《經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)》 配套PPT課件
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第五章 定積分及其應(yīng)用
一.教學目標
1.了解定積分在理論的重要意義。
2.學習定積分的概念。
3.討論定積分的性質(zhì)與計算方法。
4.介紹定積分在幾何和經(jīng)濟方面的一些應(yīng)用。
二.課時分配
本項目共5個小節(jié)，安排10課時。
三.教學重點
學習定積分的概念；討論定積分的性質(zhì)與計算方法；介紹定積分在幾何和經(jīng)濟方面的一些應(yīng)用。
四.教學難點
討論定積分的性質(zhì)與計算方法。
五.教學內(nèi)容
第一節(jié) 定積分的概念
一.引例
1. 曲邊梯形的面積
在直角坐標系中，由連續(xù)曲線y=f（x），直線x=a，x=b及x軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形。
設(shè)y=f（x）在［a，b］上連續(xù)，且f（x）≥0，求以曲線y=f（x）為曲邊，底邊為［a，b］的曲邊梯形的面積A，如圖所示。
曲邊梯形面積可按下述步驟來計算：
（1） 分割.在區(qū)間［a，b］中任取若干分點
a=x0＜x1＜x2＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b
把曲邊梯形的底［a，b］分成n個小區(qū)間
［x0，x1］，［x1，x2］，…，［xi-1，xi］，…，［xn-1，xn］.
小區(qū)間［xi-1，xi］的長度記為
Δxi=xi-xi-1（i=1，2，3，…，n）
過各分點作垂直于x軸的直線段，把整個曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，其中第i個小曲邊梯形的面積記為ΔAi（i=1，2，…，n）。
（2） 取近似.在第i個小曲邊梯形的底［xi-1，xi］上任取一點ξi（xi-1≤ξi≤xi），它所對應(yīng)的函數(shù)值是f（ξi）.用相應(yīng)的寬為Δxi.長為f（ξi）的小矩形面積來近似代替這個小曲邊梯形的面積，即
ΔAi≈f（ξi）Δxi
（3） 求和.把n個小矩形的面積相加得和式∑nf（ξi）Δxi，它就是曲邊梯形面積A的近似值，即
A≈∑nf（ξi）Δxi
（4） 取極限.分割越細，∑nf（ξi）Δxi就越接近于曲邊梯形的面積A.當小區(qū)間長度的最大值趨近于零，即‖Δxi‖→0（‖Δxi‖表示這些小區(qū)間長度的最大值）時，和式∑nf（ξi）Δxi的極限就是A，即
A=lim‖Δxi‖→0∑nf（ξi）Δxi
2. 變速直線運動的路程
設(shè)一物體沿一直線運動，已知速度v=v（t）是時間區(qū)間［a，b］上t的連續(xù)函數(shù)，且v（t）≥0，求這一物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程S。
（1）分割.任取分點a=t0＜t1＜t2＜…＜ti-1＜ti＜…＜tn-1＜tn=b，把時間區(qū)間［a，b］分成n個小區(qū)間
［a，b］=［t0，t1］∪［t1，t2］∪…∪［ti-1，ti］∪…∪［tn-1，tn］
記第i個小區(qū)間［ti-1，ti］的長度為Δti=ti-ti-1，物體在第i時間段內(nèi)所走過的路程為ΔSi（i=1，2，…，n）。
（2）取近似.在小區(qū)間［ti-1，ti］上認為運動是勻速的，用其中任一時刻ti的速度v（ti）來近似代替變化的速度v（t），即v（t）≈v（ti），t∈［ti-1，ti］，得到ΔSi的近似值為
