《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》,配套PPT課件,經(jīng)濟(jì),數(shù)學(xué),基礎(chǔ),配套,PPT,課件 第一章 極限與連續(xù) 一.教學(xué)目標(biāo) 1.學(xué)習(xí)在解決一些實(shí)際問題時，需要研究變量的變化趨勢。 2.極限理論是微積分學(xué)的基本推理工具，微積分學(xué)中的很多概念和定理都是用極限方法推導(dǎo)出來的。 二.課時分配 本項(xiàng)目共7個小節(jié)，安排14課時。 三.教學(xué)重點(diǎn) 本章將主要學(xué)習(xí)極限與連續(xù)的基本概念，以及它們的一些性質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)；極限理論是微積分學(xué)的基本推理工具，微積分學(xué)中的很多概念和定理都是用極限方法推導(dǎo)出來的。 四.教學(xué)難點(diǎn) 極限方法推導(dǎo)概念和定理。 五.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 函數(shù) 一.函數(shù)的概念 1.函數(shù)的定義 定義1：設(shè)D是由數(shù)組成的集合.如果對于每個數(shù)x∈D，變量y按照一定的對應(yīng)法則f總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，那么將對應(yīng)法則f稱為在D上x到y(tǒng)的一個函數(shù)，記作y=f（x），x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為函數(shù)的定義域。 2.函數(shù)的表示法 （1）表格法 （2）圖象法。 用圖象表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如下圖所示； （3） 解析法。 用一個等式表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如y=x+3，y=lg（x+2）等. 3.函數(shù)的定義域 要使解析式有意義，我們通?？紤]以下幾點(diǎn)： （1）分式的分母不能為零； （2）偶次根式的被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)； （3）對數(shù)式中的真數(shù)必須大于零； （4）冪函數(shù).指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù).三角函數(shù).反三角函數(shù)考慮各自的定義域； （5）若函數(shù)表達(dá)式是由幾個數(shù)學(xué)式子組成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集； （6）分段函數(shù)的定義域是各個定義區(qū)間的并集。 二.函數(shù)的幾種特性 1.奇偶性 定義2：設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱.如果對于任意的x∈D，f（-x）=-f（x），那么f（x）為奇函數(shù)；如果對于任意的x∈D，f（-x）=f（x），那么f（x）為偶函數(shù).否則f（x）為非奇非偶函數(shù)。 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，如圖所示；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示。 2.單調(diào)性 定義3：若對于區(qū)間D內(nèi)任意的兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，恒有f（x1）≤f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)增加，區(qū)間D稱為單調(diào)增區(qū)間；特別地，當(dāng)x1＜x2時，恒有f（x1)＜f（x2），則稱f（x)為D上的嚴(yán)格增函數(shù)；如果恒有f（x1）＞f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)減少，區(qū)間D稱為單調(diào)減區(qū)間；特別地當(dāng)x1＞x2時，恒有f（x1)＞f（x2），則稱f（x)為D上的嚴(yán)格減函數(shù)。 單調(diào)遞增函數(shù)的圖象沿x軸正向上升，如圖所示；單調(diào)遞減函數(shù)的圖象沿x軸正向下降，如圖所示 3.有界性 定義4:設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集XD.若存在數(shù)K1，使得f（x）≤K1 對任意x∈X都成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有上界，而K1稱為函數(shù)f（x）在X上的一個上界（任何大于K1的數(shù)也是f（x)在X上的上界）；若存在數(shù)K2，使得f（x）≥K2 4.周期性 定義5:設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，對于任意的x∈D，存在不為零的數(shù)T，使f（x+T）=f（x），那么f（x）為D上的周期函數(shù)，T稱為函數(shù)的一個周期，并且nT（n為非零整數(shù)）也是它的周期.平時，我們把函數(shù)的最小正周期稱為函數(shù)的周期。 三.初等函數(shù) 1.基本初等函數(shù) 我們把常數(shù)函數(shù)y=c（c為常數(shù)）.冪函數(shù)y=xα（α為實(shí)數(shù)）.指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）.對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）.三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 2.復(fù)合函數(shù) 定義6:若函數(shù)y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定義域中，則變量y通過變量u與變量x建立了對應(yīng)關(guān)系，這個對應(yīng)關(guān)系稱為y是x的復(fù)合函數(shù)，u是中間變量，x是自變量，通常將 y=f（u），u=g（x）合并寫成y=f［g（x）］ 第二節(jié) 極限 一.數(shù)列的極限 以前我們已經(jīng)學(xué)過數(shù)列的概念，現(xiàn)在我們來考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列{an}的變化趨勢.我們先看一個實(shí)例：一個籃球從距地面1m高處自由下落，受地心引力及空氣阻力作用，每次觸地后籃球又反彈到前一次高度的1/2處.于是，可得到表示籃球高度的一個數(shù)列： 我們知道，籃球最終會停在地面上，即反彈高度h=0，這說明，隨著反彈次數(shù)n的無限增大，數(shù)列通項(xiàng)hn=1/2n-1的值將趨向于0。 從圖中可看出，當(dāng)n增大時，點(diǎn)（n，an）從橫軸上方無限接近于直線an=0.這表明，當(dāng)n無限增大時，數(shù)列通項(xiàng)an=1/n的值無限趨近于零。 同樣，從圖中可看出，當(dāng)n增大時，點(diǎn)（n，an）從上下兩側(cè)無限接近于直線an=1.這表明，當(dāng)n無限增大時，數(shù)列通項(xiàng)an=（n+（-1）n）/n的值無限趨近于常數(shù)1。 定義1:如果無窮數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無限增大時，an無限趨近于一個確定的常數(shù)A，那么A就叫作數(shù)列{an}的極限（limit） limn→∞1/2n-1=0； limn→∞1/n=0； limn→∞(n+（-1）n)/n=1 二.函數(shù)的極限 1.當(dāng)x→∞時函數(shù)f（x）的極限 定義2:如果當(dāng)x→∞時，函數(shù)f（x）無限趨近于確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)f（x）當(dāng)x→∞時的極限，記作 limx→∞f（x）=A或當(dāng)x→∞時，f（x）→A 下面給出當(dāng)x→+∞或x→-∞時函數(shù)極限的定義。 