求解非齊次線性方程組

1、4.4 非齊次線性方程組,我們知道齊次線性方程組必定有解，因?yàn)樗辽儆辛憬猓蝗欢驱R次線性方程組就未必有解。例如非齊次線性方程組,就是無解的，那么，非齊次線性方程組在什么條件下由解呢？,定理 3,對于非齊次線性方程組Ax=b,下列四個條件等價(jià)：,例2 解方程組,解,無解,例4 判斷方程組有無解,(a, b , c互不等),解,(為什么？),所以，方程組無解,例5,系數(shù)矩陣A的秩等于,的秩，證。

2、解題步驟,(i) 寫出系數(shù)矩陣并將其化為行最簡形 I ； (ii) 由 I 確定出 nr 個自由未知量(可寫出同解方程組); (iii) 令這 nr 個自由未知量分別為基本單位向量,可得相應(yīng)的 nr 個基礎(chǔ)解系,(iv) 寫出通解,對n元齊次線性方程組，有 若 R(A) = n , 則方程組有惟一零解; 若 R(A) = r n , 則方程組有無數(shù)多組解，其通解為,題.求,的基礎(chǔ)解。

3、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程,線性代數(shù),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（3）,第十二講 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),腳本編寫：彭亞新,教案制作：彭亞新,第五章 線性方程組,第三節(jié) 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),本節(jié)教學(xué)要求：, 理解非齊次線性方程組解的基本性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。 能熟練地求非齊次線性方程組的通解。,第三節(jié) 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),一. 非齊次線性方程組解的基本性質(zhì),二. 非齊次線性方程組的通解,一。

4、第二節(jié) 齊次線性方程組,一 齊次線性方程組解的性質(zhì),三 應(yīng)用舉例,二 基礎(chǔ)解系及其求法,、解向量,設(shè)有齊次線性方程組,若記,（1）,一、齊次線性方程組解的性質(zhì),則上述方程組（1）可寫成向量方程,若,稱為方程組（1）的解向量，,它也就是向量方程的解,、齊次線性方程組解的性質(zhì),（1）若 為 的解，則,也是 的解.,（2）若 為 的解， 為實(shí)數(shù)，則,也是 的解,易知，方程組的全體解向量構(gòu)成一個向量空間。

5、第四章線性方程組,引言,實(shí)際中，存在大量的解線性方程組的問題。很多數(shù)值方法到最后也會涉及到線性方程組的求解問題：如樣條插值的M和m關(guān)系式，曲線擬合的法方程，方程組的Newton迭代等問題。,復(fù)習(xí)：對線性方程組：,或者：,我們有Cramer法則：當(dāng)且僅當(dāng),有唯一解，而且解為：,但Gram法則在實(shí)際操作中不能用于計(jì)算方程組的解，如n20的行列式，108次乘法/秒的計(jì)算機(jī)要算一萬四千多年！,解線性方程。

6、第4.3節(jié) 齊次線性方程 組解的結(jié)構(gòu),線性代數(shù),主要內(nèi)容,一、齊次線性方程組非零解的存在性,二、齊次線性方程組解的性質(zhì),三、基礎(chǔ)解系及其求法,四、思考與練習(xí),一、齊次線性方程組非零解的存在性,定理1.,AX=0有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩r(A)n,推論1.,AX=0只有零解的充要條件是r(A)=n,推論2.,方程個數(shù)m小于未知量個數(shù)n時,AX=0必有非零解;,當(dāng)m=n時,AX=0。

7、4線性方程組解的結(jié)構(gòu)（解法）一、齊次線性方程組的解法【定義】 r(A)= r n ,若AX = 0（A為矩陣）的一組解為 ,且滿足：(1) 線性無關(guān);(2) AX = 0 的)任一解都可由這組解線性表示.則稱為AX = 0的基礎(chǔ)解系. 稱為AX = 0的通解 。其中k1,k2, kn-r為任意常數(shù)).齊次線性方程組的關(guān)鍵問題就是求通解， 而求通解的關(guān)鍵問題是求基礎(chǔ)解系. 【定理】 若齊次線性方程組AX = 0有解，則(1) 若齊次線性方程組AX = 0（A為矩陣）滿足，則只有零解；(2) 齊次線性方程組有非零解的充要條件是.（注：當(dāng)時，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式.）。

8、1,第四講 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),一、齊次線性方程組解的性質(zhì),二、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系及其求法,第四章 向量組的線性相關(guān)性,2,一、齊次線性方程組解的性質(zhì),1.回憶：線性方程組解的理論,充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)n.,充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)=n.,3,2.解向量的概念,設(shè)有齊次線性方程組,若記,（1）,4,則上述方程組可寫成向量方程,若,為方程 的解，,則,稱為。

9、1,考慮常系數(shù)非齊次線性微分方程組,4.5 常系數(shù)非齊次線性微分方程組,其對應(yīng)的齊次線性微分方程組為,維列向量,這里,是,實(shí)常數(shù)矩陣,是,函數(shù).,解的結(jié)構(gòu): 非齊次方程組的通解為對應(yīng)齊次方程組通解,與非齊次方程組的一個特解之和.,2,一、常數(shù)變易法,方程組的基解矩陣:,因此常系數(shù)非齊次方程組的通解為,3,例4.5.1 利用常數(shù)變易法求解初值問題,特征根,特征方程,對應(yīng),的齊次方程組的一個解,4。

10、1 4.5 齊次線性方程組有非 零解的條件及解的結(jié)構(gòu) 2 12( , , , ) ,nA 1 1 2 2 0,nnx x x 12, , , n 定理 8 設(shè) A為 s n矩陣 , 則齊次線性方程 組 AX=0有非零解的充要條件為 rAn. 證明 ：對 A進(jìn)行列分塊， 則 AX=0的向量表示形式為 其有非零解的充要條件是 12, , , .nrn 線性相關(guān) , 充要條件是 rA。

11、二、齊次線性方程組,定理：齊次線性方程組有非零解,齊次線性方程組只有零解,推論1：如果齊次線性方程組的方程個數(shù)小于未知數(shù)個數(shù)（mn），則它必有非零解。,推論2：n個方程n個未知數(shù)的齊次線性方程組有非零解的充要條件是|A|=0；而它只有零解的充要條件是|A|0.,2向量與向量組的線性組合,一、向量及其線性運(yùn)算,1.定義：n個有次序的數(shù)a1a2an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個。