ΔSi≈v（ti）·Δti
（3）求和.把n段時間上的路程近似值相加，得到總路程的近似值為
S≈∑ni=1v（ti）Δti
二.定積分的概念
定義:設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上有定義.在區(qū)間［a，b］中任取分點
a=x0＜x1＜x2＜x3＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b，
將區(qū)間［a，b］分成n個小區(qū)間［xi-1，xi］，其長度為
Δxi=xi-xi-1（i=1，2，…，n）
在每個小區(qū)間［xi-1，xi］上任取一點ξi（xi-1≤ξi≤xi）求乘積f（ξi）Δxi（i=1，2，…，n）的和式
∑nf（ξi）Δxi
三.定積分的幾何意義
在閉區(qū)間［a，b］上，若函數(shù)f（x）≥0，則∫b/af（x）dx在幾何上表示由曲線y=f（x）（≥0），直線x=a，x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積。
在閉區(qū)間［a，b］上，若函數(shù)f（x）≤0，則∫b/af（x）dx在幾何上表示由曲線y=f（x）（≤0），直線x=a，x=b和x軸圍成的曲邊梯形（在x軸下方）的面積的相反數(shù)。
在閉區(qū)間［a，b］上，f（x）有正有負時，如果我們約定位于x軸上方的面積為“正”，下方的面積為“負”，這時，∫b/af（x）dx在幾何上表示介于x軸及直線x=a，x=b和曲線y=f（x）之間的各部分面積的代數(shù)和，如圖所示，即
∫b/af（x）dx=A1-A2+A3
四.定積分的性質(zhì)
由定積分的定義知，定積分是積分和式的極限.因此，由極限的運算法則容易推出以下一些簡單性質(zhì)，其中被積函數(shù)在積分區(qū)間上假設(shè)都是可積的.
性質(zhì)1:被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即
∫b/akf（x）dx=k∫b/af（x）dx
性質(zhì)2兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即
∫b/a［f（x）±g（x）］dx=∫b/af（x）dx±∫bag（x）dx
性質(zhì)2可推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情況，即
∫b/a［f1（x）±f2（x）±…±fn（x）］dx
=∫b/af1（x）dx±∫b/af2（x）dx±…±∫b/afn（x）dx
性質(zhì)3:如果a＜c＜b，那么
∫b/af（x）dx=∫ca/f（x）dx+∫b/cf（x）dx
性質(zhì)3:叫作定積分的區(qū)間可加性.從定積分的幾何意義可以直接看出它的正確性，并且無論a，b，c三點位置如何，該性質(zhì)總成立，如圖所示。
事實上，當a＜b＜c時，從幾何上直觀看到
∫b/af（x）dx=∫c/af（x）dx-∫c/bf（x）dx
=∫c/af（x）dx+∫b/cf（x）dx
性質(zhì)4:在［a，b］上，若f（x）≥g（x），則
∫b/af（x）dx≥∫bag（x）dx
性質(zhì)4說明：比較兩個定積分的大小，只需在同一積分區(qū)間上比較兩個被積函數(shù)的大小。
性質(zhì)5:（估值定理）如果函數(shù)f（x）在［a，b］上可積，對任意x∈［a，b］恒有m≤f（x）≤M，則
m（b-a）≤∫b/af（x）dx≤M（b-a）
性質(zhì)5:的幾何意義是：曲線y=f（x）在［a，b］上曲邊梯形的面積介于以區(qū)間［a，b］長度為底，分別以m和M為高的兩個矩形面積之間，如圖所示.