定義3:如果當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時，函數(shù)f（x）的值無限趨近于一個確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時的極限，記作 limx→+∞f（x）=A，或當(dāng)x→+∞時，f（x）→A （limx→-∞f（x）=A，或當(dāng)x→-∞時，f（x）→A） 2.當(dāng)x→x0時函數(shù)f（x）的極限 定義4:設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某空心鄰域 鄰域就是在數(shù)軸上滿足{x||x-x0|＜δ}，δ＞0的點(diǎn)的集合，即區(qū)間（x0-δ，x0+δ）內(nèi)的一切實(shí)數(shù).x0稱為鄰域的中心，δ為半徑.若這個區(qū)間不含點(diǎn)x0，則稱為x0的空心δ鄰域。 第三節(jié) 無窮小量與無窮大量 一.無窮小量 定義1:如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時，函數(shù)f（x）的極限為零，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時為無窮小量，簡稱無窮小。 例如，當(dāng)x→0時，sinx是無窮??；當(dāng)x→∞時，1x是無窮小。 二.無窮大量 定義2:如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時，函數(shù)f（x）的絕對值無限增大，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時為無窮大量，簡稱無窮大. 如果按函數(shù)極限的定義來看，f（x）的極限不存在，但是為了便于敘述，我們稱“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作 limx→x0（x→∞）f（x）=∞ 三.無窮小量與無窮大量的關(guān)系 定理:在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大，那么1f（x）為無窮?。环粗绻鹒（x）為無窮小，且f（x）≠0，那么1f（x）為無窮大. 例如，因?yàn)閘imx→∞x3=∞，所以limx→∞ 1x3=0；因?yàn)閘imx→0sinx=0，所以limx→01sinx=∞ 四.無窮小量的性質(zhì) 在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下三個性質(zhì)： 性質(zhì)1:有限個無窮小的代數(shù)和為無窮小。 性質(zhì)2:有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。 性質(zhì)3:有限個無窮小的乘積為無窮小。 第四節(jié) 極限的運(yùn)算法則 法則設(shè)limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B，則有 （1） limx→x0［f（x）±g（x）］=limx→x0f（x）± limx→x0g（x）=A±B； （2） limx→x0［f（x）·g（x）］=limx→x0f（x）· limx→x0g（x）=A·B； （3） limx→x0［Cf（x）］=C·limx→x0f（x）=C·A（C為常數(shù)）； （4） limx→x0f（x）g（x）= limx→x0f（x） limx→x0g（x）=AB（B≠0） 第五節(jié) 兩個重要極限 一.判定極限存在的兩個準(zhǔn)則 準(zhǔn)則1:如果函數(shù)f（x），g（x），h（x）在同一變化過程中滿足 g（x）≤f（x）≤h（x） 且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A。 準(zhǔn)則2：若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則limn→∞xn一定存在。 二.兩個重要極限公式 1.limx→0sinx/x=1 我們考察當(dāng)x趨近于0時，函數(shù)sinx/x的變化趨勢，列表如下： 從上表中可以看出，當(dāng)x→0時，sinx/x→1，即 limx→0sinx/x=1 2.limx→∞(1+1/x)/x=e 我們考察當(dāng)x→∞時，函數(shù)(1+1/x)x的變化趨勢，列表如下： 從上表中可以看出，當(dāng)x→+∞和x→-∞時，函數(shù)1+1xx無限趨近于一個確定的常數(shù)，這個常數(shù)就是無理數(shù)e=2.718 281 828 45…，即 limx→∞1+1xx=e 在上式中，令u=1x，則當(dāng)x→∞時，u→0，于是我們可以得到另一種形式 limu→0（1+u）1u=limx→∞1+1xx=e， 即 limx→0（1+x）1x=e 第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 一.函數(shù)連續(xù)的概念 1.函數(shù)的增量 定義1:設(shè)函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量由初值x0變到終值x1時，我們把差值x1-x0叫作自變量的增量（或改變量），記作Δx，即 Δx=x1-x0， 因此x1=x0+Δx 這時可以說，自變量由初值x0變化到x0+Δx. 相應(yīng)地，函數(shù)值由f（x0）變化到f（x0+Δx），我們把差值 f（x0+Δx）-f（x0） 叫作函數(shù)的增量（或改變量），記作Δy，即 Δy=f（x0+Δx）-f（x0） 2.函數(shù)的連續(xù) 定義2:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量Δx趨近于零時，函數(shù)y=f（x）的相應(yīng)增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趨近于零，也就是說，有 lim Δy=0或lim［f（x0+Δx）-f（x0）］=0， 那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn) 定義3:如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0 某鄰域內(nèi)有定義，并且limf（x）=f（x0），那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn)。 定義4:設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處及其左（或右）鄰域內(nèi)有定義，如果limf（x）=f（x0）（或limf（x）=f（x0）），那么稱函數(shù)f（x）在x0處左連續(xù)（或右連續(xù)）。 定義5:如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，或稱函數(shù)f（x）為區(qū)間（a，b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間（a，b）稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間。 二.初等函數(shù)的連續(xù)性 1.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性 性質(zhì)1：如果函數(shù)f（x）與g（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，那么它們的和.差.積.商（分母在x0處不等于零）也都在x0處連續(xù).即 lim［f（x）±g（x）］=f（x0）±g（x0）； lim［f（x）·g（x）］=f（x0）g（x0）； limf（x）g（x）=f（x0）g（x0）（g（x0）≠0）. 2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 性質(zhì)2如果函數(shù)u=φ（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，且φ（x0）=u0，而函數(shù)y=f（u）在點(diǎn)u0處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f［φ（x）］在點(diǎn)x0處也連續(xù)。 3.初等函數(shù)的連續(xù)性 性質(zhì)3：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。 