《集合與常用邏輯用語(yǔ),函數(shù)》知識(shí)總結(jié)大全.doc
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第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu) 【知識(shí)概要】 一、集合的概念、關(guān)系與運(yùn)算 1. 集合中元素的特性:確定性、互異性、無序性. 在應(yīng)用集合的概念求解集合問題時(shí),要特別注意這三個(gè)性質(zhì)在解題中的應(yīng)用,元素的互異性往往就是檢驗(yàn)的重要依椐。 2. 集合的表示方法:列舉法、描述法. 有的集合還可用Venn圖表示,用專用符號(hào)表示,如等。 3. 元素與集合的關(guān)系:我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合,若元素是集合A的元素,則,否則。 4. 集合與集合之間的關(guān)系: ì 1 ①子集:若,則,此時(shí)稱集合A是集合B的子集,記作。 ②真子集:若,且存在元素,且,則稱A是B的真子集,記作:A B. ③相等:若,且,則稱集合A與B相等,記作A=B.。 5. 集合的基本運(yùn)算: ①交集: ②并集: ③補(bǔ)集:,其中為全集,。 6. 集合運(yùn)算中常用結(jié)論: ①,。 ②,。 ③,, ,。 ④由個(gè)元素所組成的集合,其子集個(gè)數(shù)為個(gè)。 互為 原命題 逆命題 否命題 逆否命題 若p,則q 若q,則p 互逆 逆否 互為 互 否 互 否 互逆 逆否 ⑤空集是任何集合的子集,即。在解題中要特別留意空集的特殊性,它往往就是導(dǎo)致我們?cè)诮忸}中出現(xiàn)錯(cuò)誤的一個(gè)對(duì)象,避免因忽視空集而出現(xiàn)錯(cuò)誤。 ●7.含參數(shù)的集合問題是本部分的一個(gè)重要題型,應(yīng)多根據(jù)集合元素的互異性挖掘題目的隱含條件,并注意分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用。 二、命題及其關(guān)系 ●1.命題的概念:用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題。 ●2.四種命題的相互關(guān)系: ●3. “若則”是真命題,即;“若則”是假命題,則。 ●4. 在判斷命題真假的問題中,一方面可以直接寫出命題進(jìn)行判斷,也可以通過命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷,即原命題與逆否命題等價(jià),否命題與逆命題等價(jià)。 ●5. 充分必要條件的判斷是本部分的一個(gè)重要題型,在解題中應(yīng)注意: (1)注意問題的設(shè)問方式,我們知道,①是的充分不必要條件是指且;②的必要不充分條件是是指且。這兩種說法是在充分必要條件推理判斷中經(jīng)常出現(xiàn)且容易混淆的說法,在解題中一定要注意問題的設(shè)問方式,弄清它們的區(qū)別,以免出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤。 (2)要善于舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。 (3)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行轉(zhuǎn)化,由原命題與逆否命題等價(jià)可知:若是的充分不必要條件,則是的必要不充分條件;若是的必要不充分條件,則是的充分不必要條件。 ●6. 證明是的充要條件 (1)充分性:把當(dāng)作已知條件,結(jié)合命題的前提條件,推出; (2)必要性:把當(dāng)作已知條件,結(jié)合命題的前提條件,推出。 三、邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞 ●1.含有“且()”“或()”“非()”命題的真假性: 真、真 真 真 假 真、假 假 真 假 假、真 假 真 真 假、假 假 假 真 ●2.全稱量詞與存在量詞:命題中的“對(duì)所有”、“任意一個(gè)”等短語(yǔ)叫做全稱量詞,用符號(hào)“”表示,“存在”、“至少有一個(gè)”等短語(yǔ)叫做存在量詞,用符號(hào)“”表示。 含有全稱量詞的命題叫做全稱命題,全稱命題:“對(duì)中任意一個(gè),有成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為。 含有存在量詞的命題叫做特稱命題,特稱命題:“存在中任意一個(gè),使成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為。 ●3.全稱命題與特稱命題的關(guān)系: P 的否定 全稱命題: 特稱命題: 特稱命題: 全稱命題: 第二章 函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu) 一..函數(shù)的概念及其表示 (1)函數(shù)的概念 ①設(shè)、是兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則,對(duì)于集合中任何一個(gè)數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng),那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合,以及到的對(duì)應(yīng)法則)叫做集合到的一個(gè)函數(shù),記作. ②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則. ③只有定義域相同,且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù). (2)區(qū)間的概念及表示法 ①設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù),且,滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間,記做;滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間,記做;滿足,或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別記做,;滿足的實(shí)數(shù)的集合分別記做. 注意:對(duì)于集合與區(qū)間,前者可以大于或等于,而后者必須 . (3)求函數(shù)的定義域時(shí),一般遵循以下原則: ①是整式時(shí),定義域是全體實(shí)數(shù). ②是分式函數(shù)時(shí),定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù). ③是偶次根式時(shí),定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合. ④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),底數(shù)須大于零且不等于1. ⑤中,. ⑥零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零. ⑦若是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí),則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集. ⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題,一般步驟是:若已知的定義域?yàn)?,其?fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出. ⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù),求其定義域,根據(jù)問題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論. ⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù),其定義域除使函數(shù)有意義外,還要符合問題的實(shí)際意義. (4)求函數(shù)的值域或最值 