《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》,配套PPT課件,經(jīng)濟(jì),數(shù)學(xué),基礎(chǔ),配套,PPT,課件 第一章 極限與連續(xù) 一.教學(xué)目標(biāo) 1.學(xué)習(xí)在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要研究變量的變化趨勢(shì)。 2.極限理論是微積分學(xué)的基本推理工具，微積分學(xué)中的很多概念和定理都是用極限方法推導(dǎo)出來(lái)的。 二.課時(shí)分配 本項(xiàng)目共7個(gè)小節(jié)，安排14課時(shí)。 三.教學(xué)重點(diǎn) 本章將主要學(xué)習(xí)極限與連續(xù)的基本概念，以及它們的一些性質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)；極限理論是微積分學(xué)的基本推理工具，微積分學(xué)中的很多概念和定理都是用極限方法推導(dǎo)出來(lái)的。 四.教學(xué)難點(diǎn) 極限方法推導(dǎo)概念和定理。 五.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 函數(shù) 一.函數(shù)的概念 1.函數(shù)的定義 定義1：設(shè)D是由數(shù)組成的集合.如果對(duì)于每個(gè)數(shù)x∈D，變量y按照一定的對(duì)應(yīng)法則f總有唯一確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，那么將對(duì)應(yīng)法則f稱(chēng)為在D上x(chóng)到y(tǒng)的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x稱(chēng)為自變量，y稱(chēng)為因變量，D稱(chēng)為函數(shù)的定義域。 2.函數(shù)的表示法 （1）表格法 （2）圖象法。 用圖象表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如下圖所示； （3） 解析法。 用一個(gè)等式表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如y=x+3，y=lg（x+2）等. 3.函數(shù)的定義域 要使解析式有意義，我們通?？紤]以下幾點(diǎn)： （1）分式的分母不能為零； （2）偶次根式的被開(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)； （3）對(duì)數(shù)式中的真數(shù)必須大于零； （4）冪函數(shù).指數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù).三角函數(shù).反三角函數(shù)考慮各自的定義域； （5）若函數(shù)表達(dá)式是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集； （6）分段函數(shù)的定義域是各個(gè)定義區(qū)間的并集。 二.函數(shù)的幾種特性 1.奇偶性 定義2：設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).如果對(duì)于任意的x∈D，f（-x）=-f（x），那么f（x）為奇函數(shù)；如果對(duì)于任意的x∈D，f（-x）=f（x），那么f（x）為偶函數(shù).否則f（x）為非奇非偶函數(shù)。 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如圖所示；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖所示。 2.單調(diào)性 定義3：若對(duì)于區(qū)間D內(nèi)任意的兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1）≤f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)增加，區(qū)間D稱(chēng)為單調(diào)增區(qū)間；特別地，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1)＜f（x2），則稱(chēng)f（x)為D上的嚴(yán)格增函數(shù)；如果恒有f（x1）＞f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)減少，區(qū)間D稱(chēng)為單調(diào)減區(qū)間；特別地當(dāng)x1＞x2時(shí)，恒有f（x1)＞f（x2），則稱(chēng)f（x)為D上的嚴(yán)格減函數(shù)。 單調(diào)遞增函數(shù)的圖象沿x軸正向上升，如圖所示；單調(diào)遞減函數(shù)的圖象沿x軸正向下降，如圖所示 3.有界性 定義4:設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集XD.若存在數(shù)K1，使得f（x）≤K1 對(duì)任意x∈X都成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在X上有上界，而K1稱(chēng)為函數(shù)f（x）在X上的一個(gè)上界（任何大于K1的數(shù)也是f（x)在X上的上界）；若存在數(shù)K2，使得f（x）≥K2 4.周期性 定義5:設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意的x∈D，存在不為零的數(shù)T，使f（x+T）=f（x），那么f（x）為D上的周期函數(shù)，T稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)周期，并且nT（n為非零整數(shù)）也是它的周期.平時(shí)，我們把函數(shù)的最小正周期稱(chēng)為函數(shù)的周期。 