這個結(jié)論對于以后判定函數(shù)連續(xù)性及一些極限的運(yùn)算是非常有價值的。如果已知函數(shù)f（x）是初等函數(shù)，且x0屬于f（x）的定義區(qū)間，那么求limf（x）時，只需將x0代入函數(shù)，求函數(shù)值f（x0）即可。 三.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)4：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，那么函數(shù)f（x）在［a，b］上一定有最大值與最小值。 如圖所示，可以看出，在［a，b］上至少有一點(diǎn)ξ（a≤ξ≤b）使得f（ξ）=m為最小值，即m=f（ξ）≤f（x）（a≤x≤b），又至少有一點(diǎn)η（a≤η≤b）使f（η）=M為最大值，即M=f（η）≥f（x）（a≤x≤b）. 對于在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)的函數(shù)，其最大值.最小值不一定存在。 性質(zhì)5：如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且在兩端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f（a）=A和f（b）=B，C是A與B之間的任一數(shù)，那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得 f（ξ）=C（a＜ξ＜b） 這就是著名的介值定理，它的幾何意義是：在［a，b］上的連續(xù)曲線y=f（x）與直線y=C（C在A與B之間）至少有一個交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（ξ，f（ξ）），其中f（ξ）=C，如圖所示。 推論如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，那么至少存在一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得f（ξ）=0。 第七節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù) 一.需求函數(shù)與供給函數(shù) 1.需求函數(shù) 一種商品的市場需求量Q與該商品的價格P密切相關(guān)，通常降低商品價格會使需求量增加；提高商品價格會使需求量減少.如果不考慮其他因素的影響，需求量Q可以看成是價格P的一元函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作 Q=Q（P）. 一般來說，需求函數(shù)為價格P的單調(diào)減少函數(shù)。 2.供給函數(shù) 某種商品的市場供給量S也受商品價格P的制約，價格上漲將刺激生產(chǎn)者向市場提供更多的商品，使供給量增加；反之，價格下跌將使供給量減少．供給量S也可看成價格P的一元函數(shù)，稱為 供給函數(shù)，記為 S=S（P） 供給函數(shù)為價格P的單調(diào)增加函數(shù)。 常見的供給函數(shù)有線性函數(shù).二次函數(shù).冪函數(shù).指數(shù)函數(shù)等。其中，線性供給函數(shù)為 S=-c+dP（c>0，d>0） 二.成本函數(shù)、平均成本函數(shù) 設(shè)Q為某種產(chǎn)品的產(chǎn)量，C為生產(chǎn)此種產(chǎn)品的成本，則用 C=C（Q） 表示該種產(chǎn)品的成本函數(shù)。 設(shè)生產(chǎn)每個單位產(chǎn)品的成本為a，固定成本為C0，則成本函數(shù)為 C=C（Q）=aQ+C0 用C表示生產(chǎn)Q個單位產(chǎn)品的平均成本，則 C=C（Q）=C（Q）Q 表示每單位的平均成本函數(shù).平均成本函數(shù)也用AC表示. 三.價格函數(shù)、收入函數(shù)與利潤函數(shù) 在消費(fèi)理論中，需求函數(shù)是我們前面討論的形式 Q=f（P） 這種形式所強(qiáng)調(diào)的是既定價格下的需求量．在廠商理論中，強(qiáng)調(diào)的是既定需求下的價格．在這種情況下，價格是需求量的函數(shù)，表示為 P=P（Q） 六．課后習(xí)題 完成每章后面的復(fù)習(xí)題。 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)目錄 directories第一節(jié) 行列式第二節(jié) 克拉默法則第七章 行列式學(xué)習(xí)行列式在許多理論和實(shí)際問題中的重要作用；學(xué)習(xí)行列式的定義、基本性質(zhì)、計(jì)算方法及其在求解線性方程組中的應(yīng)用.學(xué)習(xí)重點(diǎn) 第七章 行列式行列式這個概念究竟是如何形成的呢?這就得從求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等的一次（線性）方程組入手.在初等代數(shù)中，用加、減消元法求解一個二元一次方程組一、二階和三階行列式 第一節(jié) 行列式具體步驟是：先從方程組里消去x2而求得x1，這只要將方程組的第1、第2兩個式子分別乘以a22與-a12，然后再相加，就得到一、二階和三階行列式 第一節(jié) 行列式如果未知量x1，x2的系數(shù)a11a22-a12a210，那么，這個線性方程組有唯一解：為了便于使用與記憶，我們引進(jìn)二階行列式的概念.如果把線性方程組中未知量x1，x2的系數(shù)按原來的位置寫成兩行兩列的數(shù)表，并用兩根豎線加以標(biāo)出，那么，便得到一個二階行列式，對此除引入字母D作為記號外，還規(guī)定：一、二階和三階行列式 第一節(jié) 行列式式最右邊的式子稱為二階行列式D的展開式.于是，線性方程組的解可以表示為一、二階和三階行列式 第一節(jié) 行列式若記一、二階和三階行列式 第一節(jié) 行列式則線性方程組的解可表示為由此可見，二階行列式的引入與二元一次方程組有關(guān)，它表示排成兩行兩列的4個數(shù)在規(guī)定運(yùn)算下得到的一個數(shù)值.前面，我們首先定義了二階行列式，并指出了三階行列式可通過轉(zhuǎn)化為二階行列式來計(jì)算.下面，按照這種思路給出n階行列式的一種歸納定義.定義1：由n2個元素aij（i，j=1，2，n）組成的記號二、n階行列式的定義 第一節(jié) 行列式二、n階行列式的定義 第一節(jié) 行列式稱為n階行列式，其中橫排稱為行，豎排稱為列.它表示一個由確定的遞推運(yùn)算關(guān)系所得到的數(shù)：當(dāng)n=1時，D1=|a11|=a11；二、n階行列式的定義 第一節(jié) 行列式二、n階行列式的定義 第一節(jié) 行列式需要指出的是：當(dāng)n=1，2，3時，可以利用上述規(guī)定求行列式的值，但是當(dāng)n3時，如何求解呢?為了尋求普遍有效的展開方法，下面介紹行列式元素的余子式與代數(shù)余子式的概念.定義2：在n階行列式D中，劃去元素aij所在第i行、第j列的元素，剩余元素按原順序組成的一個n-1階行列式，稱為aij的余子式，記為Mij.在Mij前乘上（-1）i+j，稱為aij的代數(shù)余子式，記為Aij=（-1）i+jMij.三、幾個常用的特殊行列式 第一節(jié) 行列式形如的行列式分別稱為上三角行列式與下三角行列式，其特點(diǎn)是主對角線以上（下）的元素全為零.三、幾個常用的特殊行列式 第一節(jié) 行列式我們先來計(jì)算下三角行列式的值.根據(jù)n階行列式的定義，每次均通過按第一行展開的方法來降低行列式的階數(shù)，而每次第一行都僅有第一項(xiàng)不為零，故有四、行列式的性質(zhì) 第一節(jié) 行列式將行列式D的行與列互換后得到的行列式，稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT或D，即若四、行列式的性質(zhì) 第一節(jié) 行列式性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT.性質(zhì)2：交換行列式的兩行（列），行列式變號.推論1：若行列式中有兩行（列）的對應(yīng)元素相同，則此行列式為零.證明互換D中相同的兩行（列），有D=-D，故D=0.性質(zhì)3：用數(shù)k乘行列式的某一行（列），等于用數(shù)k乘此行列式.四、行列式的性質(zhì) 第一節(jié) 行列式例如則四、行列式的性質(zhì) 第一節(jié) 行列式推論2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.