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法: ①觀察法:對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù),我們可以通過觀察直接得到值域或最值. ②配方法:將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和,然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值. ③判別式法:若函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程,則在時(shí),由于為實(shí)數(shù),故必須有,從而確定函數(shù)的值域或最值. ④不等式法:利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值. ⑤換元法:通過變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的,三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題. ⑥反函數(shù)法:利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值. ⑦數(shù)形結(jié)合法:利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值. ⑧函數(shù)的單調(diào)性法 (5)函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法、圖象法三種. 解析法:就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法:就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法:就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. (6)映射的概念 ①設(shè)、是兩個(gè)集合,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則,對(duì)于集合中任何一個(gè)元素,在集合中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng),那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合,以及到的對(duì)應(yīng)法則)叫做集合到的映射,記作. ②給定一個(gè)集合到集合的映射,且.如果元素和元素對(duì)應(yīng),那么我們把元素叫做元素的象,元素叫做元素的原象. 二.函數(shù)的基本性質(zhì) 1.單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢(shì),是研究函數(shù)圖象在定義域內(nèi)的局部變化性質(zhì)。 ⑴函數(shù)單調(diào)性的定義 一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,區(qū)間.如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的______兩個(gè)值,,當(dāng)<時(shí),都有_____,那么在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),稱為的單調(diào)_____區(qū)間. 如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的______兩個(gè)值,,當(dāng)<時(shí),都有_____,那么在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),稱為的單調(diào)_____區(qū)間.如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù),那么函數(shù)在區(qū)間上具有________. 點(diǎn)評(píng) 單調(diào)性的等價(jià)定義: ①在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時(shí),有 ; ②在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時(shí),有 ; ⑵函數(shù)單調(diào)性的判定方法 ①定義法;②圖像法;③復(fù)合函數(shù)法;④導(dǎo)數(shù)法;⑤特值法(用于小題),⑥結(jié)論法等. 注意: ①定義法(取值——作差——變形——定號(hào)——結(jié)論):設(shè)且,那么在區(qū)間上是增函數(shù);在區(qū)間上是減函數(shù)。 ②導(dǎo)數(shù)法(選修):在區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo),若總有(),則在區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù);反之,在區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù),且處處可導(dǎo),則()。請(qǐng)注意兩者之間的區(qū)別,可以“數(shù)形結(jié)合法”研究。 點(diǎn)評(píng) 判定函數(shù)的單調(diào)性一般要將式子進(jìn)行因式分解、配方、通分、分子(分母)有理化處理,以利于判斷符號(hào);證明函數(shù)的單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。 提醒 求單調(diào)區(qū)間時(shí),不忘定義域;多個(gè)單調(diào)性相同的區(qū)間不一定能用符號(hào)“”連接;單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示。判定函數(shù)不具有單調(diào)性時(shí),可舉反例。 ⑶與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的一些結(jié)論 ①若與同增(減),則+為增(減)函數(shù),為增函數(shù); ②若增,為減,則-為增函數(shù),-為減函數(shù),為減函數(shù); ③若函數(shù)在某一范圍內(nèi)恒為正值或恒為負(fù)值,則與在相同的單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反; ④函數(shù)與函數(shù)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間; ⑤函數(shù)與函數(shù)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間,函數(shù)與函數(shù)具有相同單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反。 