第二節(jié) 微積分基本定理
一.積分上限函數(shù)及其導數(shù)
設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，則對于［a，b］上任意x，f（x）在［a，x］上可積，即積分
∫x/af（x）dx，x∈［a，b］
存在.其中x既表示積分上限，又表示積分變量，為避免混淆，將積分變量x換寫成t，即
∫x/af（x）dx=∫x/af（t）dt，x∈［a，b］
對于［a，b］上任一給定的x，有唯一確定的積分值∫xaf（t）dt與之對應(yīng)，因而∫xaf（t）dt是定義在區(qū)間［a，b］上的自變量x在積分上限的函數(shù)，稱為積分上限函數(shù)，也稱變上限定積分，記作Φ（x），即
Φ（x）=∫x/af（t）dt，x∈［a，b］
積分上限函數(shù)的幾何意義是底邊為［a，x］的變動曲邊梯形面積，如圖所示。
Φ（x）具有以下性質(zhì)：
定理1:如果f（x）在［a，b］上連續(xù)，則積分上限函數(shù)
Φ（x）=∫x/af（t）dt
在［a，b］上對其上限x的導數(shù)存在，且
Φ′（x）=d/dx∫x/af（t）dt=f（x），x∈［a，b］
定理2:（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，則f（x）在［a，b］上存在原函數(shù)，并且積分上限函數(shù)
Φ（x）=∫x/af（t）dt
是f（x）在［a，b］上的一個原函數(shù)。
二.微積分基本定理
定理3:設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，F(xiàn)（x）是f（x）在［a，b］上的一個原函數(shù)，則
∫b/af（x）dx=F（b）-F（a）
證明已知F（x）是f（x）在［a，b］上的一個原函數(shù)，而
Φ（x）=∫x/af（t）dt
也是f（x）在［a，b］上的一個原函數(shù)，因此存在常數(shù)C，使
Φ（x）=∫x/af（t）dt=F（x）+C，x∈［a，b］.
令x=a，得
Φ（a）=∫a/af（t）dt=0=F（a）+C.
故
C=-F（a）
再令x=b，得
Φ（b）=∫b/af（t）dt=F（b）+C=F（b）-F（a）
或
∫b/af（x）dx=F（b）-F（a）
第三節(jié) 定積分的計算
一.定積分的換元積分法
定理1：如果函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，函數(shù)x=φ（t）在［α，β］上是單調(diào)的且具有連續(xù)導數(shù)φ′（t），又φ（α）=a，φ（β）=b，且當t在［α，β］上變化時，相應(yīng)的x值不越出［a，b］的范圍，那么
∫(b/a_f（x）dx=∫β/αf［φ（t）］φ′（t）dt
二.分部積分法
定理2:如果函數(shù)u（x），v（x）在區(qū)間［a，b］上具有連續(xù)導數(shù)，那么
∫(b/a)u（x）d［v（x）］=［u（x）v（x）］b/a-∫(b/a)v（x）d［u（x）］
也可簡寫為
∫(b/a)udv=［uv］b/a-∫(b/a)vdu.
以上兩個公式稱為定積分的分部積分公式。
第四節(jié) 廣義積分
一.無限區(qū)間上的廣義積分
定義1：假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，+∞）上連續(xù)，對于任意b＞a，積分∫b/af（x）dx存在，我們稱
∫f（x）dx=lim∫b/af（x）dx
為f（x）在無限區(qū)間［a，+∞）上的廣義積分.如果上式右邊的極限存在，稱廣義積分∫f（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則，稱廣義積分發(fā)散。
同樣地，假設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，b）上連續(xù)，對于任意a＜b，我們稱
∫f（x）dx=lim∫b/af（x）dx
為f（x）在無限區(qū)間（-∞，b］上的廣義積分.如果極限存在，稱廣義積分∫f（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則稱廣義積分發(fā)散。
如果f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，則將廣義積分∫+∞-∞f（x）dx做如下定義：
∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx.