推論3：行列式中若有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零.性質(zhì)4：若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個行列式之和.這兩個行列式是分別以這兩個數(shù)為所在行（列）對應(yīng)位置的元素，其他位置的元素與原行列式相同.四、行列式的性質(zhì) 第一節(jié) 行列式設(shè)則四、行列式的性質(zhì) 第一節(jié) 行列式性質(zhì)5：將行列式的某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)k后加到另一行（列）對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變.以三階行列式為例，將數(shù)k乘第一行加到第二行上，有五、利用“三角化”計(jì)算行列式 第一節(jié) 行列式計(jì)算行列式時，常用行列式的性質(zhì)，把它轉(zhuǎn)化為三角行列式來計(jì)算.例如，化為上三角行列式的步驟是：如果第一列第一個元素為0，先將第一行與其他行交換，使得第一列第一個元素不為0，然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其他各行，使得第一列除第一個元素外其余元素全為0；再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式；如此繼續(xù)下去，直至使它成為上三角行列式，這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值 第二節(jié) 克拉默法則我們知道，對三元線性方程組在其系數(shù)行列式D0的條件下，有唯一解：第二節(jié) 克拉默法則其中那么，對于更一般的線性方程組是否有類似的結(jié)果?答案是肯定的.在引入克拉默法則之前，我們先介紹有關(guān)n階線性方程組的概念.含有n個未知數(shù)x1，x2，xn的線性方程組 第二節(jié) 克拉默法則定理1：（克拉默法則）若線性方程組（78）的系數(shù)行列式D0，則線性方程組有唯一解，其解為 第二節(jié) 克拉默法則其中Dj（j=1，2，n）是把D中第j列元素a1j，a2j，anj對應(yīng)地?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)b1，b2，bn，而其余各列保持不變所得到的行列式.定理2：若線性方程組的系數(shù)行列式D0，則線性方程組一定有解，且解是唯一的.定理3：若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0，則齊次線性方程組只有零解.第二節(jié) 克拉默法則其中Dj（j=1，2，n）是把D中第j列元素a1j，a2j，anj對應(yīng)地?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)b1，b2，bn，而其余各列保持不變所得到的行列式.定理2：若線性方程組的系數(shù)行列式D0，則線性方程組一定有解，且解是唯一的.定理3：若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0，則齊次線性方程組只有零解.生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 C(q)=8q(萬元/百臺)，邊際收入為 R(q)=100-2q（萬元/百臺），其中q為產(chǎn)量，問:（1）產(chǎn)量為多少時，利潤最大？（2）從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？學(xué)習(xí)重點(diǎn) 第七章 行列式謝謝觀看謝謝觀看經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)目錄 directories 第一節(jié) 隨機(jī)事件第二節(jié) 事件的概率第三節(jié) 條件概率、乘法公式與事件的獨(dú)立性第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布第十章 概率論初步第五節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征學(xué)習(xí)多元函數(shù)及多元函數(shù)的微分與積分的問題；遵循與一元函數(shù)相同的分析思路，重點(diǎn)學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限、連續(xù)及其微分學(xué).學(xué)習(xí)重點(diǎn) 第十章 概率論初步1.隨機(jī)現(xiàn)象自然界與人類社會存在和發(fā)生的各種現(xiàn)象，大致可歸結(jié)為兩類：一類稱為確定性現(xiàn)象，即條件完全決定結(jié)果的現(xiàn)象.例如在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水被加熱到100時一定沸騰.另一類稱為隨機(jī)現(xiàn)象，即條件不能完全決定結(jié)果的現(xiàn)象.2.隨機(jī)試驗(yàn)為了深入研究隨機(jī)現(xiàn)象，就必須在一定的條件下對它進(jìn)行多次觀察.若把一次觀察視為一次試驗(yàn)，觀測到的結(jié)果就是試驗(yàn)結(jié)果.概率論中把滿足下列條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).一、隨機(jī)事件的概念 第一節(jié) 隨機(jī)事件3.隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們通常不僅關(guān)心某個樣本點(diǎn)出現(xiàn)，更關(guān)心滿足某些條件的樣本點(diǎn)出現(xiàn)，即關(guān)心試驗(yàn)時可能出現(xiàn)的某種結(jié)果.例如，在擲骰子的試驗(yàn)E6中，我們可能關(guān)心是否出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，亦或可能關(guān)注是否出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)（即點(diǎn)數(shù)1，3，5）等結(jié)果.它們皆為樣本空間的子集（隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果），我們稱之為隨機(jī)事件，簡稱為事件.4.樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，用來表示.中的元素，即E的每一個可能結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)，一般用表示.一、隨機(jī)事件的概念 第一節(jié) 隨機(jī)事件1.包含關(guān)系若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記作AB，如圖所示.二、事件間的關(guān)系與運(yùn)算 第一節(jié) 隨機(jī)事件2.和（并）事件事件A與事件B中至少有一個發(fā)生，即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，這個事件稱為事件A與事件B的和（并）事件，記作AB（或A+B），如圖所示.二、事件間的關(guān)系與運(yùn)算 第一節(jié) 隨機(jī)事件3.積（交）事件事件A與事件B同時發(fā)生，即事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，這個事件稱為事件A與事件B的積（交）事件，記作AB（或AB），如圖所示.二、事件間的關(guān)系與運(yùn)算 第一節(jié) 隨機(jī)事件4.差事件事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，這個事件稱為事件A與事件B的差事件，記作A-B（或AB），如圖所示.二、事件間的關(guān)系與運(yùn)算 第一節(jié) 隨機(jī)事件5.互斥關(guān)系（互不相容）若事件A與事件B不可能同時發(fā)生，則稱事件A與事件B互斥，或稱事件A與事件B互不相容，記作AB，如圖所示.二、事件間的關(guān)系與運(yùn)算 第一節(jié) 隨機(jī)事件6.對立（逆）事件對于事件A，若事件A滿足AA=，AA=，則把事件A稱為事件A的對立事件，如圖所示.