三.初等函數(shù) 1.基本初等函數(shù) 我們把常數(shù)函數(shù)y=c（c為常數(shù)）.冪函數(shù)y=xα（α為實(shí)數(shù)）.指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）.三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)。 2.復(fù)合函數(shù) 定義6:若函數(shù)y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定義域中，則變量y通過(guò)變量u與變量x建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為y是x的復(fù)合函數(shù)，u是中間變量，x是自變量，通常將 y=f（u），u=g（x）合并寫(xiě)成y=f［g（x）］ 第二節(jié) 極限 一.數(shù)列的極限 以前我們已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)列的概念，現(xiàn)在我們來(lái)考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列{an}的變化趨勢(shì).我們先看一個(gè)實(shí)例：一個(gè)籃球從距地面1m高處自由下落，受地心引力及空氣阻力作用，每次觸地后籃球又反彈到前一次高度的1/2處.于是，可得到表示籃球高度的一個(gè)數(shù)列： 我們知道，籃球最終會(huì)停在地面上，即反彈高度h=0，這說(shuō)明，隨著反彈次數(shù)n的無(wú)限增大，數(shù)列通項(xiàng)hn=1/2n-1的值將趨向于0。 從圖中可看出，當(dāng)n增大時(shí)，點(diǎn)（n，an）從橫軸上方無(wú)限接近于直線(xiàn)an=0.這表明，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an=1/n的值無(wú)限趨近于零。 同樣，從圖中可看出，當(dāng)n增大時(shí)，點(diǎn)（n，an）從上下兩側(cè)無(wú)限接近于直線(xiàn)an=1.這表明，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an=（n+（-1）n）/n的值無(wú)限趨近于常數(shù)1。 定義1:如果無(wú)窮數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作數(shù)列{an}的極限（limit） limn→∞1/2n-1=0； limn→∞1/n=0； limn→∞(n+（-1）n)/n=1 二.函數(shù)的極限 1.當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f（x）的極限 定義2:如果當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限趨近于確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)f（x）當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作 limx→∞f（x）=A或當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）→A 下面給出當(dāng)x→+∞或x→-∞時(shí)函數(shù)極限的定義。 定義3:如果當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就稱(chēng)為函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)的極限，記作 limx→+∞f（x）=A，或當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→A （limx→-∞f（x）=A，或當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→A） 2.當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限 定義4:設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某空心鄰域 鄰域就是在數(shù)軸上滿(mǎn)足{x||x-x0|＜δ}，δ＞0的點(diǎn)的集合，即區(qū)間（x0-δ，x0+δ）內(nèi)的一切實(shí)數(shù).x0稱(chēng)為鄰域的中心，δ為半徑.若這個(gè)區(qū)間不含點(diǎn)x0，則稱(chēng)為x0的空心δ鄰域。 第三節(jié) 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 一.無(wú)窮小量 定義1:如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的極限為零，那么稱(chēng)函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小。 例如，當(dāng)x→0時(shí)，sinx是無(wú)窮??；當(dāng)x→∞時(shí)，1x是無(wú)窮小。 二.無(wú)窮大量 定義2:如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么稱(chēng)函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大. 如果按函數(shù)極限的定義來(lái)看，f（x）的極限不存在，但是為了便于敘述，我們稱(chēng)“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”，并記作 limx→x0（x→∞）f（x）=∞ 三.