函數的零點。 7.3函數、方程與不等式三者之間的關系 一般地，不等式的解集為函數的圖象在軸上方部分的點的橫坐標組成的集合；不等式的解集為函數的圖象在軸下方部分的點的橫坐標組成的集合； 點評 利用函數圖象并結合函數的零點，可求不等式或的解集；利用函數圖象并結合相應方程的解，可求不等式或的解集等； 7．4基本方法 求函數零點和不動點的方法 ⑴直接法（通過解方程（組））；⑵圖像法；⑶二分法。 點評 注意函數上述幾大性質相互之間的聯系。 三．基本初等函數的圖像與性質 1.指數函數 （1）根式的概念 ①叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數． ②當為奇數時，為任意實數；當為偶數時，． ③根式的性質：；當為奇數時，；當為偶數時， ． （2）分數指數冪的概念 ①正數的正分數指數冪的意義是：且．0的正分數指數冪等于0． ②正數的負分數指數冪的意義是：且．0的負分數指數冪沒有意義． 注意口訣：底數取倒數，指數取相反數． （3）分數指數冪的運算性質 ① ② ③ （4）指數函數 函數名稱 指數函數 定義 0 1 0 1 函數且叫做指數函數 圖象 定義域 值域 （0,+∞） 過定點 圖象過定點（0,1），即當x=0時，y=1． 奇偶性 非奇非偶 單調性 在上是增函數 在上是減函數 函數值的 變化情況 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0) 變化對 圖象的影 響 在第一象限內，越大圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內，越大圖象越低，越靠近x軸． 在第一象限內，越小圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內，越小圖象越低，越靠近x軸． 2.對數函數 （1）對數的定義 ①若，則叫做以為底的對數，記作，其中叫做底數，叫做真數． ②對數式與指數式的互化：． （2）常用對數與自然對數：常用對數：，即；自然對數：，即（其中…）． （3）幾個重要的對數恒等式:　　 ，，． （4）對數的運算性質 如果，那么 ①加法： ②減法： ③數乘： ④ ⑤ ⑥換底公式： （5）對數函數 函數名稱 對數函數 定義 函數且叫做對數函數 圖象 0 1 0 1 定義域 值域 過定點 圖象過定點，即當時，． 奇偶性 非奇非偶 單調性 在上是增函數 在上是減函數 函數值的 變化情況 變化對 圖象的影響 在第一象限內，越大圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內，越大圖象越靠高，越靠近y軸 在第一象限內，越小圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內，越小圖象越靠高，越靠近y軸 (6) 反函數的求法 ①確定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式中反解出； ③將改寫成，并注明反函數的定義域． （7）反函數的性質 ①原函數與反函數的圖象關于直線對稱． 即，若在原函數的圖象上，則在反函數的圖象上． ②函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域． 3.冪函數 （1）冪函數的圖象(需要知道x=12,1,2,3與y=1x的圖像) （2）冪函數的性質 ①圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象． ②過定點：圖象都通過點． 4.二次函數 （1）二次函數解析式的三種形式 ①一般式： ②頂點式： ③兩根式： （2）求二次函數解析式的方法 ①已知三個點坐標時，宜用一般式． ②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式． ③若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求更方便． （3）二次函數圖象的性質 ①二次函數的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為 ，頂點坐標是 。 ②在二次函數中 當時，圖象與軸有 個交點． 當 時，圖象與軸有1個交點． 當 時，圖象與軸有沒有交點． ③當 時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增，當時，f(x)min= ； 當 時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，當時，f(x)max= ． （4）一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統地來分析一元二次方程實根的分布． 設一元二次方程的兩實根為，且．令，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向： ②對稱軸位置： ③判別式： ④端點函數值符號． ①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 ④k1＜x1≤x2＜k2 ⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 ⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此結論可直接由⑤推出．