2.奇偶性 函數(shù)的奇偶性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,還是關(guān)于軸成軸對(duì)稱,是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn); ⑴函數(shù)奇偶性的定義 一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于_____的,都有_____,那么函數(shù)是偶函數(shù). 一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于_____的,都有_____,那么函數(shù)是奇函數(shù). 如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么函數(shù)具有________. 注意 具有奇偶性的函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因此,確定函數(shù)奇偶性時(shí),務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 ⑵圖象特征 函數(shù)為奇(偶)函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)成中心(軸)對(duì)稱圖形。 注意 定義域含的偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn);定義域含的奇函數(shù)圖象一定過原點(diǎn);利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上,簡(jiǎn)化問題。 點(diǎn)評(píng) ①函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件. ②是奇函數(shù). ③是偶函數(shù). ④奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義,則. ⑤在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi): (?。┢婧瘮?shù)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)有相反的單調(diào)性; (ⅱ)奇函數(shù)有相反的最值(極值),偶函數(shù)有相同的最值(極值)。 ⑥是偶函數(shù). ⑶奇偶性的判定方法 若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先考慮其定義域并等價(jià)變形化簡(jiǎn)后,再判斷其奇偶性. 如判斷函數(shù)的奇偶性。判定函數(shù)奇偶性方法如下:①定義(等價(jià)定義)法;②圖像法;③結(jié)論法等. 點(diǎn)評(píng) 定義法判定函數(shù)的奇偶性先求定義域,看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若對(duì)稱,再求,接著考察與的關(guān)系,最后得結(jié)論.判斷函數(shù)不具有奇偶性時(shí),可用反例。 ⑷與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的一些結(jié)論 ①若與同奇(偶),則±為奇(偶)函數(shù),和為偶函數(shù),為奇(偶)函數(shù); ②若與一奇一偶,則和為奇函數(shù),為偶函數(shù); ③定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)和的形式。 ⑸函數(shù)按奇偶性分類 ①奇函數(shù)非偶函數(shù),②偶函數(shù)非奇函數(shù),③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),④非奇非偶函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個(gè)。如定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可。如函數(shù)= 。 3.周期性 函數(shù)的周期性是研究一些函數(shù)圖象在定義域內(nèi)具有某種一定的周期變化規(guī)律; ⑴函數(shù)周期性的定義 一般地,對(duì)于函數(shù),如果存在一個(gè)________的常數(shù),使得定義域內(nèi)的________ 值,都滿足,那么函數(shù)稱為周期函數(shù),________常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果一個(gè)周期函數(shù)的所有的周期中存在一個(gè)________的____數(shù),那么這個(gè)數(shù)叫做函數(shù)的最小周期正周期。如沒有特別說明,遇到的周期都指最小正周期。 點(diǎn)評(píng) ①非零常數(shù)是周期函數(shù)本身固有的性質(zhì),與自變量的取值無關(guān);②若非零常數(shù)是函數(shù)的周期,則非零常數(shù)的非零整數(shù)倍(,且也是函數(shù)的周期;③若函數(shù)的周期為,則函數(shù)(其中,,為常數(shù),且,)的周期為;④定義中的等式是恒等式;⑤函數(shù)的周期是。 ⑵三角函數(shù)的周期 ① ;② ;③; ④ ;⑤; ⑶函數(shù)周期的判定 ①定義法(試值) ②圖像法 ③公式法(利用(2)中結(jié)論)④結(jié)論法。 ⑷與周期有關(guān)的一些結(jié)論 ①或 的周期為; ②是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱的周期為; ③奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱的周期為; ④關(guān)于點(diǎn),對(duì)稱的周期為; ⑤的圖象關(guān)于直線,對(duì)稱函數(shù)的周期為; ⑥的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,直線軸對(duì)稱周期為4; ⑦對(duì)時(shí),或的周期為; ⑧函數(shù)滿足,且為非零常數(shù)的周期為4; ⑨函數(shù)滿足(為非零常數(shù))的周期6。 點(diǎn)評(píng) 注意對(duì)稱性與周期性的關(guān)系。 4.對(duì)稱性 函數(shù)的對(duì)稱性是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(即函數(shù)圖象關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形或關(guān)于某一條直線成軸對(duì)稱圖形); ⑴函數(shù)對(duì)稱性的定義 如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線成____對(duì)稱或點(diǎn)成______對(duì)稱,那么具有對(duì)稱性。 注意 利用函數(shù)的對(duì)稱性可以把研究整個(gè)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上,簡(jiǎn)化問題。 ⑵函數(shù)圖象對(duì)稱性的證明 證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性,即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上; ⑶與對(duì)稱性性有關(guān)的一些結(jié)論 ①函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱。特別地,當(dāng)時(shí),函數(shù)為偶函數(shù)。 ②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。特別地,當(dāng)且時(shí),函數(shù)為奇函數(shù)。 點(diǎn)評(píng) 函數(shù)奇偶性是函數(shù)對(duì)稱性的特殊情況。 ③若對(duì)時(shí),恒成立,則圖像關(guān)于直線對(duì)稱; ④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱。 5.有界性 函數(shù)的有界性是研究函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的上下界情況,重點(diǎn)是通過研究函數(shù)的最大(?。┲担ㄖ涤颍﹣硌芯坑薪缧詥栴}。 ⑴函數(shù)最大(?。┲档亩x 一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖?,使得?duì)于____的,都有____,那么稱為的最大值,記為__________;如果存在,使得對(duì)于____的,都有____,那么稱為的最小值,記為__________. 注意 ①函數(shù)最大(?。┲祽?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值;②函數(shù)最大(?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的,最大(?。┲挡煌跇O大(?。┲怠? ⑵值域與最值 注意函數(shù)的最值與函數(shù)的值域的區(qū)別和聯(lián)系,理解值域和最值是考察函數(shù)的有界性問題。 ⑶與函數(shù)最值有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 ①若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù),則,; ②若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù),則,; ③若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù),在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù),則; ④若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù),在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù),則。 ⑷恒成立問題的處理方法 恒成立問題的處理方法:⑴分離參數(shù)法(最值法); ⑵轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題。如:①方程有解(為的值域);②不等式恒成立 ,不等式恒成立。 6.極值 函數(shù)的極值是研究函數(shù)在其定義域內(nèi)的某一局部上的性質(zhì)。這與函數(shù)的最值所研究的問題角度有所不同。 ⑴極值的定義 設(shè)函數(shù)在及其附近有定義,如果的值比附近的所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大(?。?,則稱是函數(shù)的一個(gè)極大(?。┲怠O大值和極小值統(tǒng)稱為極值。取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的取值,極值是指函數(shù)值。 ⑵極值的求法 ①圖像法;②導(dǎo)數(shù)法。 7.零點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn) 7.1函數(shù)的零點(diǎn) ⑴定義 一般地,我們把使函數(shù)的值為_____的實(shí)數(shù)稱為函數(shù)的零點(diǎn). 點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根。從圖象上看,函數(shù)的零點(diǎn),就是它的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。利用函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)這三者之間的聯(lián)系,可以解決很多函數(shù)與方程的問題。這就是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容——函數(shù)與方程的思想運(yùn)用。 ⑵函數(shù)零點(diǎn)的存在性 一般地,若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線,且 ﹤______,則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得,此時(shí)實(shí)數(shù)為函數(shù)的零點(diǎn). 點(diǎn)評(píng) 若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的單調(diào)曲線,且﹤0,則有惟一的實(shí)數(shù),使得。 7.2不動(dòng)點(diǎn) 方程的根叫做函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),也是函數(shù)的零點(diǎn)。 7.3函數(shù)、方程與不等式三者之間的關(guān)系 一般地,不等式的解集為函數(shù)的圖象在軸上方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)組成的集合;不等式的解集為函數(shù)的圖象在軸下方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)組成的集合; 點(diǎn)評(píng) 利用函數(shù)圖象并結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn),可求不等式或的解集;利用函數(shù)圖象并結(jié)合相應(yīng)方程的解,可求不等式或的解集等; 7.4基本方法 求函數(shù)零點(diǎn)和不動(dòng)點(diǎn)的方法 ⑴直接法(通過解方程(組));⑵圖像法;⑶二分法。 點(diǎn)評(píng) 注意函數(shù)上述幾大性質(zhì)相互之間的聯(lián)系。 三.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì) 1.指數(shù)函數(shù) (1)根式的概念 ①叫做根式,這里叫做根指數(shù),叫做被開方數(shù). ②當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為任意實(shí)數(shù);當(dāng)為偶數(shù)時(shí),. ③根式的性質(zhì):;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí), . (2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念 ①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:且.