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 定理:在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f（x）為無(wú)窮大，那么1f（x）為無(wú)窮??；反之，如果f（x）為無(wú)窮小，且f（x）≠0，那么1f（x）為無(wú)窮大. 例如，因?yàn)閘imx→∞x3=∞，所以limx→∞ 1x3=0；因?yàn)閘imx→0sinx=0，所以limx→01sinx=∞ 四.無(wú)窮小量的性質(zhì) 在自變量的同一變化過(guò)程中，無(wú)窮小具有以下三個(gè)性質(zhì)： 性質(zhì)1:有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和為無(wú)窮小。 性質(zhì)2:有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小。 性質(zhì)3:有限個(gè)無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小。 第四節(jié) 極限的運(yùn)算法則 法則設(shè)limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B，則有 （1） limx→x0［f（x）±g（x）］=limx→x0f（x）± limx→x0g（x）=A±B； （2） limx→x0［f（x）·g（x）］=limx→x0f（x）· limx→x0g（x）=A·B； （3） limx→x0［Cf（x）］=C·limx→x0f（x）=C·A（C為常數(shù)）； （4） limx→x0f（x）g（x）= limx→x0f（x） limx→x0g（x）=AB（B≠0） 第五節(jié) 兩個(gè)重要極限 一.判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則 準(zhǔn)則1:如果函數(shù)f（x），g（x），h（x）在同一變化過(guò)程中滿(mǎn)足 g（x）≤f（x）≤h（x） 且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A。 準(zhǔn)則2：若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則limn→∞xn一定存在。 二.兩個(gè)重要極限公式 1.limx→0sinx/x=1 我們考察當(dāng)x趨近于0時(shí)，函數(shù)sinx/x的變化趨勢(shì)，列表如下： 從上表中可以看出，當(dāng)x→0時(shí)，sinx/x→1，即 limx→0sinx/x=1 2.limx→∞(1+1/x)/x=e 我們考察當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)(1+1/x)x的變化趨勢(shì)，列表如下： 從上表中可以看出，當(dāng)x→+∞和x→-∞時(shí)，函數(shù)1+1xx無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是無(wú)理數(shù)e=2.718 281 828 45…，即 limx→∞1+1xx=e 在上式中，令u=1x，則當(dāng)x→∞時(shí)，u→0，于是我們可以得到另一種形式 limu→0（1+u）1u=limx→∞1+1xx=e， 即 limx→0（1+x）1x=e 第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 一.函數(shù)連續(xù)的概念 1.函數(shù)的增量 定義1:設(shè)函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量由初值x0變到終值x1時(shí)，我們把差值x1-x0叫作自變量的增量（或改變量），記作Δx，即 Δx=x1-x0， 因此x1=x0+Δx 這時(shí)可以說(shuō)，自變量由初值x0變化到x0+Δx. 相應(yīng)地，函數(shù)值由f（x0）變化到f（x0+Δx），我們把差值 f（x0+Δx）-f（x0） 叫作函數(shù)的增量（或改變量），記作Δy，即 Δy=f（x0+Δx）-f（x0） 2.函數(shù)的連續(xù) 定義2:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量Δx趨近于零時(shí)，函數(shù)y=f（x）的相應(yīng)增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趨近于零，也就是說(shuō)，有 lim Δy=0或lim［f（x0+Δx）-f（x0）］=0， 那么稱(chēng)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱(chēng)為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn) 定義3:如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0 某鄰域內(nèi)有定義，并且limf（x）=f（x0），那么稱(chēng)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱(chēng)為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn)。 定義4:設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處及其左（或右）鄰域內(nèi)有定義，如果limf（x）=f（x0）（或limf（x）=f（x0）），那么稱(chēng)函數(shù)f（x）在x0處左連續(xù)（或右連續(xù)）。 定義5:如果函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，或稱(chēng)函數(shù)f（x）為區(qū)間（a，b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間（a，b）稱(chēng)為函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間。 