二、事件間的關(guān)系與運(yùn)算 第一節(jié) 隨機(jī)事件古典概率模型簡稱古典概型，通常是指具有下列兩個特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?（1）隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個可能的結(jié)果，即有限個樣本點(diǎn)（有限性）；（2）每一個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等（等可能性）.古典概型又稱為等可能性概型.在概率論產(chǎn)生和發(fā)展的過程中，它是最早的研究對象，在實(shí)際應(yīng)用中它也是最常用的一種概率模型.一、概率的古典定義 第二節(jié) 事件的概率對于古典概型，以=1，n表示樣本空間，i（i=1，2，n）表示樣本點(diǎn)，對于任一隨機(jī)事件A=i1，in，下面給出古典概型的定義.定義：（概率的古典概型定義）對于給定的古典概型，若樣本空間中有n個樣本點(diǎn)，事件A含有m個樣本點(diǎn)，則事件A的概率為P（A）=mn=事件A所含樣本點(diǎn)的個數(shù)樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個數(shù).一、概率的古典定義 第二節(jié) 事件的概率頻率描述了事件發(fā)生的頻繁程度.頻率的定義若在同一組條件下將試驗(yàn)E重復(fù)N次，事件A發(fā)生了m次，則稱比值mN為事件A在N次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fN（A），即fN（A）=mN.概率的統(tǒng)計(jì)定義在觀察某一隨機(jī)事件A的隨機(jī)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率fn（A）會越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動，這時就以常數(shù)p作為事件A的概率，并稱其為統(tǒng)計(jì)概率，即P（A）=p.二、概率的統(tǒng)計(jì)定義 第二節(jié) 事件的概率二、概率的統(tǒng)計(jì)定義 第二節(jié) 事件的概率由頻率和概率的統(tǒng)計(jì)定義，可以得到統(tǒng)計(jì)概率的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：0P（A）1；（2）規(guī)范性：P（）=1；（3）有限可加性：若事件A1，A2，An互不相容，則P（ni=1Ai）=ni=1P（Ai）.二、概率的統(tǒng)計(jì)定義 第二節(jié) 事件的概率前面我們討論了一個事件A的概率P（A）的計(jì)算.但在實(shí)際生活中，我們常常需要求在事件B已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，我們記為P（A|B）.一般來說，這兩個概率是不同的.現(xiàn)在考慮：已知事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，則P（A|B）=23=2434=P（AB）P（B），即P（A|B）=P（AB）P（B）.定義1：設(shè)A，B為試驗(yàn)E的兩個事件，且P（B）0，則稱P（A|B）=P（AB）P（B）為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，簡稱條件概率.一、條件概率 第三節(jié) 條件概率、乘法公式與事件的獨(dú)立性若已知P（B），P（A|B），也可以求P（AB）.這就是概率的乘法公式.定理1設(shè)P（B）0，則有P（AB）=P（B）P（A|B）.（101）設(shè)P（A）0，則有P（AB）=P（A）P（B|A）.（102）式（101）、式（102）稱為概率的乘法公式.二、乘法公式 第三節(jié) 條件概率、乘法公式與事件的獨(dú)立性概率的乘法公式可以推廣到任意n個事件的情形.若事件二、乘法公式 第三節(jié) 條件概率、乘法公式與事件的獨(dú)立性一般情況下，條件概率P（B|A）與P（B）是不同的.但在某些特殊情況下，條件概率P（B|A）等于無條件概率P（B），這時事件B發(fā)生與否不影響事件A的概率.這表明事件A與事件B之間存在某種獨(dú)立性.定義2：設(shè)A與B為兩事件，若P（AB）=P（A）P（B）成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.三、事件的獨(dú)立性 第三節(jié) 條件概率、乘法公式與事件的獨(dú)立性由定義2，可以推出如下定理和性質(zhì)成立.定理2：設(shè)A，B為兩事件，且P（A）0，則A與B相互獨(dú)立的充要條件是P（B|A）=P（B）.證明設(shè)A，B相互獨(dú)立，即P（AB）=P（A）P（B），則P（B|A）=P（AB）P（A）=P（A）P（B）P（A）=P（B）；反之，設(shè)P（B|A）=P（B），則P（AB）=P（A）P（B|A）=P（A）P（B）.三、事件的獨(dú)立性 第三節(jié) 條件概率、乘法公式與事件的獨(dú)立性顯然，當(dāng)P（B）0時，定理2中的充要條件可改為P（A|B）=P（A）.而當(dāng)P（A），P（B）至少有一個為零時，由ABA及ABB易知，此時仍有P（AB）=P（A）P（B）成立.這表明，概率為零的事件與任一事件相互獨(dú)立.性質(zhì)（1）不可能事件與任何事件獨(dú)立.三、事件的獨(dú)立性 第三節(jié) 條件概率、乘法公式與事件的獨(dú)立性我們發(fā)現(xiàn)在討論隨機(jī)事件及其概率時，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)值有密切的關(guān)聯(lián).試驗(yàn)的結(jié)果可以用某些實(shí)數(shù)值加以刻畫.許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是一個數(shù)值.雖然有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不直接表現(xiàn)為數(shù)值，但卻可以將其數(shù)量化.定義1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E，它的樣本空間=.若對任一，都有實(shí)數(shù)X（）與之對應(yīng)，則稱X（）為隨機(jī)變量.簡記為X.引進(jìn)隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件就可以表示為隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的取值.例如，在擲骰子實(shí)驗(yàn)中恰出現(xiàn)5點(diǎn)表示為X=5，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不少于3表示為X3.一、隨機(jī)變量的概念 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布定義2：設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)F（x）=PXx為X的分布函數(shù).分布函數(shù)F（x）的性質(zhì)：（1）F（x）單調(diào)不減，即當(dāng)x1x2時，F(xiàn)（x1）F（x2）；（2）0F（x）1，且F（-）=limx-F（x）=0，F(xiàn)（+）=limF（x）=1；（3）F（x）在任意一點(diǎn)x處右連續(xù)，即F（x+0）=limF（t）.二、分布函數(shù) 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布1.離散型隨機(jī)變量及其分布定義3：若隨機(jī)變量X只能取有限個或可列無窮多個數(shù)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量.定義4：設(shè)xk（k=1，2，）為離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值，pk（k=1，2，）是X取值xk時相應(yīng)的概率，即PX=xk=pk，k=1，2，則上式叫作離散型隨機(jī)變量X的概率分布，其中pk0且pk=1.三、離散型隨機(jī)變量及其分布的定義 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量X的概率分布也可以用表的形式來表示，稱其為離散型隨機(jī)變量X的分布律.