二.無界函數(shù)的廣義積分
定義2:設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b］上連續(xù)，limf（x）=∞，對充分小的正數(shù)ε，稱
∫b/af（x）dx=lim∫b/a+εf（x）dx
為f（x）在區(qū)間（a，b］上的廣義積分.若等式右邊的極限存在，則稱廣義積分∫b/af（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則，稱廣義積分發(fā)散。
類似地，設(shè)f（x）在區(qū)間［a，b）上連續(xù)，limf（x）=∞，對充分小的正數(shù)ε，稱
∫b/af（x）dx=limε→0+∫b-εaf（x）dx
為f（x）在區(qū)間［a，b）上的廣義積分.如果極限存在，則稱廣義積分∫baf（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則，稱廣義積分發(fā)散。
如果a＜c＜b，limf（x）=∞，f（x）在［a，c）∪（c，b］上連續(xù)，則將廣義積分∫b/af（x）dx定義為
∫b/af（x）dx=∫c/af（x）dx+∫b/cf（x）dx
只有等式右邊兩個廣義積分都收斂時，廣義積分∫b/af（x）dx才收斂。
第五節(jié) 定積分的應(yīng)用
一.微元法
（1） U依賴于區(qū)間［a，b］，當將［a，b］分成若干子區(qū)間后，量U成為對應(yīng)于各子區(qū)間上部分量ΔU的和；
（2） U依賴于區(qū)間［a，b］上的某函數(shù)；
（3） 在［a，b］的微小子區(qū)間［x，x+dx］上對應(yīng)的部分量ΔU≈f（x）dx，若記量U的微元為dU，
即有ΔU≈dU，ΔU與dU的差是比dx高階的無窮小。
那么以dU=f（x）dx為積分表達式，從x=a到x=b的定積分∫baf（x）dx就是所求量U。
綜上可知，用定積分解決實際問題的方法和步驟如下：
（1） 根據(jù)問題的實際情況，選取一個變量為積分變量，并確定它的變化區(qū)間［a，b］；
（2） 把區(qū)間［a，b］分成n個小區(qū)間，取其中一個小區(qū)間并記［x，x+dx］，求出該小區(qū)間上ΔU的近似值dU，若dU=f（x）dx，就把f（x）dx稱為量U的元素；
（3） 以元素f（x）dx為積分表達式，在區(qū)間［a，b］上作定積分，得U=∫b/af（x）dx
這種方法稱為定積分的微元法。
二.定積分在幾何上的應(yīng)用
1.平面圖形的面積
下面我們以求曲邊梯形的面積（圖59）為例，介紹如何用定積分來求平面圖形的面積.設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，求由x軸，曲線y=f（x），直線x=a，x=b（a＜b）所圍成的圖形的面積A
用微元法分析：
第一步：選積分變量x∈［a，b］和典型區(qū)間［x，x+dx］［a，b］；
第二步：在［x，x+dx］上用矩形面積代替小曲邊梯形面積ΔA，f（x）為小矩形的高，則得到面積微元為
dA=f（x）dx，（53）
所求圖形的面積為
A=∫b/af（x）dx，（54）
2.旋轉(zhuǎn)體的體積
由連續(xù)曲線y=f（x）和直線x=a，x=b（a＜b）及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體.這個幾何體的體積也可以用微元法討論。
第一步：選取積分變量x∈［a，b］和典型區(qū)間［x，x+dx］［a，b］；
第二步：在子區(qū)間［x，x+dx］上，小旋轉(zhuǎn)體的體積可以用以f（x）為半徑，dx為高的小圓柱體的體積近似代替，而小圓柱體的體積為
dV=πf2（x）dx，
在［a，b］上積分得旋轉(zhuǎn)體的體積為
Vx=π∫b/af2（x）dx
用類似的方法，可求得由曲線x=g（y）及直線y=c，y=d（c＜d）與y軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為
Vy=π∫d/cg2（y）dy
三.定積分在經(jīng)濟上的應(yīng)用
1.已知邊際函數(shù)求總量
定積分的微元法在經(jīng)濟中應(yīng)用非常廣泛，如由邊際需求求總需求.由邊際成本求總成本.由邊際收益求總收益.由邊際利潤求總利潤等.
2.投資問題
設(shè)企業(yè)在［0，T］時間內(nèi)的收入流的變化率為f（t），年利率為r，則總收入的現(xiàn)值為∫T/0f（t）e-rtdt，總收入的終值為∫T/0f（t）e（T-t）rdt。
六.課后習題
完成每章后面的復習題。
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