二.初等函數(shù)的連續(xù)性 1.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性 性質(zhì)1：如果函數(shù)f（x）與g（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，那么它們的和.差.積.商（分母在x0處不等于零）也都在x0處連續(xù).即 lim［f（x）±g（x）］=f（x0）±g（x0）； lim［f（x）·g（x）］=f（x0）g（x0）； limf（x）g（x）=f（x0）g（x0）（g（x0）≠0）. 2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 性質(zhì)2如果函數(shù)u=φ（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，且φ（x0）=u0，而函數(shù)y=f（u）在點(diǎn)u0處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f［φ（x）］在點(diǎn)x0處也連續(xù)。 3.初等函數(shù)的連續(xù)性 性質(zhì)3：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。 這個(gè)結(jié)論對(duì)于以后判定函數(shù)連續(xù)性及一些極限的運(yùn)算是非常有價(jià)值的。如果已知函數(shù)f（x）是初等函數(shù)，且x0屬于f（x）的定義區(qū)間，那么求limf（x）時(shí)，只需將x0代入函數(shù)，求函數(shù)值f（x0）即可。 三.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)4：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，那么函數(shù)f（x）在［a，b］上一定有最大值與最小值。 如圖所示，可以看出，在［a，b］上至少有一點(diǎn)ξ（a≤ξ≤b）使得f（ξ）=m為最小值，即m=f（ξ）≤f（x）（a≤x≤b），又至少有一點(diǎn)η（a≤η≤b）使f（η）=M為最大值，即M=f（η）≥f（x）（a≤x≤b）. 對(duì)于在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)的函數(shù)，其最大值.最小值不一定存在。 性質(zhì)5：如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且在兩端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f（a）=A和f（b）=B，C是A與B之間的任一數(shù)，那么在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得 f（ξ）=C（a＜ξ＜b） 這就是著名的介值定理，它的幾何意義是：在［a，b］上的連續(xù)曲線(xiàn)y=f（x）與直線(xiàn)y=C（C在A與B之間）至少有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（ξ，f（ξ）），其中f（ξ）=C，如圖所示。 推論如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，那么至少存在一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得f（ξ）=0。 第七節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù) 一.需求函數(shù)與供給函數(shù) 1.需求函數(shù) 一種商品的市場(chǎng)需求量Q與該商品的價(jià)格P密切相關(guān)，通常降低商品價(jià)格會(huì)使需求量增加；提高商品價(jià)格會(huì)使需求量減少.如果不考慮其他因素的影響，需求量Q可以看成是價(jià)格P的一元函數(shù)，稱(chēng)為需求函數(shù)，記作 Q=Q（P）. 一般來(lái)說(shuō)，需求函數(shù)為價(jià)格P的單調(diào)減少函數(shù)。 2.供給函數(shù) 某種商品的市場(chǎng)供給量S也受商品價(jià)格P的制約，價(jià)格上漲將刺激生產(chǎn)者向市場(chǎng)提供更多的商品，使供給量增加；反之，價(jià)格下跌將使供給量減少．供給量S也可看成價(jià)格P的一元函數(shù)，稱(chēng)為 供給函數(shù)，記為 S=S（P） 供給函數(shù)為價(jià)格P的單調(diào)增加函數(shù)。 常見(jiàn)的供給函數(shù)有線(xiàn)性函數(shù).二次函數(shù).冪函數(shù).指數(shù)函數(shù)等。其中，線(xiàn)性供給函數(shù)為 S=-c+dP（c>0，d>0） 二.成本函數(shù)、平均成本函數(shù) 設(shè)Q為某種產(chǎn)品的產(chǎn)量，C為生產(chǎn)此種產(chǎn)品的成本，則用 C=C（Q） 表示該種產(chǎn)品的成本函數(shù)。 設(shè)生產(chǎn)每個(gè)單位產(chǎn)品的成本為a，固定成本為C0，則成本函數(shù)為 C=C（Q）=aQ+C0 用C表示生產(chǎn)Q個(gè)單位產(chǎn)品的平均成本，則 C=C（Q）=C（Q）Q 表示每單位的平均成本函數(shù).平均成本函數(shù)也用AC表示. 三.價(jià)格函數(shù)、收入函數(shù)與利潤(rùn)函數(shù) 在消費(fèi)理論中，需求函數(shù)是我們前面討論的形式 Q=f（P） 這種形式所強(qiáng)調(diào)的是既定價(jià)格下的需求量．在廠商理論中，強(qiáng)調(diào)的是既定需求下的價(jià)格．在這種情況下，價(jià)格是需求量的函數(shù)，表示為 P=P（Q） 六．課后習(xí)題 完成每章后面的復(fù)習(xí)題。