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0. ②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:且.0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義. 注意口訣:底數(shù)取倒數(shù),指數(shù)取相反數(shù). (3)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ① ② ③ (4)指數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 指數(shù)函數(shù) 定義 0 1 0 1 函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù) 圖象 定義域 值域 (0,+∞) 過定點(diǎn) 圖象過定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí),y=1. 奇偶性 非奇非偶 單調(diào)性 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 y>1(x>0), y=1(x=0), 0<y<1(x<0) y>1(x<0), y=1(x=0), 0<y<1(x>0) 變化對(duì) 圖象的影 響 在第一象限內(nèi),越大圖象越高,越靠近y軸; 在第二象限內(nèi),越大圖象越低,越靠近x軸. 在第一象限內(nèi),越小圖象越高,越靠近y軸; 在第二象限內(nèi),越小圖象越低,越靠近x軸. 2.對(duì)數(shù)函數(shù) (1)對(duì)數(shù)的定義 ①若,則叫做以為底的對(duì)數(shù),記作,其中叫做底數(shù),叫做真數(shù). ②對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化:. (2)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù):常用對(duì)數(shù):,即;自然對(duì)數(shù):,即(其中…). (3)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式: ,,. (4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果,那么 ①加法: ②減法: ③數(shù)乘: ④ ⑤ ⑥換底公式: (5)對(duì)數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 對(duì)數(shù)函數(shù) 定義 函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù) 圖象 0 1 0 1 定義域 值域 過定點(diǎn) 圖象過定點(diǎn),即當(dāng)時(shí),. 奇偶性 非奇非偶 單調(diào)性 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 變化對(duì) 圖象的影響 在第一象限內(nèi),越大圖象越靠低,越靠近x軸 在第四象限內(nèi),越大圖象越靠高,越靠近y軸 在第一象限內(nèi),越小圖象越靠低,越靠近x軸 在第四象限內(nèi),越小圖象越靠高,越靠近y軸 (6) 反函數(shù)的求法 ①確定反函數(shù)的定義域,即原函數(shù)的值域;②從原函數(shù)式中反解出; ③將改寫成,并注明反函數(shù)的定義域. (7)反函數(shù)的性質(zhì) ①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱. 即,若在原函數(shù)的圖象上,則在反函數(shù)的圖象上. ②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域. 3.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的圖象(需要知道x=12,1,2,3與y=1x的圖像) (2)冪函數(shù)的性質(zhì) ①圖象分布:冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限,第四象限無圖象. ②過定點(diǎn):圖象都通過點(diǎn). 4.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式: ②頂點(diǎn)式: ③兩根式: (2)求二次函數(shù)解析式的方法 ①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),宜用一般式. ②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(?。┲涤嘘P(guān)時(shí),常使用頂點(diǎn)式. ③若已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn),且橫線坐標(biāo)已知時(shí),選用兩根式求更方便. (3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì) ①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,對(duì)稱軸方程為 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 。 ②在二次函數(shù)中 當(dāng)時(shí),圖象與軸有 個(gè)交點(diǎn). 當(dāng) 時(shí),圖象與軸有1個(gè)交點(diǎn). 當(dāng) 時(shí),圖象與軸有沒有交點(diǎn). ③當(dāng) 時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增,當(dāng)時(shí),f(x)min= ; 當(dāng) 時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減,當(dāng)時(shí),f(x)max= . (4)一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容,這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及,但尚不夠系統(tǒng)和完整,且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用,下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì),系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布. 設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為,且.令,從以下四個(gè)方面來分析此類問題:①開口方向: ②對(duì)稱軸位置: ③判別式: ④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào). ①k<x1≤x2 ②x1≤x2<k ③x1<k<x2 af(k)<0 ④k1<x1≤x2<k2 ⑤有且僅有一個(gè)根x1(或x2)滿足k1<x1(或x2)<k2 f(k1)f(k2)0,并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 ⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此結(jié)論可直接由⑤推出.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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