三、離散型隨機(jī)變量及其分布的定義 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布1.連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)的定義定義5：對于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)可積函數(shù)f（x）（-x+），對于任意的實(shí)數(shù)a，b（ab），都有PaXb=baf（x）dx.（108）則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f（x）稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).有時也可用其他函數(shù)符號如p（x）等表示.四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布在一些試驗(yàn)中，所關(guān)心的隨機(jī)變量往往不能由直接測量得到，但它卻是某個能直接測量隨機(jī)變量的函數(shù).本小節(jié)主要討論如何由已知隨機(jī)變量X的分布去求它的函數(shù)Y=g（X）的分布.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布定理設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如表所示.X的分布律五、隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布定義6：設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x，y，二元函數(shù)F（x，y）=P（Xx，Yy）稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布函數(shù).定義7：設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x，y），如果讓其中一個隨機(jī)變量的取值趨于無窮，就能得到X或Y的分布函數(shù)，則有FX（x）=P（Xx）=P（Xx）=P（XxY+）=P（Xx，Y+）=F（x，+），即FX（x）=F（x，+）.六、二維隨機(jī)變量及分布的幾個相關(guān)概念 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布同理，有FY（y）=F（+，y），分別稱FX（x）和FY（y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).定義8：設(shè)F（x，y）及FX（x），F(xiàn)Y（y）分別為隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對于任意實(shí)數(shù)x，y，有P（Xx，Yy）=P（Xx）P（Yy），即F（x，y）=FX（x）FY（y）成立，則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.六、二維隨機(jī)變量及分布的幾個相關(guān)概念 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布定義9：若二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值為有限或可列對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量.對于二維離散型隨機(jī)變量（X，Y），若它至多只能取有限或可數(shù)無限對不同值（xi，yj）（i，j=1，2，），則稱（X，Y）取各可能值的相應(yīng)的概率P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，為（X，Y）的分布律或概率分布，或稱為X與Y的聯(lián)合分布律.六、二維隨機(jī)變量及分布的幾個相關(guān)概念 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX=xi=pi（i=1，2，），則稱和式xipi為離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作一、數(shù)學(xué)期望 第五節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征或記EX，即數(shù)學(xué)期望等于離散型隨機(jī)變量的所有可能取值與其對應(yīng)概率乘積之和.2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望對于連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望概念的引入，大體上可以在離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望基礎(chǔ)上，沿用高等數(shù)學(xué)中生成定積分的思路，改求和為求積分即可.定義2：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）（-x+），若積分+-xf（x）dx絕對收斂，則稱積分f（x）dx的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.記為一、數(shù)學(xué)期望 第五節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在實(shí)踐中，我們經(jīng)常會遇到已知隨機(jī)變量X的概率分布，求其隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g（X）的數(shù)學(xué)期望Eg（X）的問題.例如，已知圓盤半徑X的概率分布，需要求其面積Y=X2的數(shù)學(xué)期望E（X2）.我們當(dāng)然可以先求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g（X）的分布，然后求其數(shù)學(xué)期望E（Y）.而由前面所學(xué)內(nèi)容知，求隨機(jī)變量函數(shù)的分布是個相當(dāng)復(fù)雜甚至困難的問題，尤其是對于連續(xù)型的情形.一、數(shù)學(xué)期望 第五節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.方差的概念為不使正、負(fù)偏差互相抵消，易得到量E|X-EX|能度量隨機(jī)變量X與其均值EX的偏離程度.但由于上式含絕對值，在運(yùn)算上不方便，通常是用量E（X-EX）2取而代之.定義3：設(shè)X是隨機(jī)變量，若E（X-EX）2存在，則稱它為隨機(jī)變量X的方差，記為D（X），即D（X）=E（X-EX）2.與隨機(jī)變量X具有相同量綱的量D（X）稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.二、方差 第五節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征2.切比雪夫大數(shù)定律設(shè)X1，X2，Xn，是一個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，每個Xi的數(shù)學(xué)期望E（Xi）存在，且方差D（Xi）有限，公共上界為c，即D（Xi）c（i=1，2，），則對任意0，都有二、方差 第五節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征切比雪夫大數(shù)定律說明相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均X=1nni=1Xi依概率收斂于它們數(shù)學(xué)期望的平均值=1nni=1E（Xi）=E（X）.已知某產(chǎn)品的邊際成本C(q)=2(元/件)，固定成本為0，邊際收入R(q)=12一0.02q(元/件)，求：(1)產(chǎn)量為多少時利潤最大?(2)在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤將發(fā)生什么變化？思考題 第十章 概率論初步謝謝觀看謝謝觀看經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)目錄 directories 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第二節(jié) 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)第三節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)第十一章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步學(xué)習(xí)以隨機(jī)現(xiàn)象為研究對象；學(xué)習(xí)概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的實(shí)際應(yīng)用；主要學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容.學(xué)習(xí)重點(diǎn) 第十一章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們把研究對象的全體稱為總體，而把組成總體的每個基本元素稱為個體.對于總體概念進(jìn)行隨機(jī)化處理，為的是把概率論的一套方法引進(jìn)到數(shù)理統(tǒng)計(jì)中來，并作為研究數(shù)理統(tǒng)計(jì)的工具.一、總體與個體 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念從總體X中隨機(jī)抽出的n個個體X1，X2，Xn，其全體（X1，X2，Xn）便為總體X的樣本.其中Xi（i=1，2，n）稱為樣本的第i個樣品.樣本中所含樣品個數(shù)n稱為樣本容量.由于對總體特征的考察，其信息來自從中抽取的樣本，因此要求樣本應(yīng)滿足下述兩條基本要求：（1）獨(dú)立性X1，X2，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；（2）代表性X1，X2，Xn中的每一個個體都與總體X有相同分布.二、樣本與樣本容量 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念1.常用統(tǒng)計(jì)量 假設(shè)（X1，X2，Xn）是總體X的樣本，則稱（1）vk=1/nXki為樣本的k階原點(diǎn)矩.其中，k為正整數(shù).特別地，當(dāng)k=1時，樣本的一階原點(diǎn)矩稱為樣本均值，記為X.（2）uk=1/n（Xi-X）k為樣本的k階中心矩.（3）S*2n=1/(n-1)（Xi-X）2為樣本方差.三、幾個常用統(tǒng)計(jì)量 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念2.常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征設(shè)（X1，X2，Xn）是總體X的樣本，且XN（，2），則（1）E（X）=，D（X）=2/n.（2）E（S2n）=(n-1)/n2，E（S*2n）=2.三、幾個常用統(tǒng)計(jì)量 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念1.2分布定義1:設(shè)X1，X2，Xn為n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則稱隨機(jī)變量四、幾個重要分布 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念所服從的分布是自由度為n的2分布，記為2（n）.根據(jù)卷積公式和數(shù)學(xué)歸納法，可以證明2（n）的概率密度為四、幾個重要分布 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念性質(zhì)1:（可加性）設(shè)Y12（m），Y22（n），且Y1與Y2相互獨(dú)立，則Y1+Y22（m+n）.性質(zhì)2:（2分布的數(shù)字特征）若22（n），則E（2）=n，D（2）=2n.2.t分布定義2:設(shè)隨機(jī)變量XN（0，1），Y2（n），且X與Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量四、幾個重要分布 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念服從自由度為n的t分布，記為Tt（n）.隨機(jī)變量T亦稱為t變量.利用獨(dú)立隨機(jī)變量商的密度公式，不難由已知的N（0，1），2（n）的密度公式得到t（n）的密度：四、幾個重要分布 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念下面介紹t分布具有的性質(zhì).性質(zhì)3:設(shè)隨機(jī)變量Tt（n），則當(dāng)n2時，有E（T）=0，D（T）=n/n-2.性質(zhì)4:設(shè)隨機(jī)變量Tt（n），p（t）是T的分布密度，則四、幾個重要分布 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念3.F分布性質(zhì)5:設(shè)X2（n1），Y2（n2），且X與Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為n1和n2的F分布，記為FF（n1，n2）.F分布的密度函數(shù)為一、點(diǎn)估計(jì)的概念 第二節(jié) 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x，），這里x是變量.分布函數(shù)的類型，可以為已知也可以為未知；是參數(shù)，可以是一個數(shù)，也可以是一個向量.在這里，或的某函數(shù)是我們要估計(jì)的對象，假定是未知的，以后為書寫方便起見，就用來表示本身（的真值）或的某函數(shù)g（）.二、估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn) 第二節(jié) 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)1.估計(jì)量的無偏性定義：設(shè)是參數(shù)的估計(jì)量，二、估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn) 第二節(jié) 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)2.估計(jì)量的有效性僅僅要求估計(jì)的無偏性還是很不夠的，有的估計(jì)雖然無偏，但是取偏離很遠(yuǎn)的值的概率很大.這種無偏估計(jì)顯然是不理想的.為了使估計(jì)有更好的優(yōu)良性，應(yīng)在無偏性的基礎(chǔ)上進(jìn)一步達(dá)到方差盡量小.定義：設(shè)都是總體未知參數(shù)的無偏估計(jì)量，若對任意的，恒有二、估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn) 第二節(jié) 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)3.估計(jì)量的一致性無偏性和有效性是在樣本容量n固定的情況下建立起來的評判估計(jì)量優(yōu)劣的準(zhǔn)則，然而估計(jì)量（X1，X2，Xn）依賴于樣本容量n，當(dāng)樣本容量n增大時，由樣本提供的總體的信息量也隨之增多.因而用對進(jìn)行估計(jì)時，隨著n的增大，這種估計(jì)也應(yīng)更加準(zhǔn)確有效.也就是說，我們有理由要求當(dāng)樣本容量n無限增大時，估計(jì)量能在某種意義上越來越接近于被估計(jì)的參數(shù)的真值，這就是估計(jì)量的一致性.二、估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn) 第二節(jié) 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)定義：設(shè)是未知參數(shù)的估計(jì)量，若當(dāng)n時，依概率收斂于，即對任意0，有則稱為參數(shù)的一致估計(jì)或相合估計(jì).一、置信區(qū)間 第三節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體分布含有一個未知參數(shù)，若由樣本所確定的兩個統(tǒng)計(jì)量1，2，對于給定的（01），能滿足條件P12=1-，則區(qū)間（1，2）稱為的1-置信區(qū)間.1為置信下限，2為置信上限，它們統(tǒng)稱為置信限，1-稱為置信水平，在一般情況下，取0.01，0.05，0.10等.二、正態(tài)總體均值的置信區(qū)間 第三節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)為了計(jì)算置信區(qū)間的上、下限2和1，必須引進(jìn)一個估計(jì)量.我們知道正態(tài)總體參數(shù)的估計(jì)量為對于已知2來說，當(dāng)=0.05時，根據(jù)題意需要計(jì)算滿足條件二、正態(tài)總體均值的置信區(qū)間 第三節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)于是即二、正態(tài)總體均值的置信區(qū)間 第三節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)于是推廣到一般，如果已知正態(tài)總體N（，2），其中，2為已知，未知，（x1，x2，xn）為來自總體的一個樣本，則的1-置信區(qū)間為三、正態(tài)總體方差的置信區(qū)間 第三節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)求2的置信區(qū)間的步驟與求的置信區(qū)間相仿，即引進(jìn)一個隨機(jī)變量，且它的分布依賴于2的估計(jì)量S2，而和2無關(guān).若總體XN（，2），（x1，x2，xn）為來自總體X的一個樣本，S2為樣本方差，則統(tǒng)計(jì)量2=（n-1）S*2n/2服從自由度（n-1）的2分布，記為22（n-1）.一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)1.假設(shè)檢驗(yàn)的問題舉例【例1】某廠有一批產(chǎn)品200件，按規(guī)定次品率不超過3才能出廠.今在其中任意抽取10件，發(fā)現(xiàn)10件產(chǎn)品中有兩件次品.問這批產(chǎn)品能否出廠?【解】這一批產(chǎn)品可看作一個總體，次品率設(shè)為p，其為總體的一個參數(shù).實(shí)際上所要解決的問題是：判斷是否有p0.03.一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)【例2】某廠生產(chǎn)的滾球直徑服從正態(tài)分布N（15.1，0.05）.現(xiàn)從某天生產(chǎn)的滾球中隨機(jī)抽取6個，測得其平均直徑為x=14.95mm，假定方差不變，問這天生產(chǎn)的滾球是否符合要求?【解】依題意，這天生產(chǎn)的滾球直徑服從正態(tài)分布N（，0.05）.如果這天的滾球生產(chǎn)符合要求，滾球直徑應(yīng)該在15.1mm附近波動，即隨機(jī)變量X的期望=15.1；否則認(rèn)為不符合要求.這樣所要解決的問題是：判斷是否有=15.1.一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)【例3】在針織品的漂白工藝過程中，要考慮溫度對針織品斷裂強(qiáng)力的影響.為了比較70和80的影響有無差別，在這兩個溫度下，分別重復(fù)做了8次試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下（單位：kg）：70時的斷裂強(qiáng)力20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2；80時的斷裂強(qiáng)力17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1.一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn) 設(shè)斷裂強(qiáng)力服從正態(tài)分布，若方差不變，問70時的斷裂強(qiáng)力與80時的斷裂強(qiáng)力有沒有顯著差別?【解】如果設(shè)在70和80時的斷裂強(qiáng)力分別為X和Y，則XN（1，2），YN（2，2）.要考察70時的斷裂強(qiáng)力和80時的斷裂強(qiáng)力有沒有顯著差別，只要看看這兩個溫度下斷裂強(qiáng)力的期望1和2是否相等即可，因此所要解決的問題是：判斷是否有1=2.一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)2.假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想概率小到什么程度的事件才算作小概率事件，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，是根據(jù)具體情況在檢驗(yàn)之前事先指定的.通常選0.1，0.05，0.01等，這種界定小概率的值常用表示，稱其為顯著性水平或檢驗(yàn)水平.所提出的假設(shè)用H0表示，稱H0為原假設(shè)或零假設(shè)，并把原假設(shè)的對立假設(shè)用H1表示，稱H1為備擇假設(shè).下面利用上述基本方法對例1做假設(shè)檢驗(yàn).為解決問題方便，將原假設(shè)H0：p0.03分成：p=0.03及p0.03兩種情況，并取=0.05，即概率小于0.05的事件為小概率事件.一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)對于假設(shè)H0：p=0.03的情況，依此假設(shè)，可知200件產(chǎn)品中有6件次品.設(shè)“任意抽取10件，有2件次品”的事件為A，則因?yàn)?.02870.05，所以按事先取的標(biāo)準(zhǔn)，這是小概率事件.對于假設(shè)p0.03的情況，依此假設(shè)，此時200件產(chǎn)品中的次品數(shù)少于6件，則事件A的概率更小.依據(jù)小概率原理，拒絕p0.03的假設(shè)，認(rèn)為這批產(chǎn)品不能出廠.一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)再來解例2.由于例1中的總體為離散型隨機(jī)變量，而例2中的總體為連續(xù)型隨機(jī)變量，為解決連續(xù)型隨機(jī)變量在單點(diǎn)處概率為0所帶來的問題，我們采取以下的解法.（1）提出假設(shè).原假設(shè)H0：=0=15.1，備擇假設(shè)可取H1：15.1.（2）選取與原假設(shè)=15.1有關(guān)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由此可知UN（0，1）.二、正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)1.正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)（1）方差已知時，正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)（U檢驗(yàn)）.設(shè)X1，X2，Xn是來自正態(tài)總體N（，20）的一個樣本，其中，未知，-+，20已知，要檢驗(yàn)假設(shè)其中0為已知常數(shù)，取檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為二、正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)H0成立時，U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），且當(dāng)H0成立時，|X-0|的值應(yīng)較小，故|U|的值也應(yīng)較小，若根據(jù)一次抽樣結(jié)果發(fā)現(xiàn)|U|的值較大，自然懷疑H0不成立.對于給定的檢驗(yàn)水平（01），查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得分位數(shù)u2，使得P|U|u2=，二、正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)2.正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)這里只討論未知時2的假設(shè)檢驗(yàn)問題（關(guān)于已知時的情況，一是比較少見，二是與未知時的討論類似）.首先討論如下的三種假設(shè)檢驗(yàn)問題：已知某產(chǎn)品的邊際成本C(X)=2(元/件)，固定成本為0，邊際收益 R(X)=12-0.02X，問產(chǎn)量為多少時利潤最大?在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？思考題 第十一章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步謝謝觀看謝謝觀看